§5.5能控规范形和能观测规范形

Avl b2
可表为

b1 Ab1
Av1 1b1 ; b2 Ab2
Av2 1b2 ; ; bl Abl
Avl 1bl

的线性组合
A b1 1 j A
v1 j 1
v1
j 1
b1
A b2 2 j A b2 r2 j1eij
v2 j 1 j 1 j 1
v2
v1
e11 A
1)T
cc cP ( 0 , 1 , n1 )
定理5.21、对于完全能观测的SISO系统
Ax bu, y cx x
构造如下变换矩阵
(5.17)
e1 1 n 1 1 cAn 1 e Q 2 n 1 cA 1 e n c
T er 1 ... eT A1 1 11 S 1 T er r ... eT Ar 1 r r
引入变换变换 x ˆ S 1 x 得到Luenberger能控规范形
ˆx ˆ ˆ ˆA ˆ ˆ x c Bcu, y Cc x
0 A =I
b2 × × 0
b3 × 0
b4 0
× × × 0
1 A
A2 A3
l=3, v1=3, v2=2, v3=1
搜索Ⅱ：按图依行方向进行搜索。
b1
A0=I A1 A2 A3 × × × 0
b2
× 0
b3
× × 0 0
b4
3, 1 3, 2 1, 3 2
2、Wonham(旺纳姆）规范形 按列搜索，得到n 个线性无关的向量为：
1 0 PAc [ 0 en , e1 1en ,, en1 n 1en ] [e1 ,, en ] 0 1 1 n 1 0
(ii) bc P1b
Pbc b en P(0 0 0
对应的变换矩阵为：
1 0 0 4 3 1 0 5 2 P [ A 2 b, Ab, b] 1 0 2 1 2 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 x x x3 1 2 4 7 28 4 7 28 1 2 1 2 1 xP x 0 x x 2 x3 7 7 7 7 1 5 1 5 0 x x 2 3 7 7 7 7
1 0 0 0 1 0 其中:Ac P 1 AP 0 0 0 a a a 1 2 0 bc P 1b 0 0 0 1
T
0 0 0 1 , cc cP 1 an 1 n 1
A) (s) s n n1s n1 1s 0
n 1 cb, n 2 cAb n 1cb

定义如下n个常数
1 cAn 2 b n 1cAn 3 b 2 cb 0 cAn 1b n 1cAn 2 b 1cb
* * 0 0 1 1 , Cc CT Bc T B 0 0 1 * *
三、Luenberger（龙伯格）规范形 设rankB=r，按行搜索找出n个线性无关列，且表
2 0,1 5,0 4
2 cb 3
1 cAb 2cb 4 0 cA2b 2cAb 1cb 0
故系统的能控规范形为：
0 0 x 4 y 0 4
1 0 0 0 u , 0 1 x 5 0 1 3x
b3 3 j A j 2b3
j 2 v3
v3
el1 Avl 1bl lj A j 2bl
j 2 vl
vl
e32 A
v3 2
b3 3 j A b3
j 3 j 3
el 2 Avl 2bl lj A j 3bl
j 3
e3v3 b3
b1 Ab1 v1 vl n
Av1 1b1 ; b2 Ab2
Av2 1b2 ; ; bl Abl
Avl 1bl
由列搜索可知
A b1
v1
b 可表为
1
Ab1
Av1 1b1

