高斯定理
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6-3 高斯定理
一、电场线
电场中假想的曲线
疏密——表征场强的大小 表征场强的大小 疏密 切线方向——场强的方向 切线方向 场强的方向 电场线密度=场强大小 电场线密度 场强大小
r E
S
经过电场中任一点，作一面积元dS，并使 经过电场中任一点，作一面积元d 它与该点的场强垂直，若通过d 它与该点的场强垂直，若通过dS面的电场 线条数为d 线条数为dN，则电场线密度
二、电通量 定义：通过电场中任一给定面的电场线条数， 定义：通过电场中任一给定面的电场线条数， 就是该面的电通量Φ 就是该面的电通量Φe。 (1) E为均匀场 为均匀场 r r 1) 设场中有一平面 ， S⊥ E 或其面法线 e n ||E 设场中有一平面S， 该面的电通量： 该面的电通量： Φe= E S en r r θ 2) 若n 与E 成 θ 角 Φe= EScosθ θ
r r 1 即：Φ e = ∫ E ⋅ dS =
r r 1 内的电荷是连续分布： 若S内的电荷是连续分布： Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ ρ ⋅ dV 内的电荷是连续分布 εo V
此定律是用电通量表示的电场与场源电荷关系的规律。 此定律是用电通量表示的电场与场源电荷关系的规律。
εo
∑q
S内
i
说明
1º 定理中 是所取的封闭面S（高斯面）上的场强， 定理中E是所取的封闭面 （高斯面）上的场强， 是所取的封闭面 它是由全部电荷（ 内 共同产生的合场强。 它是由全部电荷（S内、外）共同产生的合场强。 只决定于S面包围的电荷 面包围的电荷， 面外的电荷对 面外的电荷对Φ 2º Φe只决定于 面包围的电荷，S面外的电荷对Φe 无贡献。 无贡献。 高斯定律的物理意义： 高斯定律的物理意义： 静电场是有源场 给出了静电场的重要性质 ——静电场是有源场 静电场是 正负电荷就是场源
S
Φ e = ∫ E ⋅ dS =
S′
q
+
εo
(3)电荷 (3)电荷q在闭合曲面以外 电荷q 穿进曲面的电场线条数等于穿 出曲面的电场线条数。 出曲面的电场线条数。
v v Φ e = ∫ E ⋅ dS = 0
S
+
2、 高斯定理： 、 高斯定理：
通过任意闭合 曲面S的电通量 曲面 的电通量 S面包围的 面包围的 电荷的代数和
r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS= ε ∫ ρ ⋅ dV
4πεor2 ρ R3 q ⋅ 2 er E= e = 2 r 4πε o r 3ε 0 r
R
E
r≤R r r Φ e = ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4πr 2 1 = 1 ∫ ρ ⋅ dV = ρ 4 π r 3 Φ e = ∫ dq ε εo 3 oV εo V q r ∴E = 3 4πεoR
大小相等； 且 大小相等；
= 2E∆S
σ E = 2ε 0
E= σ 2ε o
+σ
均匀场 r
−σ
E
+σ +σ
讨论： 讨论： +σ − σ
E = 0 E= σ E = 0 εo
−σ −σ
E = σ E=0 E = σ εo εo
E = σ E=0 E = σ εo εo
应用高斯定理解题步骤： 应用高斯定理解题步骤：
电荷面密度为σ 无限大均匀带电平面的场强分布 的场强分布。 例:电荷面密度为σ 的无限大均匀带电平面的场强分布。 电荷面密度为 选择高斯面—— 解： 选择高斯面 与平面正交对称的柱面 + r
r E
+ + + + +
+ + + +
r r dS r 底面 E ↑↑ dS E r r r 侧面 E ⊥ dS dS r r σ∆S Φe = ∫ E ⋅ d S = S ε0
例.有一三棱柱放在电场强度为E=200 N·C-1的均匀电 有一三棱柱放在电场强度为E=200 N· 场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。 场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。 解： Φ
1
= ES1 cosπ = −ES1
S1 S3
y
v n
E x
Φ2 = Φ3 = Φ4 = 0
Φ5 = ES5 cosθ = ES1
ρ E= r= r 3 4πε o R 3ε 0
q
r o R 从例8、 从例 、例9可见点电荷的电场在 r→ 0 时，E → ∞ 可见点电荷的电场在 →
例10.用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱 用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱 棒的电场分布，已知线电荷密度λ 棒的电场分布，已知线电荷密度λ 。 解：取以棒为轴，r为半径， 取以棒为轴， 为半径 为半径， r 高为h的高斯柱面 的高斯柱面。 高为 的高斯柱面。 r r h 通过该面的电通量： 0 n⊥E 0 通过该面的电通量： r r r r r r r r Φ e = ∫ E ⋅ d S = ∫ E⋅ dS + ∫ E⋅ dS + ∫ E⋅ dS
