2021海安南外金陵三校联考四模数学卷

＋ ＋…＋ ＝ ＋ 的最小值是 江苏省海安高级中学 南京外国语学校 南京市金陵中学
2018 届高三年级第四次模拟考试
数学试题 9．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，
c
＝ 2，则∠C 的值为
▲
．
10．已知函数 f (x )＝ln|x |－x －2，则不等式 f (2a －1)－f (a )＜0 中 a 的取值范围是
▲ ．
数学 I
11．已知 S
为数列{a }的前 n 项和，若 a ＝2，且 S ＝2S ，设
b ＝log a ，则 1 1 1 n n 1 n ＋1 n
n 2 n b 1b 2 b 2b 3 b 10b 11
参考公式：球的体积公式： V = 4
πr 3 ，其中 r 为球的半径；
3
1 n 2
1 n
的值是 ▲ ．
12．已知关于 x 的方程 x 2－6x ＋(a －2)|x －3|－2a ＋9＝0 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围
样本数据 x ，x ， ，x 的方差 s 2
= ∑(
x - x )
,其中 x = ∑ x ．
1 2 n
n i =1 n i =1
是 ▲
．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．已知复数 z ＝1＋2i （i 为虚数单位），则 z 2 的值为 ▲ ．
2．某射击运动员在五次射击中，分别打出了 9，8，10，8，x 环的成绩，且
这组数据的平均数为 9，则这组数据的方差是 ▲
．
3．袋中装有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球
从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲
．
5．设集合 A ＝[－1，0]， B ＝{y |y ＝ 0.5x 2
-1 ，x ∈R }，则 A ∪B ＝
▲
．
（第 4 题图）
13．已知正数 x ，y ，z 满足 x 2＋y 2＋z 2＝1，则 S 1＋z 1
▲
．
xy z
14．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2＝2px 的上半支(y ≥0）与圆(x －2)2＋y 2＝3 相交于 A ，B 两
点，直线 y ＝x 恰好经过线段 AB 的中点，则 p 的值为 ▲
．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）
(1) 求函数 f (x )的单调递增区间；
6．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2
－ 双曲线的准线方程为 ▲ ． y 2
＝1(b ＞0) b 2
(2) 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 f (A )＝1，a ＝2 3，c ＝2，求△ABC 的面积．
16．（本小题满分 14 分）
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 36，则这个球的体积为 如图，在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AA 1，点 M ，N 分别为 A 1B 和 B 1C 1 的中点．
▲ ．
8．若函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<
π
)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高
2
(1) 求证：MN ∥平面 A 1ACC 1；
(2) 求证：平面 A 1BC ⊥平面 MAC ．
1
B
（第 8 题图）
MP NQ
B
（第 16 题图）
i i S ←1 I ←2
While S ≤100 I ←I ＋2 S ←S ×I End While Print I
1
2 17．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C ：x 2＋y 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为 3
，F ，F a 2 b 2 2 分别是椭圆的 19． （本小题满分 16 分） 已知 f (x )＝ln x －ax 3
，g (x )＝
a e x
左、右焦点，过 F 2 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点，且△AF 1F 2 的周长是 4＋2 3． (1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 当 AB ＝3
DE 时，求△ODE 的面积（O 为坐标原点）．
2
18．（本小题满分 16 分）
如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点， A 为道路 OM 上一游客休息区．已知 tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线 OM ，ON 的距离分别 ．
e
(1) 若直线 y ＝x 与 y ＝g (x )的图象相切，求实数 a 的值；
(2) 若存在 x 0∈[1，e]，使 f (x 0)＞(1－3a )x 0＋1 成立，求实数 a 的取值范围；
(3)
20． (本小题满分 16 分)
为 3(百米) 6 10 百米)．现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸至道路 ON 于点 B ，并在 B 处
