内蒙古乌兰察布市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

内蒙古乌兰察布市19-20学年高三上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 复数z =(3+2i)(3−i)，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是( )
A. −3
B. 3
C. 3i
D. −3i
2. 已知集合A ={−1,0，1}，B ={x|x −x 2=0}，则A ∩B =( )
A. {0}
B. {1}
C. (0,1)
D. {0,1} 3. 若α,β∈R ，且α≠kπ+π2(k ∈Z),β≠kπ+π2(k ∈Z)则“α+β=π4”是“(tanα+1)(tanβ+
1)=2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要 4. 设a =log 2e ，b =ln2，c =log 121
3，则( )
A. a <b <c
B. b <a <c
C. b <c <a
D. c <b <a
5. a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(−1,1)，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =( )
A. −5
B. 7
C. 5
D. −7 6. 在(x 2−1x )n 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )
A. −15
B. −30
C. 15
D. 30
7. 已知a ，b ∈R ，不等式组{−1≤a ≤1,−1≤b ≤1
表示的平面区域为M ，不等式组{a −2b ≤2,a −2b ≥−2表示的平面区域为N.现向平面区域M 内随机抛撒一粒豆子，则该豆子落在平面区域N 的概率是 ( )
A. 78
B. 67
C. 89
D. 4
5 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. 43π+23
B. 23π+23
C. 43π+2
D. 2
3π+2 9. 已知数列{a n }的前S 项和为S n ，且S n =n −n 2，则a 4=( )
A. −6
B. −8
C. −12
D. −14
10. 若抛物线y 2=2px(p >0)的焦点与双曲线x 2−y 2=2的右焦点重合，则p 的值为( )
A. √2
B. 2
C. 4
D. 2√2
11. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b +c =2a ，3sinA =5sinB ，则C =( )
A. π3
B. 2π3
C. 3π4
D. 5π
6 12. 函数f(x)=(x −1)ln|x|−1的零点的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f (x )=ax cosx −x (a ∈R )，若f (2018)=2，则f(−2018)=________．
14. 设x >0，则x 2+x+3
x+1的最小值为______ ．
15. 已知函数f(x)={|lnx|,0<x ≤e 3−x +e 3+3,x >e 3
，存在x 1<x 2<x 3，f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则f(x 3)x 2的最大值为______．
16. 如图，E 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且BD 1//平
面B 1CE ，则异面直线BD 1与CE 所成成角的余弦值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=18，a 2a 3=32．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }的通项公式b n =1log
2a n ⋅log 2a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．
18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单
位t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2，…8)数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
x yω∑(x i−
8
i=1
x)2
∑(ωi−ω)2
8
i=1
∑(x i−x)(y i−y)
8
i=1
∑(ωi−ω)(y i−y)
8
i=1
46.6563 6.8289.8 1.6 1.469108.8
表中ωi=√x i，ω=1
8∑ωi 8
i=1．
(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d√x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y−x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小
二乘估计分别为β̂=(u i −u)(v i −v)n
i=1∑(u −u)2n ，α̂=v −β̂u ．
19. 在直角梯形中ABCD 中．
AB//CD ，AB ⊥BC ，E 为AB 上的点，且BE =1，AD =AE =DC =2，将△ADE 沿DE 折叠到P 点，使PC =PB ．
(Ⅰ)求证：平面PDE ⊥平面ABCD ；
(Ⅱ)求二面角A −PD −E 的余弦值．
20. 椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为1
2． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点．求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．
21. 已知函数f (x )=a (x −1)2+lnx +1在区间[2,4]上递减，求实数a 的取值范围；
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =t
y =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是
{x =2+2cosϕy =2sinϕ
，(ϕ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；
(2)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．
23. 已知函数f(x)=|2x +1|+|2x −1|．
(1)求证：f(x)的最小值等于2；
(2)若对任意实数a 和b ，|2a +b|+|a|−12|a +b|f(x)≥0，求实数x 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：∵z=(3+2i)(3−i)=11+3i，
∵z的虚部是3．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.答案：D
解析：
本题考查交集的求法，是基础题．解方程求出集合B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A={−1,0，1}，
B={x|x2=x}={0,1}，
∴A∩B={0,1}．
故选D．
3.答案：A
解析：因为(tanα+1)(tanβ+1)=2，所以tanαtanβ+tanα+tanβ+1=2，tanα+tanβ=1−
tanαtanβ，tan(α+β)=tanα+tanβ
1−tanαtanβ=1，∴α+β=π
4
+kπ(k∈Z).当k=0时，α+β=π
4
.所以，“α+
β=π
4
”是“(tanα+1)(tanβ+1)=2”的充分不必要条件.