的线性组合，
A v2 b2
可表为
b
1
Ab1 Av1 1b1 ; b2 Ab2 Av2 1b2 的线性组合，
同时，可得系统的能观测规范形为：
0 1 4 0 ˆ 1 0 5 x ˆ 4 u , x 0 1 0 3 ˆ y 0 0 1x
对应的变换矩阵为：
2 1 2 1 CA 4 4 4 CA 3 1 1 Q [ A 2 b, Ab, b] 0 1 2 0 0 1 C 0 1 1
于是， 能观测规范形中的状态向量为：
4 4 4 4 x1 4 x2 4 x3 ˆ Qx 3 1 1 x 3x1 x2 x3 x 0 1 1 x 2 x3
例5.9 设系统的状态方程为：
0 3 x 1 1
T
证明：（i）推导Ac,
Ac P1 AP
1 2 , A b, Ab] n 1 1 [ Ae , Ae , 1 2 1
PAc AP [ Anb,
, Aen ]
n 1
Ae1 A n b n 1A n 1b 1 Ab 0 b 0 en Ae2 A n 1b n 1A n 2 b 2 Ab b 1b e1 1en Aen en 1 n 1en
定理5.22、代数等价的完全能控系统具有相同的能控规范形 代数等价的完全能观测系统具有相同的能观测规范形
( A, B, C)与( A, B, C)
代数等价: 存在T，det(T)≠0 ,使
A TAT 1, B TB, C CT 1
二、MIMO系统的能控规范形和能观测规范形 1、确定能控性判别阵Qc和能观测性判别阵Q0中的n个线性无关的列和行 搜索Ⅰ：对给定（A，B）按图依列方向进行搜索 b1
构造如下变换矩阵
1 n 1 P [e1 , e2 ,, en ] [ A n 1b,, Ab, b] 1 n 1 1
引入变换 x P1x( x px) ，则得到能控规范型为
x Ac x bcu, y cc x
e1v11 b1
e2 v2 b2
A b3 3 j A b3 r3 jk ekj
v3 j 1 j 1 k 1 j 1
v3
2
vk
A bl lj A bl rljk ekj
vl j 1 j 1 k 1 j 1
vl
l 1 vk
e31 A
v3 1
r
0 A ij 0 *
0 0 *

0 , j i 1,, l 0 *
* * 0 0 1 1 ˆ , Cc CS Bc S B 0 0 1 * *
，则得到能观测规范型为
引入变换
ˆ Qx x
ˆ Ao x ˆ bou , x ˆ y co x
0 1 其中:Ao QAQ 1 0 0 co cQ 1 0 0 0
0 0 1 0 1
a0 0 0 a1 1 0 a2 , bo Qb 1 an1 n1 0
0 1 0 0 1 0 3 1 x 0 1 4 1 0 1 0 0
ˆ A 11 ˆ ˆ S 1 AS A21 A c ˆ Ar1 ˆ A 12 ˆ A 22 ˆ A 1r ˆ A2 r ˆ Arr
0 1 ˆ A ii 0 * *
, i 1, 2, 1 *
A11 Ac T 1 AT
A12 A22
A1l A2l All
0 1 Aii 0 i1 i 2
rj1i 0 0 A ij , j i 1,, l rjv i 0 0 i
v1 1
b1 1 j A j 2b1
j 2 v1
v1
e21 A
v2 1
b2 2 j A j 2b1 1 j A j 3b1
j 3
e22 Av2 2b2 2 j A j 3b2
j 3
§5.5 能控规范形和能观测规范形
构造一个非奇异的线性变换阵，将完全能控或完全能观测的线性定常系统化成
只有能控系统或能观测系统才具有的状态空间模型的标准形式称为能控规范 形或能观测规范形 一、SISO系统能控规范形和能观测规范形 定理5.20、完全能控的SISO系统 首先： det(sI
Ax bu, y cx (5.17) x
elvl bl
变换阵
T e11 e12 e1v1 el1 el 2 elvl
Ac x Bcu, y Cc x x
, i 1, 2, l 1 ivi


定理5.23、对于完全能控的MIMO系统(5.2), 引入线性非奇异变换 x T 1 x 可得到它的Wonham能控规范形为：
P1 b1 Ab 1

A1 1b1 br Abr
A r 1br , 1 r n

T e11 ... eT 11 令 P T er1 ... T e r r

变换阵
例5.8 试确定如下完全能控、完全能观的SISO线性定常系统
1 2 x 1 y 0
1 1x
2 1 2 u , 1 1 x 0 2 1 0
的能控规范形和能观测规范形及其对应的状态向量。 解：计算系统的特征多项式
(s) det(sI A) s 3 5s 4