德国数学家、 德国数学家、 天文学家和物 理学家。 理学家。高斯 在数学上的建 树颇丰， 树颇丰，有 数学之王” “数学之王” 美称。 美称。
1.高斯定理引入 高斯定理引入 (1)点电荷在球形高斯面的圆心处 (1)点电荷在球形高斯面的圆心处 球面处场强： 球面处场强：E =
E
q
dS
2
4πεoR
+
qdS q q 2 Φe = ∫ = ⋅ 4π R = 2 2 S4 πεoR 4πεoR εo
q2 S3
∫∫ E ⋅ dS = ε ∫∫ E ⋅ dS =
S1 0 S2
q1
q1 + q 2
ε0
∫∫ E ⋅ dS = ε
S3
q2
0
四 利用高斯定律求静电场的分布
高斯定理的一个重要应用， 高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电 场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才 场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时， 能比较方便应用高斯定理求出场强。 能比较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选取适当 的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有： 的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
Φe > 0
而从曲面外向内穿进： 而从曲面外向内穿进：Φ e < 0 的单位： Φe的单位： N ⋅ m2 / C Φe < 0 r r 注： 1º Φ e = ∫SE ⋅ dS 表示净穿出闭合面的电场线的条数。 表示净穿出闭合面的电场线的条数。 2º 引入电场线，只是为了形象理解电场 ， 引入电场线，只是为了形象理解电场E， 实际上E是连续分布于空间 是连续分布于空间。 实际上 是连续分布于空间。
上底 下底 r r 侧面 = ∫ E⋅ dS = E ∫ dS = E⋅2πr⋅h
侧面
侧面
Φe = E ⋅ 2πr ⋅ h
E
Φe =
+
1
εo V
∫
ρ ⋅ dV
∴E =
λ 2πεor
1 λh = 1 ρ ⋅ πr 2 h = εo ε
0
体电荷密度
问：r→ 0，E → ∞？ r < R E = 0 → ， 均匀带电圆柱体内部电场： 均匀带电圆柱体内部电场： E= ρ r 2εo
o
Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 + Φ5 = 0 Nhomakorabeaz
三、高斯定律
高斯(Carl Friedrich Gauss 1777~1855)主要成就： 主要成就： 高斯 主要成就 (1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦 物理学和地磁学： 物理学和地磁学 关于静电学、 电的研究、地磁分布的理论研究。 电的研究、地磁分布的理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线 光学 行为和成像，建立高斯光学。 行为和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 天文学和大地测量学中： 天文学和大地测量学中 如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。 地球大小和形状的理论研究等。 (4)实验数据处理：结合试验数据的测算，发展了 实验数据处理： 实验数据处理 结合试验数据的测算， 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法， 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引 入高斯误差曲线。 入高斯误差曲线。 (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。 高斯还创立了电磁量的绝对单位制
en
S dS
r r Φ e = ∫ dΦ e = ∫ E ⋅ dS
s
S
r r 为闭合曲面时： 当S为闭合曲面时：Φ e = ∫ E ⋅ dS 为闭合曲面时
对闭合面的法线方向规定： 对闭合面的法线方向规定： 自内向外为法线的正方向。 自内向外为法线的正方向。 线从曲面内向外穿出： ∴E线从曲面内向外穿出：Φe > 0 线从曲面内向外穿出
