2024版初三数学切线长定理教案[1]

初三数学切线长定理教案
•引言
•知识链接
•探究学习
•课堂练习目录
•归纳小结
•拓展延伸
01引言
使学生理解切线长定理的概念，掌握切线长定理的证明方法和应用技巧。

知识与技能
过程与方法
情感态度与价值观
通过探究、观察、归纳等数学活动，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和严谨的科学态度。

03
02
01
切线长定理的概念和
性质
切线长定理的证明方
法切线长定理的应用举例
教学重点与难点
教学重点
切线长定理的证明方法和应用技巧。

教学难点
如何引导学生理解切线长定理的本
质和应用，以及如何培养学生的数
学思维和解决问题的能力。

02知识链接
圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定
长（半径）的点的集合。

圆的定义及基本性质
C = 2πr，S = πr²，其中r 为半径。

圆的周长与面积公式
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦也相等。

圆心角、弧、弦之间的关系
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理及其推论
圆的性质与定理
直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。

切线的定义
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的判定定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的性质定理
切线的性质与定理
相似三角形的性质与判定
•相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三
角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法
两角对应相等，两三角形相似。

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

三边对应成比例，两三角形相似。

相似三角形的性质对应角相等。

对应边成比例。

面积比等于相似比的平方。

03探究学习
利用实际生活中的例子，如切割圆形蛋糕、圆形纸片等，让学生直观感受切线长定理的应用。

通过比较不同切线长度的变化，引导学生发现切线长与半径之间的关系，从而引入切线长定理。

通过回顾圆的性质，引出切线长
定理的概念。

通过严格的数学推导，证明切线长定理的正确性。

利用相似三角形或全等三角形
的性质，推导切线长与半径之
间的等式关系。

引导学生理解证明过程中的每
一步骤，确保学生能够掌握证
明方法。

切线长定理的应用举例
举例说明切线长定理在解决几何问题
中的应用，如求解切线长度、判断切
线的位置等。

结合实际问题，让学生运用切线长定
理进行分析和解答，提高学生的应用
能力。

通过对比不同解题方法，引导学生发现切线长定理在解题中的优势，提高学生的解题效率。

04课堂练习
010204
( ) 圆的切线垂直于半径。

( ) 若直线与圆有且仅有
一个公共点，则该直线
是圆的切线。

( ) 圆的切线长等于半径
与切线所夹锐角的正弦
值的乘积。

( ) 若两圆的半径分别为
r1 和r2，且两圆外切，
则切线长等于r1 + r2。

03
1. 下列关于圆的切线的描述中，正确的是( )
A. 切线与半径垂直
B. 切线与半径平行
1 2 3C. 切线与半径相交但不垂直
D. 切线与半径重合
2. 若直线l 是圆O 的切线，且切点为A，则下列说法中正确的是( )
A.l与OA垂直
B.l与OA平行
C.l与OA相交但不垂直
D. l 与OA 重合
3. 若直线l 是圆O 的切线，且切点为A，P 是直线l 上一点，则下列结论中正确的是( )
01 A. PA = OA
02 B. PA > OA
03 C. PA < OA
01 D. 无法确定PA 与OA 的大小关系
02 4. 若两圆外切，且半径分别为r1 和r2，则下列关于切线长的描述中，正确的是( )
03 A. 切线长等于r1 + r2
B.切线长等于r1-r2
C.切线长等于|r1-r2|
D.无法确定切线长与r1、r2的关系
01
1. 已知直线l 是圆O 的切线，切点为A，且OA = 5cm。

若点P 是直线l 上一点，且PA = 8cm，求OP 的长度。

02
2. 已知两圆外切，且半径分别
为r1 = 3cm 和r2 = 5cm。

若
直线l 是两圆的公切线，且与两
圆分别切于点A 和B，求AB
的长度。

03
3. 已知直线l 是圆O 的切线，
且切点为A。

若点P 是直线l
上一点，且OP 与OA 的夹角
为30°，求PA/OA 的值。

04
4. 已知直线l1 和l2 是圆O 的
两条切线，且分别与圆O 切于
点A 和B。

若l1 和l2 的夹角
为60°，且OA = 5cm，求AB
的长度及三角形OAB 的面积。

05归纳小结
本节课的知识点总结
切线长定理的定义和性质
01
切线长定理指的是从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

切线长定理的证明方法
02
通过全等三角形和相似三角形的性质，可以证明切线长定理。

切线长定理与圆的性质的联系
03
切线长定理是圆的重要性质之一，与圆的半径、直径、弦等性质有密切
联系。

切线长定理在解题中的应用技巧
利用切线长定理求角度
通过切线长定理可以求出与切线相关的角度，进而解决与角度相关的问题。

利用切线长定理求线段长度
通过切线长定理可以求出与切线相关的线段长度，进而解决与长度相关的问题。

利用切线长定理证明几何问题
通过切线长定理可以证明一些与圆相关的几何问题，如切线的性质、切线与半径的关系等。

在解题中应用切线长定理的能力
学生应该反思自己在解题过程中应用切线长定理的能力，是否能够熟练地运用该定理解决问题。

对本节课学习内容的掌握情况
学生应该自我评价对本节课学习内容的掌握情况，是否能够独立完成相关练习和作业。

对切线长定理的理解程度
学生应该自我评价对切线长定理的理解程度，是否能够准确地描述和解释该定理。

学生自我评价与反思
06拓展延伸
逆定理证明
通过反证法，假设该直线不是切线，则必然存在另一条过两交点的直线与圆相切，但这与切线长定理相矛盾，因此假设不成立，
逆定理得证。

逆定理表述
若一条直线与圆的两个交点所连的线段长度相等，则该直线是圆
的切线。

逆定理的应用
在解题中，可以利用切线长定理的逆定理来判断一条直线是否为圆的切线，从而简化解题过程。

切线长定理的逆定理探讨
与切线长定理相关的竞赛题选讲
例题1
（全国初中数学联赛试题）已知⊙O的半径为5cm，PA、
PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，且∠APB=60°，则切
线长PA等于____cm。

例题2
（全国初中数学竞赛试题）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O
上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若
∠A=30°，则PC/AC=____。

解题思路
这两道题目都是利用切线长定理及其推论进行求解的。

在
解题过程中，需要注意切线与半径垂直的性质以及角度的
数学史话：切线长定理的历史背景
古代数学中的切线研究
早在古希腊时期，数学家们就开始研究圆的切线问题。

阿基米德、阿波罗尼奥斯等数学家都对切线有所研究，
但当时并未形成切线长定理的明确表述。

切线长定理的形成与发展
切线长定理的形成经历了漫长的历史过程。

在欧洲文艺复兴时期，随着数学学科的快速发展，切线长定理逐
渐得到了明确的表述和证明。

许多数学家如笛卡尔、费马等都对该定理做出了贡献。

切线长定理在数学史上的地位
切线长定理作为初等几何中的重要定理之一，在数学史上具有重要地位。

它不仅揭示了圆的切线与半径之间
的数量关系，而且为许多数学问题的解决提供了有力工具。

同时，该定理也是数学竞赛和数学研究的热门话
感谢观看。