已知各项均为正数的数列{a }满足，a ＝1，a ＝λa n 2
＋2a n ＋μ，n ∈N *．
，
(
5 a n ＋1
修建一游客休息区．
(1) 求有轨观光直路 AB 的长；
(2) 已知在景点 Q 的正北方 6 百米的 P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为 9 分钟．表
（1）当λ＝2，μ＝0 时，求证：数列{a n }为等比数列； （2）若数列{a n }是等差数列，求λ＋μ的值；
（3）若λ＝1，μ为正常数，无穷项等比数列{b n }满足 a 1≤b n ≤a n ．求{b n }的通项公式．
演时，喷泉喷洒区域以 P 为圆心，r 为半径变化，且 t 分钟时， r 2 (百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车 S （大小忽略不计）正从休息区 B 沿(1)中的轨道 BA 以 2(百米/分钟)的速度开往休息区 A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．
N
A
（第 18 题）
n 1
n 1＋ at B
P
Q
4
数学 II （附加题）
21．【选做题】本题包括 A ，B ，C ，D 四小题，请．选．定．其．中．两．题．作．答．，每小题 10 分，共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A ．选修 4—1：几何证明选讲
自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA ，切点为 A ，M 为 PA 的中点， 过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．
B ．选修 4—2：矩阵与变换
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
22．某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，
具体保养安排如下：
该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A ，B ，C ．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A ，B ，C 三辆车每天出车的概率依次 为2，2，1，且A ，B ，C 三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车． ⎡2 b ⎤ ⎡ 1⎤
3 3 2
已知二阶矩阵 A = ⎢c 1 ⎥ ，矩阵 A 属于特征值λ= -1的一个特征向量为α= ⎢-1⎥ ．求矩阵 A 的逆 （1）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；
⎣ ⎦ 矩阵．
⎣ ⎦
（2）设 X 表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求 X 的分布列及其数学期望 E (X )．
C ．选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的方程为 x 4
+ y 2 = 1．以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴
23．设集合 S = {1，2，3， ，n }(n ≥5 )，对 S 的每一个 4 元子集，将其中的元素从小到大排列，并取
出每个集合中的第 2 个数．记取出的所有数的和为 F (n )．
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρcos (θ- π )
= 2
．点 P 为椭圆 C 上的动
（1）求 F (5)的值；
点，点 Q 为直线 l 上的动点，求线段 PQ 的最小值．
（2）求证：
F (n ) 5 n +1
为定值．
D ．选修 4—5：不等式选讲
若正数 a ，b ，c 满足 a + 2b + 4c =3，求 1
+ a + 1
1 + b + 1
1 c + 1
的最小值．
2 C 2 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
保养车辆
尾号
0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
3 3
2 3
3 4 m 2
+ 1
+ = C ∈ 0 C =因为
2 2 6
【填空题答案】 1. －3＋4i 2. 4
5 数学答案
3. 5
6 4. 8
因为 AC 1 ⊂ 平面 A 1 ACC 1 ， MN ⊄ 平面 A 1 ACC 1 ，
所以MN // 平面 A 1 ACC 1 ．
…………6 分
5. [-1 ，2] 9. π
6. x = ± 1
2
10. 1 < a <1且 a ≠ 1
11. 19
8.
- 4
（2）因为 AB = AA 1 ，点 M 为 A 1 B 的中点，
所以 AM ⊥ A 1B ．
…………8 分
6
3
2
10
7 在直三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中， AA 1 ⊥ 平面 ABC ，
12. a ＞0 或 a ＝－2
13. 3 + 2
【解答题答案】
15.解：（1） f (x ) = cos 2 x - sin x (sin x - 2 3 cos x ) = cos 2 x - sin 2 x + 2 3 sin x cos x = 14.