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分 进行对称性分析，即由电荷分布的对称性， 进行对称性分析 布的对称性， 布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布 常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； （常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： 根据场强分布的特点， 适当的高斯面，要求： 根据场强分布的特点 待求场强的场点应在此高斯面上， ①待求场强的场点应在此高斯面上， 穿过该高斯面的电通量容易计算。 ②穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与 平行或垂直 平行或垂直， 与 一般地，高斯面各面元的法线矢量 与E平行或垂直，n与E 平行时， 的大小要求处处相等 使得E能提到积分号外面 的大小要求处处相等， 能提到积分号外面； 平行时，E的大小要求处处相等，使得 能提到积分号外面； 计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高 计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和 斯定理求出场强。 斯定理求出场强。
q⋅ dS dΦe = Ecos 0°dS = 2 4πεoR
穿过dS面元的电通量： 穿过 面元的电通量： 面元的电通量
(2)点电荷在任意形状的高斯面内 (2)点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面S 通过球面S的电场线也必通过任 意曲面S 即它们的电通量相等。 意曲面S' ，即它们的电通量相等。 S' q/ε 为q/εo v v
球对称分布
轴对称分布 无限大平面电荷
求均匀带电球面的电场分布。 例8. 求均匀带电球面的电场分布。 r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS = 设半径为R，电量为+q。 设半径为 ，电量为 。 εo 取以r为半径的同心高斯球面 为半径的同心高斯球面S 解：取以 为半径的同心高斯球面
∑q
S内
i
r≥R
θ > 90o
θ < 90o
Φe > 0 Φe < 0
SS
(2) E 为非均匀场 曲面S上 各点的 各点的E大小方向均不同 曲面 上,各点的 大小方向均不同 取面积元dS，其上的电通量： 取面积元 ，其上的电通量： r r dΦ = EdS cos θ = E ⋅ dS S面上的总通量： 面上的总通量： 面上的总通量
Φe =
Φe =
= E ⋅ 4 πr 2
1
∫
r r E ⋅ dS =
∫
dq
EdS
r
R
p dE'
o dq'
.
ε o S内 q ∴E = 4πεor2
qi = 1 q ∑
dE
E
εo
方向为 r
若r ≤ R r r Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS = E ⋅ 4πr 2
Φe = 1
E
εo
∑q
dN E＝ dS
性质： 性质： 1)起于正电荷止于负电荷 不形成闭合线，也不中断。 起于正电荷止于负电荷， 1)起于正电荷止于负电荷，不形成闭合线，也不中断。 2)在没有电荷的空间里，任何两条电场线不会相交。 在没有电荷的空间里，任何两条电场线不会相交。 在没有电荷的空间里
The elephant gnathonemus produces a dipole electric field and detects nearby objects by their effects on that field
∑ qi > 0 Φ e > 0 电场线穿出 ∑ qi < 0 Φ e < 0 电场线穿入
1、若高斯面上场强处处为零，则该面内必无电荷； ×、若高斯面上场强处处为零，则该面内必无电荷； × 若高斯面上场强处处不为零，则该面内必有电荷； 2、若高斯面上场强处处不为零，则该面内必有电荷； 、 3、若高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为零； ×、若高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为零； 4、若高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为零； 、 × 若高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为零； S1 q1 S2
S内
o
i
=0
R
r
∴E = 0
求均匀带电球的电场分布。 例9. 求均匀带电球的电场分布。 oV 设半径为R，电量为+q。 设半径为 ，电量为 。 取以r为半径的同心高斯球面 为半径的同心高斯球面S 解：取以 为半径的同心高斯球面 r≥R r r dq Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS = E ⋅ 4πr 2 dE' R p 1 1 . Φ e = ∫ dq = q o εo V εo r dE q dq' ∴E =
