甘肃省文科数学高考模拟试卷 (1)

2015年甘肃省高考模拟试卷（一）
数 学 试 题 （文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间150分钟，满分150分。

注：考点属于集合与逻辑用语、函数与导数、数列、三角函数、平面向量、不等式。

命题人：张兴钊 审题人：张兴钊
第Ⅰ卷（选择题）60分
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |
x －1
x
<0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合{x |x ≤0}等于( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C.∁U (A ∩B ) D ．∁U (A ∪B )
2．设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n
a n ( )
A ．4n －1
B ．4n －1
C ．2n －1
D ．2n －1
4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12， 则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7
5. 将函数y ＝sin x 的图象向左平移π
2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象则下列说法正确的是( )
A ．y ＝f (x )是奇函数
B ．y ＝f (x )的周期为π
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝
π
2
对称 6. 已知f (x ＋1)为偶函数，且f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，a ＝f (2)、b ＝f (log 32)、c ＝f (1
2)，
则有 ( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．c <b <a
D ．a <c <b
7．已知函数f (x )＝x 2的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )
A ．(－32，3)
B ．(0，－4)
C ．(2,3) D. (1，－14
)
8.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，则该函数的图象是( )
9．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC → D.12BC →
10．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b ＞b ＋1
a
B.b a ＞b ＋1
a ＋1
C ．a －1b
＞b －1a
D.
2a ＋b a ＋2b ＞a
b
11．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧
x ＋y ≥3，
x －y ≥－1，
2x －y ≤3，
则目标函数z ＝
y ＋1
x
的最小值为( ) A.5 B.2 C.1 D.3
12．已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2
.若函数g (x )＝⎩⎨
⎧
e x
x ≤0ln x x >0，则函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上零点的个数
是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
第Ⅱ卷（非选择题）90分
二．填空题：本大题共4小题，共20分.
13.设p ：
x x －2
<0，q ：0<x <m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．
14．函数y ＝log 3(2cos x ＋1)，x ∈(－2π3，2π
3
)的值域为___．
15．设0<θ<π
2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝________.
16．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1
y
＝1，若x ＋2y ＞m 2
＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一个零点是3π
4.（10分）
(1)求实数a 的值；
(2)设g (x )＝[f (x )]2－2sin 2x ，求g (x )的单调递增区间．
18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，满足b 2＋c 2＝bc ＋a 2.（12分）
(1)求角A 的大小；
(2)已知等差数列{a n }的公差不为零，若a 1cos A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数 列，求{4
a n a n ＋1
}的前n 项和S n .
19.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .
已知b (cos A －2cos C )＝(2c －a )cos B .（12分）
(1)求c
a
的值；
(2)若cos B ＝1
4，△ABC 的周长为5，求b .
20．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
21．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为：Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
(1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
22．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.（12分）
(1)求a 的取值范围；
(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．
2015年甘肃省高考模拟试卷（一）
数 学 试 题 （文）
参考答案：
13.(2，＋∞) 14. (－∞，1] 15.1
2
16.－4＜m ＜2.
17.[解析] (1)依题意，得f (3π
4
)＝0，
∴sin
3π4＋a cos 3π4＝22－2a 2
＝0， ∴a ＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin x ＋cos x ，
∴g (x )＝[f (x )]2－2sin 2x ＝(sin x ＋cos x )2－2sin 2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
4)．
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2
得，
k π－
3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z ∴g (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π
8](k ∈Z )．
18.[解析] (1)∵b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴
b 2＋
c 2－a 2
2bc ＝bc 2bc ＝12，∴cos A ＝1
2
， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝
π3
. (2)设{a n }的公差为d ，由已知得a 1＝
1
cos A
＝2，且a 24＝a 2·a 8， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，且d 不为零， ∴d ＝2，∴a n ＝2n .
∴4
a n a n ＋1＝
1n
n ＋1＝1n －1n ＋1
，
∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n
n ＋1.
19.[解析] (1)在△ABC 中，有
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R ，
又b (cos A －2cos C )＝(2c －a )cos B ，则 sin B (cos A －2cos C )＝2(sin C －sin A )cos B ， 即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ，
∴sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )⇒sin C ＝2sin A ⇒c a
＝2.(也可用余弦定理求解) (2)由(1)c
a
＝2⇒c ＝2a ，又a ＋b ＋c ＝5，∴b ＝5－3a . 由余弦定理得：b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，
∴(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×1
4⇒a ＝1，或a ＝5，
当a ＝1⇒b ＝2，当a ＝5与a ＋b ＋c ＝5矛盾．故b ＝2. 20.[解析] 若方程x 2
＋mx ＋1＝0有两个不等的负根x 1，x 2，
则⎩⎨⎧
Δ＞0，x 1＋x 2＜0，x 1
x 2
＞0，
即⎩⎨
⎧
Δ＝m 2
－4＞0，m ＞0.
解得m ＞2， 即p ：m ＞2.
若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0， 解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，
∴p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真． ∴⎩⎨
⎧
m ＞2，
m ≤1或m ≥3
或⎩⎨
⎧
m ≤2，1＜m ＜3.
解得m ≥3或1＜m ≤2.
∴m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C C D D D B A A C D
[答案] (1,2]∪[3，＋∞)
21.[解析](1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *.
P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000)＝－20x 2＋2 500x －4 000，
MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x －4 000)＝2 480－40x .
(2)P (x )＝－20⎝
⎛
⎭⎪⎫x －12522＋74 125，
当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数， 所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440元．
故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元．
[答案](1)P (x )＝－20x 2＋2 500x －4 000，MP (x )＝2 480－40x ；(2)71 680元． 22.[解析] (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1，
则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ，
f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x
依题意须对于任意x ∈(0,1)，有f ′(x )<0.
当a >0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0) ＝－a <0，所以须
f ′(1)＝(a －1)e<0，即0<a <1；
当a ＝1时，对任意x ∈(0,1)有f ′(x )＝(x 2－1)e x <0，f (x )符合条件； 当a ＝0时，对于任意x ∈(0,1)，f ′(x )＝－x e x <0，f (x )符合条件； 当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围0≤a ≤1.
(2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ，
(ⅰ)当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.
(ⅱ)当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)有g ′(x )＝－2x e x <0，g (x )在x ＝0处 取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.
(ⅲ)当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a
2a
>0. ①若
1－a 2a ≥1，即0<a ≤1
3
时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得 最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. ②若
1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a )＝2a e 1－a 2a
， 在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a, g (1)＝(1－a )e ， 则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；
当e －1e ＋1
<a <1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.。