4
3 sin 2x + cos 2x
因为 AC ⊂ 平面 ABC ，所以 AA 1 ⊥
AC ． 因为∠BAC = 90 ，即 AB ⊥ AC ， 又 AB AA 1 = A ，AB ， AA 1 ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ， 所以 AC ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ，
= 2 ( 3
sin 2x + 1 cos 2x )= 2 sin (2x + π )
，
…………4 分
令2k π - π < 2x + π < 2k π + π ，则 k π - π
< x < k π + π
， 因为 A 1 B ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ，所以 AC ⊥ A 1B ． …………12 分
因为 AM AC = A ，AM ， AC ⊂ 平面MAC ， 所以 A B ⊥ 平面MAC ， 2 6 2
3
6
1
所以函数的单调递增区间为(
k π - π
，k π +
π
)，k ∈Z ． …………6 分
因为 A 1 B ⊂ 平面 A 1 BC ，所以平面 A 1BC ⊥ 平面 MAC ．
…………14 分 3
6
3
c 3 3 （2） 2 sin (2x + π )
= 1，因为0 < A <π，所以π
< 2A + π< 13π
，
17. 解：（1）由 e ＝ ，知 ＝ ，所以 c ＝ a ，
…………2 分 2 a 2 2
6 即 2A π 5π
6 6 6 6 6
π ； …………8 分
3
因为△PF 1F 2 的周长是 4＋2 3，所以 2a ＋2c ＝4＋2 3，
…………4 分
所以 a ＝2，c ＝ 3，故 b 2＝a 2－c 2＝1， a
c
c sin A
2 ⨯ 2 1
所以椭圆 C x 2
的方程为 ＋ 4
y 2＝1. …………6 分
由正弦定理得：
= sin A sin C ，所以sin C = =
= a
， …………10 分
2 2π π
， 3 6 ，故 B = π， 2 （2）分析知直线l 1 的斜率存在，且不为 0，设l 1 的方程为： x = my + ，
与椭圆方程联立：
所以 S ∆ABC
= 1 ⨯ 2 3 ⨯ 2 ⨯ sin π= 2 2 2
． …………14 分
⎧ x 2 ⎪ ⎨ + y 2
= 1 ，得( m
+ 1) y 2 + y - 1 = 0 ，
…………8 分
16.【证】（1）连结 AB ， AC ，
⎪x = my +
4 2 4 1
1
⎩
在三棱柱 ABC - A B C 中， AA // BB ， AA = BB ，
4(m 2 + 1)
1 1 1
1 1 1 1
AB 1 - y 2 =
⋅ m 2
+ 4 = m 2 + 4 ；
所以四边形 ABB 1 A 1 为平行四边形，
同理： DE = 4( 1 m 2 + 1)
= 4(m + 1)
…………10 分
因为 M 为 A B 的中点，所以 M 为 AB 的中点．
…………2 分 1
+ 4 1 + 4m 2 1
1
m 2
又因为 N 为 B C 的中点，所以MN // AC ．
…………4 分
4(m 2 + 1) 3 4(m 2 + 1)
1 1
1
所 以 m 2 + 4 = 2 ⨯ 1 + 4m 2
，解得 m 2 = 2 ， …………12 分
7. 9 2π
2
- 17
3 3 3m 1 + m 2 1 + m 2
A = 4 ，故
2 2
2 2 2 3x 0 +
3 10 2
(x
⎩ ⎩ ＝ ．
－ ＝ ＋ ( 所以 DE = 4
，直线l 的方程为 y = ± 2 (
x - 3 )
，
h’(x )＝1－3ax 2＋(3a －1)＝1[－3ax 3＋(3a －1)x ＋1]＝1
－1)(－3ax 2－3ax －1)，
3
2
x x x 1
4
令 k (x )＝3ax 2＋3ax ＋1，x ∈[1，e]，
