高中数学选修1-2精品课件：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用

2.线性回归方程 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归 直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
i＝1
b^＝
＝
，a^＝ y －b^ x ，其中( x ， y )称为样本点的
n
xi－ x 2
价格x 需求量y
1.4
1.6
1.8
2
2.2
12
10
7
5
3
(1)画出散点图； 解 散点图如图所示.
解析答案
(2)求出y对x的线性回归方程；
解析答案
(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少. 解 当 x＝1.9 时，^y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)， 所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.
6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
求y对x的回归方程.
解析答案
易错点 忽视线性相关性的分析致误 例4 在一次抽样调查中测得变量x与y的一组样本数据如下表：
yi－^yi 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－y －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
6
6
所以 (yi－^yi)2≈0.013 18， (yi－ y )2＝14.678 4.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.16738148≈0.999 1，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析， 得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
解 如图：
解析答案
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ^y＝b^x＋a^；
解析答案
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力. 解 由(2)中线性回归方程当x＝9时， ^y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4.
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
中心.
思考1 确定线性回归方程，只需得出哪两个量？ 答案 确定线性回归方程，只需确定a，b两个量即可. 思考2 回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？ 答案 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预 报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高 的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等.
解析答案
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
解析答案
(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值. 解 当x＝40时，y＝e0.272感悟
解析答案
跟踪训练3 为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y， 收集数据如下：
天数x
12 3 4 5
回归模型的拟合效果较好.
解析答案
(3)进行残差分析. 解 由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认 在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据， 重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过 0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高， 由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系.
n
残差平方和
(yi－y^i)2，残差平方和
越小 ，模型拟合效果越好.
i＝1
答案
3.利用R2刻画回归效果
n
yi－y^i2
i＝1
R2＝1－
；R2 表示 解释 变量对于 预报 变量变化的贡献率.R2 越接
n
yi－ y 2
i＝1
近于 1 ，表示回归的效果越好.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 求线性回归方程 例1 在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之 间的关系有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y对x的线性回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏.
解析答案
题型三 非线性回归分析 例3 下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
解析答案
题型二 线性回归分析 例2 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同 重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x
5
10
15
20
25
30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程；
解析答案
(2)求出R2; 解 列表如下：
第一章 统计案例
§ 1.1 回归分析的基本思想及其 初步应用
学习 目标
1.了解随机误差、残差、残差图的概念. 2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果. 3.掌握建立线性回归模型的步骤.
栏目 索引
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知识梳理
自主学习
知识点一 线性回归方程 1.回归分析 (1)函数关系：函数关系是一种确定性的关系.例如正方形的周长C＝4a， 周长C与边长a之间就是一种确定性关系，对于自变量(边长)的每一个确定 的值，都有唯一确定的周长与之相对应. (2)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的 两个变量之间的关系叫作相关关系.相关关系是一种非确定性关系. 回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法叫 作回归分析.
答案
知识点二 残差的概念 对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为 ei＝ yi－bxi－a ，i＝1,2，…，n，其估计值为^ei＝yi－^yi＝yi－b^xi－a^，i＝1,2，…， n，^ei 称为相应于点(xi，yi)的残差 .
答案
知识点三 刻画回归效果的方式 1.残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标 可以选为样本编号，或身高数据，或体重估 计值等，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点 比较均匀 地 落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽 度 越窄 ，说明模型拟合精度越高. 2.残差平方和法