4.答案：B
解析：解：∵c=log23>log2e=a>1>ln2=b．
∴b<a<c．
故选：B．
利用指数对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.答案：B
解析：解：∵a⃗=(2,−1)，b⃗ =(−1,1)，
2a⃗+b⃗ =2(2,−1)+(−1,1)=(3,−1)，
∴(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=6+1=7．
故选：B．
利用向量的坐标与数量积运算即可得出．
本题考查了向量的坐标与数量积运算，属于基础题．
6.答案：C
解析：解：∵展开式中中间项的二项式系数最大
又∵第4项的二项式系数最大
∴展开式共7项
∴n=6
∴展开式的通项为T k+1=C6k(x2)6−k(−1
x
)k=(−1)k C6k x12−3k
令12−3k=0得k=4
展开式中常数项是(−1)4C64=15
故选项为C
7.答案：A
解析：
本题考查了几何概型的公式的运用；关键是画出区域，求出区域面积，利用几何概型公式求值．分别画出点集对应的区域，求出面积，利用几何概型的公式解答．
解：如图所示，不等式组{−1≤a≤1,
−1≤b≤1
表示的平面区域M为图中的四边形ABCD所围成的区域．
易知直线a−2b=−2分别交直线a=−1与b轴于点E(−1,1
2
)，F(0,1)，
所以|BE|=1
2
，|BF|=1，
所以S▵BEF=1
2|BE|⋅|BF|=1
2
×1
2
×1=1
4
，
易得△DHG≌△BEF，
所以S▵DHG=S▵BEF=1
4
，
所以阴影部分的面积S=S▵ABCD−2S▵BEF=22−2×1
4=7
2
，
所以豆子落在平面区域N内的概率S
S▵ABCD =
7
2
22
=7
8
．
故选A．
8.答案：D
解析：解：根据几何体的三视图：
该几何体是由左边是由一个半径为1的半球，右边是由一个底面为腰长为√2的等腰直角三角形，高为2的三棱柱构成．
故：V=1
2⋅4
3
⋅π⋅13+1
2
⋅√2⋅√2⋅2，
=2π
3
+2．
故选：D．
首先利用几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，主要考察几何体的体积公式的应用和相关的运算问题的应用，属于基础题型．
9.答案：A
解析：解：当n≥2时，a n=S n−S n−1=n−n2−[(n−1)−(n−1)2]=2−2n．∴a4=2−2×4=−6．
故选：A．
当n≥2时，a n=S n−S n−1即可得出．
本题考查了递推式的意义及其通项公式，属于基础题．
10.答案：C
解析：解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(p
2
,0)，
双曲线x2−y2=2即x2
2−y2
2
=1的右焦点为(2,0)，
由题意可得p
2
=2，解得p=4．
故选C．
求出抛物线的焦点和双曲线的右焦点，可得p的方程，即可解得p．
本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查焦点坐标，考查运算能力，属于基础题．
11.答案：B
解析：
本题考查正弦定理、余弦定理，属于基础题．
已知3sinA=5sinB，由正弦定理得边之间的关系，结合b+c=2a，利用余弦定理求出cos C，根据C∈(0,π)，可得C的值．
解：已知3sinA=5sinB，由正弦定理得3a=5b，∴b=3
5
a①，
把①代入b+c=2a，得c=7
5
a，
由余弦定理，得cos C=a 2+b2−c2
2ab
=a
2+9
25
a2−49
25
a2
2a⋅3
5
a
=−1
2
．
∵C ∈(0,π)，∴C =2π3
．
故选B ．
12.答案：D
解析：解：由题意，x ≠1，f(x)=(x −1)ln|x|−1=0得ln|x|=1
x−1，
设函数y =ln|x|与y =1
x−1，分别作出函数y =ln|x|与y =
1x−1
的图象如图：
由图象可知两个函数的交点个数为3个， 故函数的零点个数为3个， 故选D ．
由f(x)=0得ln|x|=1
x−1，然后分别作出函数y =ln|x|与y =1
x−1的图象，利用数形结合即可得到结论． 本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．
13.答案：−2
解析：
本题考查函数的奇偶性的应用，属基础题．
先判断函数的奇偶性，再根据函数为奇函数，利用其性质即可解答． 解：因为函数f (x )=ax
cosx −x (a ∈R )的定义域为，
定义域关于原点对称，
，
所以函数f(x)为奇函数，
f (2018)=2，则f(−2018)=−f(2018)=−2， 故答案为−2．
14.答案：2√3−1
解析：
本题考查基本不等式求最值，属于简单题．
可令t=x+1(t>1)，则x2+x+3
x+1=(t−1)2+t−1+3
t
=t+3
t
−1，再由基本不等式可得最小值．
解：由x>0，可得x+1>1，可令t=x+1(t>1)，
即x=t−1，
则x2+x+3
x+1=(t−1)2+t−1+3
t
=t+3
t −1≥2√t⋅3
t
−1=2√3−1．
当且仅当t=√3，即x=√3−1，取得最小值．故答案为：2√3−1．
15.答案：1
e
解析：解：作出f(x)的函数图象如图所示：
∵存在x1<x2<x3，f(x1)=f(x2)=f(x3)，∴1<x2<e3，
∴f(x3)
x2=f(x2)
x2
=lnx2
x2
，
令g(x)=lnx
x ，x∈(1,e3)，则g′(x)=1−lnx
x2
，
∴当1<x<e时，g′(x)>0，当e<x<e3时，g′(x)<0，
∴g(x)在(1,e)上单调递增，在(1,e 3)上单调递减， ∴当x =e 时，g(x)取得最大值g(e)=1
e ． ∴
lnx 2x 2
的最大值为1
e ．
故答案为1
e ．
作出f(x)的函数图象，得出x 1，x 2，x 3的关系和范围，从而计算出答案．
本题考查了函数的单调性判断，函数最值的计算，找出x 2的范围，构造函数g(x)是关键，属于中档题．