所以 d = ，故
S ∆ODE = 2 ⨯ 2 ⨯ = 3
．
…………14 分
3 若 a ≥0，则 k (x )＞0，于是 h’(x )≤0，所以 h (x )在[1，e]上单调递减， 所以 h (x )max ＝h (1)＝2a －2，要求 2a －2＞0，解得 a ＞1； ……………6 分
18.解：（1）以点 O 为坐标原点，直线 OM 为 x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则由题设得：A (6，0)，直线 ON 的方程为 若 a ＜0，则令 k (x )＝3ax 2＋3ax ＋1＝0，△＝9a 2－12a ＞0，
x ＋x ＝－1，x x ＝ 1
＜0，k (x )＝0 在(0，＋∞)上有且只有一个零点 x ，
y = -3x ，Q (x 0，3)(x 0 > 0)．
1
2
1 2
3a
由 = 6 10
，解得 x = 3，所以Q (3，3)．
……………2 分
则若 x ∈(1，e)5 0
故直线 AQ 的方程为 y = -(x - 6)，
⎧ y = -3x ， ⎧x = -3 由
得 ⎨x + y - 6 = 0 ⎨
y = 9，
故 h (x )max ＝max{h (1)，h (e)}，因此要求 h (1)＞0，或 h (e)＞0，
即 B (-3，9)，故 AB =
= 9 ， ………… 5 分
解得 a ＞1，或 a ＜ 1 ，所以 a ＜ 1 ，
答：水上旅游线 AB 的长为9 km ． …………6 分
3－e 2 3－e 2
（2）将喷泉记为圆 P ，由题意可得 P (3，9)，
生成 t 分钟时，观光车在线段 AB 上的点 C 处， 综上所述，a 的取值范围是(－∞， 1
)∪(1，＋∞)．
……………10 分 3－e 2
(3) 存在 a 1
……………12 分
2
则 BC ＝ 2t ，0≤t ≤9，所以 C (－3＋t ，9－t )．
设 m (x )＝ln x 1(e x x 3)，m’(x ) 1 1 e x 3x 2)， 若喷泉不会洒到观光车上，则 PC 2＞r 2 对 t ∈[0，9]恒成立， 2 e x 2 e
1 1 e x e x 1
可 知 m’(1)＝0，m’’(x )＝－ ＋ ( －6x )＝ －( ＋3x )，
即 PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ，
……………10 分
x 2 2 e 2e x 2
当 1≤x ＜2 时，m’’(x ) e x ( 1 ＋3x )＜ e x －( 1
＋3x )
e 4＜0，
当 t ＝0 时，上式成立，
＝ － 2e x 2 ( )max 2e x 2
min ＝ －
2
当 t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18－6，(t ＋18
－6)min ＝6 2－6，当且仅当 t ＝3 2时取等号，
因此 m’(x )在[1，2)上单调递减，又因为 m’(1)＝0，所以 m’(x )＜0，
t t 因此 m (x )在[1，2)上单调递减，所以 m (x )≤m (1)＝0，故 f (x )＋g (x )≤0； ……………14 分
因为 a ∈(0，1)，所以 r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上． ……15 分
当 0＜x ＜1 时，0＜x 2＜x ＜1，m’’(x )＝ e x － ( 1 ＋3x )＜ e x － (1＋3x )＜e － 2 3＜0， 2e x 2 2e x 2 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ………………16 分
19. 解： 因此 m’(x )在(0，1)上单调递减，又因为 m’(1)＝0，所以 m’(x )＞0，
因此 m (x )在(0，1)上单调递增，所以 m (x )≤m (1)＝0，故 f (x )＋g (x )≤0；
