精练精析1.3.1《辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法》(人教a版必修3)

1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
【素能综合检测】
一、选择题（每题4分，共16分）
1.有关辗转相除法下列说法正确的是（）
(A)它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法
(B)基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r,直至r<n为止
(C)基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=qn+r(0≤r<n)反复进行,直到r=0为止
(D)以上说法皆错
【解析】选C.由辗转相除法的具体步骤可知C是正确的,B是错的；辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的方法,故A错.
2.（2009·长春高一检测）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）
（A）3 （B）9 （C）17 （D）51
【解析】选D.用辗转相除法：
459=357×1+102，357=102×3+51，
102=51×2.∴459与357的最大公约数为51.
3.用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为( )
（A）4 （B）3 （C）5 （D）6
【解析】选B.用辗转相除法：
120=72×1+48，72=48×1+24，48=24×2.
4.以下是利用秦九韶算法求当x=23时，多项式7x3+3x2-5x+11的值的算法.
①第一步，x=23.
第二步，y=7x3+3x2-5x+11.
第三步,输出y.
②第一步，x=23.
第二步，y=((7x+3)x-5)x+11.
第三步，输出y.
③算6次乘法3次加法.
④算3次乘法3次加法.
以上正确描述为( )
(A)①③(B)②③(C)②④(D)①④
【解析】选C.算法①不是秦九韶算法；秦九韶算法要进行3次乘法运算和3次加法运算.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.（2009·衡阳高一检测）用秦九韶算法计算f(x)=3x4+2x2+x+4当x=10时的值的过程中，v1的值为______. 【解析】根据秦九韶算法，原多项式改写为
f(x)=(((3x+0)x+2)x+1)x+4
v0=3,v1=3×10+0=30.
答案：30
6.用秦九韶算法求多项式f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5,当x=4时的值，给出如下数据.
①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143
其中运算过程中（包括最终结果）会出现的数有______.（只填序号）
【解析】将多项式改写成
f(x)=(((x-2)x+3)x-7)x-5.
v0=1;v1=1×4-2=2;
v2=2×4+3=11;v3=11×4-7=37;
v4=37×4-5=143.
答案:②③④⑤
三、解答题（每题8分，共16分）
7.利用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x4+2x3-9x2-11x+1当x=4时的值，写出每一步的计算表达式.
【解析】根据秦九韶算法将多项式改写成
f(x)=(((3x+2)x-9)x-11)x+1,
按由内到外的顺序依次计算一次多项式x=4时的值.
v0=3；v1=3×4+2=14；
v2=14×4-9=47；v3=47×4-11=177；
v4=177×4+1=709.
∴x=4时，多项式的值f(4)=709.
8.（思维拓展题）有甲、乙、丙三种溶液，分别为4 200毫升，3 220毫升和2 520毫升，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个瓶子装入液体的体积相同.问：要使所有溶液都刚好装满小瓶中且所用瓶子最少，则小瓶的容积应为多少毫升？
【解析】溶液的存放问题是工厂以及实验室经常遇到的问题之一.为了使所有溶液都装入瓶中，恰好都装满且所用瓶子最少，求所用瓶子的容积，也就是求这两种或两种以上溶液的体积的最大公约数.
先求4 200和3 220的最大公约数.
4 200=3 220×1+980,
3 220=980×3+280,
980=280×3+140,280=140×2.
所以4 200和3 220的最大公约数是140.
再求140和2 520的最大公约数.2 520=140×18.
所以140和2 520的最大公约数是140.
综上，4 200，3 220和2 520的最大公约数是140.
所以小瓶的容积应为140毫升.
［探究创新］
9.（10分）用辗转相除法或者更相减损术求三个数324，243，135的最大公约数.
【解析】先求324和243的最大公约数，再求135与这个数的最大公约数，从而求出三个数的最大公约数.
方法一：辗转相除法：
324=243×1+81,243=81×3.
∴324与243的最大公约数为81.
又135=81×1+54，81=54×1+27,
54=27×2.
则81与135的最大公约数为27.
∴三个数324，243，135的最大公约数为27. 方法二：更相减损术：
324-243=81，
243-81=162，
162-81=81.
∴324与243的最大公约数为81.
135-81=54，
81-54=27，
54-27=27.
∴81与135的最大公约数为27.
∴324，243，135的最大公约数是27.。