16.答案：√155
解析：解：连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结OE ， ∵E 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点， ∴BCC 1B 1是正方形，∴O 是BC 1中点， ∵BD 1//平面B 1CE ，∴BD 1//OE ，
∴E 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点， 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，
则B(2,2，0)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，E(0,1，2)， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， 设异面直线BD 1与CE 所成成角为θ，
cosθ=|BD
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |
=6
√12⋅√
5
=√15
5
． ∴异面直线BD 1与CE 所成成角的余弦值为√155
．
故答案为：√15
5
．
连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结OE ，由BD 1//平面B 1CE ，得到E 是棱C 1D 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出异面直线BD 1与CE 所成成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．
17.答案：解：(1)由题意知a 1a 4=a 2a 3=32，
又a 1+a 4=18，
可得a 1=2，a 4=16或a 1=16，a 4=2(舍去)，
设等比数列的公比为q ，由q 3
=a
4a 1
=8，
可得q =2，
故a n =2⋅2n−1=2n ，n ∈N ∗； (2)由题意知b n =1
log
2a n ⋅log 2a n+1
=
1
log 22n ⋅log 22n+1
=1
n(n+1)=1
n −1
n+1，
数列{b n }的前n 项和S n =1−1
2+1
2−1
3+⋯+1
n −1
n+1 =1−
1n+1
=
n
n+1
．
解析：(1)运用等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式； (2)求得b n =1
log
2a n ⋅log 2a n+1
=1n(n+1)=1n −1
n+1，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．
18.答案：解：(1)由散点图可以判断，y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程
类型．
(2)令w =√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程． 由于=
i −ω)(y i −y)
n i=1∑(ω−ω)
2n =
108.81.6
=68，
=y −w =563−68×6.8=100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为=100.6+68√x ．
(3)①由(2))知，当x=49时，
年销售量y的预报值=100.6+68√49=576.6，
年利润z的预报值=576.6×0.2−49=66.32．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
=0.2(100.6+68√x)−x=−x+13.6√x+20.12．
=6.8，即x=46.24时，取得最大值．
所以当√x=13.6
2
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
解析：本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
(1)根据散点图，即可判断得到结果；
(2)先建立中间量ω=√x，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
(3)①年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可；
②求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
19.答案：(Ⅰ)证明：取BC的中点G，DE中点H，连结PG，GH，HP，HA，如图：
∵HG//AB，AB⊥BC，
∴HG ⊥BC ， 又∵PB =PC ， ∴PG ⊥BC ，
∴BC ⊥平面PGH ，
，
∵PD =PE ，H 为DE 中点，PH ⊥DE ， BC 与DE 不平行，
∴PH ⊥平面ABCD ，∵PH ⊂平面PDE ， ∴平面PDE ⊥平面ABCD ．
(Ⅱ)解：以HA ，HE ，HP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， H(0,0，0)，A(√3,0，0)，E(0,1，0)， P(0,0，√3)，D(0,−1,0)，
设平面PAD 的法向量n
⃗ =(x,y ，z)， ∵DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)， ∴{
n ⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0
n
⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +√3z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,1)，