(1) g (x )
a e x
a e x
综上所述，当 a 1
f (x )＋
g (x )≤0 对任意 x ∈(0，2)恒成立． ……………16 分
＝ ，g ’(x )＝ ，设切点为(x 0，g (x 0))，
e e
a e x 0
a e x 0
20. 解：（1）λ＝2，μ＝0 时，a ＝2a n 2
＋2a n ＝2a ，又 a ＞0，
则切线方程为 y ＝ e
(x －x 0)＋ e ，
…………2 分
n ＋1 n n
a n ＋1
因为切线方程为 y ＝x ，所以a e x 0＝1，且a e x 0
(－x ) a e x 0 0，
所以a n ＋1＝2，
0 ＋
＝ e e e
a n
解得 x 0＝1，a ＝1．
…………4 分
(2) 令 h (x )＝ln x －ax 3－(1－3a )x －1，
所以数列{a n }是以 1 为首项，2 为公比的等比数列； ………………3 分
(-3 - 6)
2
+ 92 2 ＝ 时， ＋ － 2
x (1，x 0) x 0
(x 0，e) h’(x )
－
＋ h (x )
↘ 极小值 ↗ x
(1，x 0) x 0 (x 0，e) h’(x ) －
＋
h (x )
↘ 极小值 ↗
（2）因为{a n}为等差数列，则可设a n＝an＋b，
n 1＋ ⎨ ⎩
λa ＋2a －λ －1 n n n n ＝
＝ ，
n 1
n n n ＝ n
n
＝a
n ＋
，
n ＋1 n n n a ＝
λa n 2＋2a n ＋μ成立， a n ＋1
则(an ＋a ＋b )(an ＋b ＋1)＝λ(an ＋b )2＋2(an ＋b )＋μ，
即 a 2(1－λ)n 2＋[a 2＋2(1－λ)ab －a ]n ＋ab ＋(1－λ)b 2＋a －b －μ＝0（*），对任意 n ∈N *成立，
………………5 分
记 a 2 (1 - λ) = A ， a 2 + 2(1 - λ)ab - a = B ， ab + (1 - λ)b 2 + a - b - μ= C ， ⎧ A + B + C = 0， 令 n = 1 ，2 ，3 ，则 ⎪
4A + 2B + C = 0，
，所以 A = B = C = 0 ， 令 1 和μ中较大的数为μ0，则 a n ＋1≤a n ＋μ0，
所以 b n ≤a n ≤a n －1＋μ0≤…≤a 1＋(n －1)μ0＝μ0n ＋1－μ0，即 q n -1 ≤μ0n ＋1－μ0， 当 q ＞1 时 ， (n －1)ln q ≤ln(μ0n ＋1－μ0)， 设 f (x )＝ln x － x ，
则 f ′(x )＝1－ 1 ＝ f ′(x )＝0，则 x ＝4，
⎪9 A + 3B + C = 0，
x 2 x 2x
2(1－λ)＝0①，
2＋2(1－λ)ab －a ＝0②， ab ＋－λ)b 2＋a －b －μ＝0③． 由①得：a ＝0 或λ＝1， 当 a ＝0 时，②成立，
因为 a 1＝a ＋b ＝1，所以 b ＝1，由③得：λ＋μ＝0；
………7 分
0＜x ＜4 时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，4)上单调递增，
x ＞4 时，f ′(x )＜0，f (x )在(4，＋∞)上单调递减．
所以 f (x )max ＝f (4)＝ln4－2＜0，所以 f (x ) ≤f (x )max ＜0，即 ln x ＜ x ， 所以对任意的 n ∈N *，(n －1)ln q ≤ln(μ0n ＋1－μ0) ≤ μ0n ＋1－μ0， 所以 ln 2q (n －1)2－μ0(n －1)－1≤0，
此时 a
2 ＝ n n ，所以 a
λa 2＋a －λ－1 (λa ＋λ＋1)(a －1)
当 n －1＞ 2ln 2q ，即 n ＞1＋
时， 2ln 2q
n ＋1 a n ＋1 n ＋1
a n ＋1 a n ＋1
ln 2q (n －1)2－μ0(n －1)－1≤0 不成立， ………14 分