一、电场线
电场中假想的曲线
疏密——表征场强的大小 表征场强的大小 疏密 切线方向——场强的方向 切线方向 场强的方向 电场线密度=场强大小 电场线密度 场强大小
r E
S
经过电场中任一点，作一面积元dS，并使 经过电场中任一点，作一面积元d 它与该点的场强垂直，若通过d 它与该点的场强垂直，若通过dS面的电场 线条数为d 线条数为dN，则电场线密度
二、电通量 定义：通过电场中任一给定面的电场线条数， 定义：通过电场中任一给定面的电场线条数， 就是该面的电通量Φ 就是该面的电通量Φe。 (1) E为均匀场 为均匀场 r r 1) 设场中有一平面 ， S⊥ E 或其面法线 e n ||E 设场中有一平面S， 该面的电通量： 该面的电通量： Φe= E S en r r θ 2) 若n 与E 成 θ 角 Φe= EScosθ θ
r r 1 即：Φ e = ∫ E ⋅ dS =
r r 1 内的电荷是连续分布： 若S内的电荷是连续分布： Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ ρ ⋅ dV 内的电荷是连续分布 εo V
此定律是用电通量表示的电场与场源电荷关系的规律。 此定律是用电通量表示的电场与场源电荷关系的规律。
εo
∑q
S内
i
说明
1º 定理中 是所取的封闭面S（高斯面）上的场强， 定理中E是所取的封闭面 （高斯面）上的场强， 是所取的封闭面 它是由全部电荷（ 内 共同产生的合场强。 它是由全部电荷（S内、外）共同产生的合场强。 只决定于S面包围的电荷 面包围的电荷， 面外的电荷对 面外的电荷对Φ 2º Φe只决定于 面包围的电荷，S面外的电荷对Φe 无贡献。 无贡献。 高斯定律的物理意义： 高斯定律的物理意义： 静电场是有源场 给出了静电场的重要性质 ——静电场是有源场 静电场是 正负电荷就是场源
S
Φ e = ∫ E ⋅ dS =
S′
q
+
εo
(3)电荷 (3)电荷q在闭合曲面以外 电荷q 穿进曲面的电场线条数等于穿 出曲面的电场线条数。 出曲面的电场线条数。
v v Φ e = ∫ E ⋅ dS = 0
S
+
2、 高斯定理： 、 高斯定理：
通过任意闭合 曲面S的电通量 曲面 的电通量 S面包围的 面包围的 电荷的代数和
r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS= ε ∫ ρ ⋅ dV
4πεor2 ρ R3 q ⋅ 2 er E= e = 2 r 4πε o r 3ε 0 r
R
E
r≤R r r Φ e = ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4πr 2 1 = 1 ∫ ρ ⋅ dV = ρ 4 π r 3 Φ e = ∫ dq ε εo 3 oV εo V q r ∴E = 3 4πεoR
大小相等； 且 大小相等；
= 2E∆S
σ E = 2ε 0
E= σ 2ε o
+σ
均匀场 r
−σ
E
+σ +σ
讨论： 讨论： +σ − σ
E = 0 E= σ E = 0 εo
−σ −σ
E = σ E=0 E = σ εo εo
E = σ E=0 E = σ εo εo
应用高斯定理解题步骤： 应用高斯定理解题步骤：
电荷面密度为σ 无限大均匀带电平面的场强分布 的场强分布。 例:电荷面密度为σ 的无限大均匀带电平面的场强分布。 电荷面密度为 选择高斯面—— 解： 选择高斯面 与平面正交对称的柱面 + r
r E
+ + + + +
+ + + +
r r dS r 底面 E ↑↑ dS E r r r 侧面 E ⊥ dS dS r r σ∆S Φe = ∫ E ⋅ d S = S ε0
例.有一三棱柱放在电场强度为E=200 N·C-1的均匀电 有一三棱柱放在电场强度为E=200 N· 场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。 场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。 解： Φ
1
= ES1 cosπ = −ES1
S1 S3
y
v n
E x
Φ2 = Φ3 = Φ4 = 0
Φ5 = ES5 cosθ = ES1
ρ E= r= r 3 4πε o R 3ε 0
q
r o R 从例8、 从例 、例9可见点电荷的电场在 r→ 0 时，E → ∞ 可见点电荷的电场在 →
例10.用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱 用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱 棒的电场分布，已知线电荷密度λ 棒的电场分布，已知线电荷密度λ 。 解：取以棒为轴，r为半径， 取以棒为轴， 为半径 为半径， r 高为h的高斯柱面 的高斯柱面。 高为 的高斯柱面。 r r h 通过该面的电通量： 0 n⊥E 0 通过该面的电通量： r r r r r r r r Φ e = ∫ E ⋅ d S = ∫ E⋅ dS + ∫ E⋅ dS + ∫ E⋅ dS