又平面DPE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)， ∵cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=
√
5
=√5
5
． ∴二面角A −PD −E 的余弦值为√55
．
解析：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
(Ⅰ)取BC 的中点G ，DE 中点H ，连结PG ，GH ，HP ，由已知条件推导出BC ⊥平面PGH ，所以PH ⊥BC ，PH ⊥DE ，由此能证明平面PDE ⊥平面ABCD ．
(Ⅱ)以HA ，HE ，HP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PD −E 的余弦值．
20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =1
2，
解得a =2，b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆C 的方程为
x 24
+
y 23
=1；
(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)， 由题意可得直线MN 的方程为y =x −1， 代入椭圆方程
x 24
+
y 23
=1，可得
7x 2−8x −8=0， x 1+x 2=87，x 1x 2=−8
7
，
k PM +k PN =y 0−y 11+y 0−y 2
2
=(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)
(4−x 1)(4−x 2)
=
8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)
16+x 1x 2−4(x 1+x 2)
=
8y 0+8−167−87(y 0+5)
16−87−
327
=
2y 03
，
又k PF =
y 03
，则k PM +k PN =2k PF ，
则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．
解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；
(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．
21.答案：解：f′(x)=2a(x −1)+1
x
∵函数f (x )=a (x −1)2+lnx +1在区间[2,4]上递减， ∴f′(x)=2a(x −1)+1
x ≤0在区间[2,4]上恒成立
即2a ≤1
−x +x 在区间[2,4]上恒成立
只需2a 不大于1
−x 2+x 在区间[2,4]上的最小值 当2≤x ≤4时，1
−x 2+x ∈[−1
2,−1
12]
∴2a ≤−12，a ≤−1
4
∴实数a 的取值范围为(−∞,−1
4]
解析：本题考查利用导数解决函数的单调性问题，本题解题的关键是转化为f′(x)=2a(x −1)+1
x ≤0在区间[2,4]上恒成立．求导数，利用函数f(x)在区间[2,4]上递减，可得f′(x)=2a(x −1)+1
x ≤0在区间[2,4]上恒成立，即可求出实数a 的取值范围．
22.答案：解：(1)直线l 的参数方程是{x =t
y =t +1(t 为参数)，
转换为直角坐标方程为：x −y +1=0． 转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0． 曲线C 的参数方程是{x =2+2cosϕy =2sinϕ，(φ为参数)，
转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4， 转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ． (2)由于0<α<π
2， 所以：|OP|=4cosα，
，|OQ|=1
sinα+cosα，
所以：S △OPQ =1
2|OP||OQ|=2cosα
cosα+sinα=1， 所以：tanα=1， 由于：0<α<π2， 故：α=π
4，
所以：|OP|=4cos π
4=2√2．
解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．
23.答案：(1)证明：∵|2x+1|+|2x−1|=|2x+1|+|1−2x|≥|(2x+1)+1−2x|=2，∴f(x)≥2．
当且仅当(2x+1)(1−2x)≥0时“=”成立，即当且仅当−1
2≤x≤1
2
时，f(x)=2．
∴f(x)的最小值等于2．
(2)解：当a+b=0即a=−b时，|2a+b|+|a|−1
2
|a+b|f(x)≥0可转化为2|b|−0⋅f(x)≥0，即2|b|≥0成立，∴x∈R．
当a+b≠0时，
∵|2a+b|+|a|=|2a+b|+|−a|≥|(2a+b)−a|=|a+b|，
当且仅当(2a+b)(−a)≥0时“=”成立，即当且仅当(2a+b)a≤0时“=”成立，
∴|2a+b|+|a|
|a+b|≥1，且当(2a+b)a≤0时，|2a+b|+|a|
|a+b|
=1，
∴|2a+b|+|a|
|a+b|
的最小值等于1，
∵|2a+b|+|a|−1
2|a+b|f(x)≥0，⇔|2a+b|+|a|
|a+b|
≥1
2
f(x)，
∴1
2
f(x)≤1，即f(x)≤2．
由(1)知f(x)≥2，∴f(x)=2．
由(1)知当且仅当−1
2≤x≤1
2
时，f(x)=2．
综上所述，x的取值范围是[−1
2,1
2 ]．
解析：(1)利用绝对值不等式的性质，证明f(x)的最小值等于2；
(2)若对任意实数a和b，|2a+b|+|a|−1
2|a+b|f(x)≥0，分类讨论，当且仅当−1
2
≤x≤1
2
时，f(x)=
2.，即可求实数x的取值范围．
本题考查绝对值不等式的性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。