所以 n ≥2 时，a n －1＝λa n －1＋λ＋1(a n －1－1)＝λa n －1＋λ＋1…λa 1＋λ＋1(a 1－1)＝0，
当 q ＝1 时，b ＝1，
a n －1＋1
a n －1＋1 a 1＋1
n 所以 a n ＝1，满足；
………9 分
a ＝a n 2
＋2a n ＋μ＝a ＋a n ＋μ＞a ， 当λ＝1 时，由②得：a 2－a ＝0，所以 a ＝0，或 a ＝1，
a n ＋1 a n ＋1
若 a ＝0，由上知，b ＝1，λ＋μ＝0；
当 a ＝1 时，因为 a 1＝a ＋b ＝1，所以 b ＝0，由③得：μ＝1， λ＝μ＝1 时，a ＝a 2
＋2a ＋1＝a ＋1，
a n ＋1
所以数列{a n }是首项为 1，公差为 1 的等差数列； 综上，数列{a n }是等差数列，则λ＋μ＝0 或λ＋μ＝2；
………11 分 （3）对任意的 n ∈N *，a 1≤b n ≤a n ．所以 a 1≤b 1≤a 1，所以 b 1＝a 1＝1， ………12 分
设数列{b }
的公比为 q ，因为 a 1≤b n ，所以1≤ q n -1
，所以 q ≥1．
所以数列{a n }单调递增，
所以 a 1≤b n ≤a n 成立，综上 b n ＝1．
………16 分
21A 解：因为 MA 为圆 O 的切线，所以 MA 2 = MB ⋅
MC ． 又 M 为 PA 的中点，所以 MP 2 = MB ⋅ MC ． 因为∠BMP = ∠PMC ，所以 ∆BMP ∽∆PMC ．
………………5 分
于是∠MPB = ∠MCP ．
在△MCP 中，由∠MPB + ∠MCP + ∠BPC + ∠BMP = 180︒ ，得∠MPB =20°． ………………10 分 21B 解：由已知得，A α = λα，
⎡2 b ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 1⎤ ⎧2 - b = -1， a
a 2＋2a ＋μ
a ＋μ
即 ⎢c 1 ⎥ ⎢-1⎥ = -1⨯ ⎢-1⎥ ，得
⎨c - 1 = 1. …………2 分
n ＋1
a n ＋1
n
a n ＋1
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎩
a n ＞0，所以当 0＜μ≤1 时，a n ＋μ≤1，
a n ＋1
当μ＞1 时，a n ＋μ＜μ，
a n ＋1
μ0＋ μ02＋4ln 2q μ0＋ μ 2＋4ln 2q 0
解得b = 3，c = 2 ．因此矩阵A =⎡2 3⎤
．
…
………5 分
⎣⎦
⎢2 1⎥
2 cos α+ sin α- 4
2
5 sin (α+ϕ) - 4
2
2 6 2 4 = 1 n -2 2 n -
3 n -3 2 1 1 1 假设当 n = k ，k ≥ 5 时，等式成立，即C 2C 2 + C 2C 2
+ + C 2 C 2 = C 5 1 b + 1 k +1 2 3 k -1 2 3 k -1 k 3 4 k ⎡ d -b ⎤ ⎡-
1
3 ⎤
23. 解：（1）在集合 S = {1，2，3，4，5}中，取出的 4 元子集共有C 4 = 5个，
⎢ ad - bc ad - bc ⎥ ⎢ 4
4 ⎥5
所以 A -1
= ⎢ -
⎥ = ⎢ ⎥ ． …………10 分
⎢ c a ⎥ ⎢ 1 - 1 ⎥ 其中以数字 2 为第 2 个数的子集有 3 个，以数字 3 为第 2 个数的子集有 2 个． ⎢⎣ a d - bc
ad - bc ⎥⎦ ⎣⎢ 2
2 ⎥⎦
21C 解： ρcos (θ- π )
= 2 2 化简为ρcos θ+ ρsin θ= 4 ，
则直线 l 的直角坐标方程为 x + y = 4 ．
…………………2 分
设点 P 的坐标为(2cos α，sin α)，得 P 到直线 l 的距离 d =
， …………4 分
故 F (5) = 6 + 6 = 12．
………………3 分
（2）第 2 个数为 k 时，则在 1，2， ，k - 1中取一个数排在第 1 位，在 k + 1，k + 2， ，n 个数排在后 2 位置上，
