高考数学(理科)总复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

的判断 例 (2018豫南豫北高三第二次联考,2)若原命题为“若z1,z2为共轭复数, 则|z1|=|z2|”,则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次 为 ( ) A.真、真、真 B.真、真、假 C.假、假、真 D.假、假、假
解析 因为原命题为真,所以它的逆否命题为真;若|z1|=|z2|,当z1=1+i,z2=-1 +i时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题为假,故其否命题 也是假命题,故选C.
也不必要条件
p⇒q q⇒p p⇒q且q⇒p p⇒q且q⇒/ p p⇒/ q且q⇒p p⇒/ q且q⇒/ p
集合法:A={x|p(x)}, B={x|q(x)} ③ A⊆B A⊇B A=B ④ A⫋B A⫌B A⊈B且A⊉B
【特别提醒】判断充分条件与必要条件时应关注三点: (1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A且A B; “A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B且B A. (2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的真假不易进行时, 可以通过举出恰当的反例来说明. (3)要注意转化:¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件;¬p 是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件.条件和结论带有否定性词语的命 题,常转化为其逆否命题来判断.
12 12 12 12 12
6
sin θ< 1 ⇔- 7 +2kπ<θ< +2kπ,k∈Z.
26
6
由 0, 6
⊆ 76

2k , 6

2k

,k∈Z,
可得“ θ < ”是“sin θ< 1 ”的充分不必要条件.
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2
解法二: θ < ⇔0<θ< ⇒sin θ< 1,当θ=0时,sin θ< 1,但不满足 θ
考向基础 1.四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
考点清单
考点一 命题及其关系
表述形式 若p,则q 若q,则p 若¬p,则¬q 若¬q,则¬p
2.四种命题间的关系
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因此,当判断原命题 的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的
例 (2018湖南浏阳三校联考,17)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,a∈R;q:实 数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.若a<0且¬p是¬q的必要不充分条件,求实 数a的取值范围. 解题导引
解析 解法一:由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0, 当a<0时,3a<x<a,∴命题p对应的集合为{x|3a<x<a}, 由x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,得-2≤x≤3或x<-4或x>2, 则x<-4或x≥-2, ∴命题q对应的集合为{x|x<-4或x≥-2}. ¬p对应的集合为A={x|x≤3a或x≥a}, ¬q对应的集合为B={x|-4≤x<-2}, ∵¬p是¬q的必要不充分条件,
考向突破
考向 充分条件与必要条件的判断
例 (2017天津,4,5分)设θ∈R,则“ θ < ”是“sin θ< 1 ”的 ( )
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A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 解法一: θ < ⇔- <θ- < ⇔0<θ< ;
3
谢谢
考点二 充分条件与必要条件 考向基础 1.充分条件与必要条件 (1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的① 必要条件 . (2)若p⇒q且q⇒p,则p是q的② 充要条件 .
2.充分条件与必要条件的两种判断方法见下表:
条件
定义法
p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的既不充分
∴B⫋A,∴3a≥-2或a≤-4,解得a≥- 2或a≤-4,
3
解法二:¬p是¬q的必要不充分条件,
根据原命题与逆否命题等价,
得p是q的充分不必要条件,
由解法一知p:P={x|3a<x<a},q:Q={x|x<-4或x≥-2},
∴P⫋Q,∴
a a

4或3a 0,

2,∴a≤-4或- 2≤a<0.
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6
2
2
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< ,所以是充分不必要条件,故选A.
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答案 A
方法技巧
方法 根据充分、必要条件求参数取值范围的方法 (1)解决此类题的关键是合理转化条件、有关性质、定理等得到关于参 数的方程或不等式,然后通过解方程或者不等式求解问题. (2)注意命题的等价关系,原命题和逆否命题是等价的,逆命题和否命题 是等价的,利用命题的等价关系转换,将复杂的命题关系简单化. (3)命题的充要条件关系往往转化为集合间的相等关系,进而得到方程 或不等式.