德国数学家、 德国数学家、 天文学家和物 理学家。 理学家。高斯 在数学上的建 树颇丰， 树颇丰，有 数学之王” “数学之王” 美称。 美称。
1.高斯定理引入 高斯定理引入 (1)点电荷在球形高斯面的圆心处 (1)点电荷在球形高斯面的圆心处 球面处场强： 球面处场强：E =
E
q
dS
2
4πεoR
+
qdS q q 2 Φe = ∫ = ⋅ 4π R = 2 2 S4 πεoR 4πεoR εo
q2 S3
∫∫ E ⋅ dS = ε ∫∫ E ⋅ dS =
S1 0 S2
q1
q1 + q 2
ε0
∫∫ E ⋅ dS = ε
S3
q2
0
四 利用高斯定律求静电场的分布
高斯定理的一个重要应用， 高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电 场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才 场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时， 能比较方便应用高斯定理求出场强。 能比较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选取适当 的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有： 的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
Φe > 0
而从曲面外向内穿进： 而从曲面外向内穿进：Φ e < 0 的单位： Φe的单位： N ⋅ m2 / C Φe < 0 r r 注： 1º Φ e = ∫SE ⋅ dS 表示净穿出闭合面的电场线的条数。 表示净穿出闭合面的电场线的条数。 2º 引入电场线，只是为了形象理解电场 ， 引入电场线，只是为了形象理解电场E， 实际上E是连续分布于空间 是连续分布于空间。 实际上 是连续分布于空间。
上底 下底 r r 侧面 = ∫ E⋅ dS = E ∫ dS = E⋅2πr⋅h
侧面
侧面
Φe = E ⋅ 2πr ⋅ h
E
Φe =
+
1
εo V
∫
ρ ⋅ dV
∴E =
λ 2πεor
1 λh = 1 ρ ⋅ πr 2 h = εo ε
0
体电荷密度
问：r→ 0，E → ∞？ r < R E = 0 → ， 均匀带电圆柱体内部电场： 均匀带电圆柱体内部电场： E= ρ r 2εo
o
Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 + Φ5 = 0 Nhomakorabeaz
三、高斯定律
高斯(Carl Friedrich Gauss 1777~1855)主要成就： 主要成就： 高斯 主要成就 (1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦 物理学和地磁学： 物理学和地磁学 关于静电学、 电的研究、地磁分布的理论研究。 电的研究、地磁分布的理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线 光学 行为和成像，建立高斯光学。 行为和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 天文学和大地测量学中： 天文学和大地测量学中 如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。 地球大小和形状的理论研究等。 (4)实验数据处理：结合试验数据的测算，发展了 实验数据处理： 实验数据处理 结合试验数据的测算， 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法， 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引 入高斯误差曲线。 入高斯误差曲线。 (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。 高斯还创立了电磁量的绝对单位制
en
S dS
r r Φ e = ∫ dΦ e = ∫ E ⋅ dS
s
S
r r 为闭合曲面时： 当S为闭合曲面时：Φ e = ∫ E ⋅ dS 为闭合曲面时
对闭合面的法线方向规定： 对闭合面的法线方向规定： 自内向外为法线的正方向。 自内向外为法线的正方向。 线从曲面内向外穿出： ∴E线从曲面内向外穿出：Φe > 0 线从曲面内向外穿出