中取出 2
因此第 2 个数为 k 的 4 元子集个数为C 1 C 2 ，其中 2 ≤ k ≤ n - 2 ，
k -1 n -k
1
2 即 d = ，其中cos ϕ= , sin ϕ= 5
． …………………6 分
5
所以 F (n ) = 2C 1C 2
+ 3C 1C 2 + + (n - 2 )C 1 C 2 当sin (α+ϕ) = 1时， d
= 2
- 10 ，
= 2(
C 2C 2
+ C 2C 2
+ + C 2 C 2
)
………5 分
min
2 2 n -2
3 n -3 n -2 2
即线段 PQ 的最小值为2 - 10
．
………………10 分
下证： C 2C 2 + C 2C 2 + + C 2
C 2 = C 5
2
2 n -2
3
n -3
n -2 2
n +1
21D 解：因为正数 a ，b ，c 满足 a + 2b + 4c =3，所以(a + 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1) = 10 ，
当 n = 5 时，由（1）知，等式成立；
所以(a +
+ + )
⎡⎣(a + 1)+ 2 (b + 1)+ 4 (c + 1)⎤⎦ ≥(
1+ 2 + 2 )
， ………………5 分 2
k -2 3 k -3 k -2 2 k +1 1 1 1 11 + 6 2 则 n = k + 1 时，
即 a + 1 + + b + 1 ≥ ， c + 1 10
C 2C 2 + C 2C 2 + + C 2 C 2
2 k -1
3 k -2 k -1 2
当且仅当 a = 23 -1 ， b = 15 2 -17 ， c = 8 - 时，取最小值11 +
． ………10 分 = C 2 (C 2 + C 1 )+ C 2
(C 2 + C 1
)+ + C 2
(C 2
+ C 1
)+ C 2
C
2
7 7 7 10
2
k -2 k -2 3
k -3 k -3
k -2 2
2
k -1 2
= (C 2C 2
+ C 2C
2
+ + C 2
C 2
)+ (k - 2)C 2 + (k - 3)C 2
+ + 2C 2
+ C 2
22. 解：（1）设该分公司 A ，B ，C 三辆押运车在星期四出车的事件分别为 A 4､B 4､C 4，
2 k -2
3 k -3
k -2 2
2
3
k -2
k -1
= C 5 + (k + 1)(C 2 + C 2 + + C 2 )- (3C 2 + 4C 2 + + kC 2 )
该分公司在星期四至少有一辆押运车外出执行任务的事件为 D ． 则 P (D )＝1－ － ＝1－ －－－ ＝1－1×
1×1＝17 ． ………………3 分
5 k +1 = C 5 + (k + 1)C 3 - 3(C 3 + C 3 + + C 3 ) + 4C 4 - 3C 4
P ( D ) P ( A B C )
3 3 2 18
k +1 = C
5
k +1
k +1
（2）由题意知 X 的可能取值为 0，1，2，3．
………………4 分
P (X ＝0)＝1×
1×1＝ 1 ； k + 2
即 n = k + 1 时等式成立，
………8 分 2 3 3 18 P (X ＝1)＝1×
1×1＋1×2×1＋1×1×2＝ 5 ； 所以 F (n ) = 2C 5 F (n ) ，即
2 ． ………10 分
2 3 3 2 3 3 2 3 3 18
n +1 5
n +1
P (X ＝2)＝1×
2×2＋1×2×1＋1×1×2＝4； 2 3 3 2 3 3 2 3 3 9 P (X ＝3)＝1×2×2＝2 ． ………………8 分
2 3 3 9
所以 X 的分布列为
X
0 1 2 3
P
1 18 5 18 4 9
2
9
E (X )＝0× 1 ＋1× 5 ＋2×
4＋3×2＝11（辆）． ………………10 分
18 18 9 9 6
2 0 2 5 2 C 2
， c + 1 = C。