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分 进行对称性分析，即由电荷分布的对称性， 进行对称性分析 布的对称性， 布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布 常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； （常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： 根据场强分布的特点， 适当的高斯面，要求： 根据场强分布的特点 待求场强的场点应在此高斯面上， ①待求场强的场点应在此高斯面上， 穿过该高斯面的电通量容易计算。 ②穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与 平行或垂直 平行或垂直， 与 一般地，高斯面各面元的法线矢量 与E平行或垂直，n与E 平行时， 的大小要求处处相等 使得E能提到积分号外面 的大小要求处处相等， 能提到积分号外面； 平行时，E的大小要求处处相等，使得 能提到积分号外面； 计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高 计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和 斯定理求出场强。 斯定理求出场强。
q⋅ dS dΦe = Ecos 0°dS = 2 4πεoR
穿过dS面元的电通量： 穿过 面元的电通量： 面元的电通量
(2)点电荷在任意形状的高斯面内 (2)点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面S 通过球面S的电场线也必通过任 意曲面S 即它们的电通量相等。 意曲面S' ，即它们的电通量相等。 S' q/ε 为q/εo v v
球对称分布
轴对称分布 无限大平面电荷
求均匀带电球面的电场分布。 例8. 求均匀带电球面的电场分布。 r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS = 设半径为R，电量为+q。 设半径为 ，电量为 。 εo 取以r为半径的同心高斯球面 为半径的同心高斯球面S 解：取以 为半径的同心高斯球面
∑q
S内
i
r≥R
θ > 90o
θ < 90o
Φe > 0 Φe < 0
SS
(2) E 为非均匀场 曲面S上 各点的 各点的E大小方向均不同 曲面 上,各点的 大小方向均不同 取面积元dS，其上的电通量： 取面积元 ，其上的电通量： r r dΦ = EdS cos θ = E ⋅ dS S面上的总通量： 面上的总通量： 面上的总通量
Φe =
Φe =
= E ⋅ 4 πr 2
1
∫
r r E ⋅ dS =
∫
dq
EdS
r
R
p dE'
o dq'
.
ε o S内 q ∴E = 4πεor2
qi = 1 q ∑
dE
E
εo
方向为 r
若r ≤ R r r Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS = E ⋅ 4πr 2
Φe = 1
E
εo
∑q
dN E＝ dS
性质： 性质： 1)起于正电荷止于负电荷 不形成闭合线，也不中断。 起于正电荷止于负电荷， 1)起于正电荷止于负电荷，不形成闭合线，也不中断。 2)在没有电荷的空间里，任何两条电场线不会相交。 在没有电荷的空间里，任何两条电场线不会相交。 在没有电荷的空间里
The elephant gnathonemus produces a dipole electric field and detects nearby objects by their effects on that field
∑ qi > 0 Φ e > 0 电场线穿出 ∑ qi < 0 Φ e < 0 电场线穿入
1、若高斯面上场强处处为零，则该面内必无电荷； ×、若高斯面上场强处处为零，则该面内必无电荷； × 若高斯面上场强处处不为零，则该面内必有电荷； 2、若高斯面上场强处处不为零，则该面内必有电荷； 、 3、若高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为零； ×、若高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为零； 4、若高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为零； 、 × 若高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为零； S1 q1 S2
S内
o
i
=0
R
r
∴E = 0
求均匀带电球的电场分布。 例9. 求均匀带电球的电场分布。 oV 设半径为R，电量为+q。 设半径为 ，电量为 。 取以r为半径的同心高斯球面 为半径的同心高斯球面S 解：取以 为半径的同心高斯球面 r≥R r r dq Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS = E ⋅ 4πr 2 dE' R p 1 1 . Φ e = ∫ dq = q o εo V εo r dE q dq' ∴E =