2013高考数学复习试题：古典概型与几何概型历届高考试题汇编

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2013高考数学复习试题：古典概型与几何概型历届高考试题汇编
1.(2011•浙江文，8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()
[答案] D
[解析]3个红球记为a，b，c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有方法是abc，ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12.共10个基本事件，则至少有一个白球的基本事件是ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12共9个．[来源:Z|xx|]
∴至少有一个白球的概率为910.故选D.
[点评](1)A＝“至少有一个白球”的对立事件是B＝“全是红球”，故所求概率为P(A)＝1－P(B)＝1－110＝910.
(2)解决这类问题的基本方法就是给小球编号，用列举法写出基本事件空间(或用计数原理计算基本事件空间中基本事件的个数)，然后数(或求)出所求事件中含的基本事件的个数，再求概率，请再练习下题：
(2011•德州模拟)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()
[答案] C
[解析]从5个球中任取两个，有C25＝10种不同取法，其中两球同色的取法有C23＋1＝4种，∴P＝410＝25.
2．(文)(2011•福建文，7)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点
Q取自△ABE内部的概率等于()
[答案] C
[解析] 本题属于几何概型求概率问题，设矩形长为a，宽为b，则点Q 取自△ABE内部的概率为
P＝S△ABES矩形ABCD＝12abab ＝12.
(理)(2010•胶州三中)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件－的事件为A，则事件A发生的概率为()
[答案] C
[解析]由－
得，2b＋c≤8－2b＋c≤0，画出0≤b≤4,0≤c≤4表示的平面区域和事件A 所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P＝12.
3．(文)有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是
()
[答案] B
[解析]构不成三角形的为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(3,5,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，能构成三角形的有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，
∴所求概率为310.
(理)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是()
[答案] C
[解析]从10个点中任取三个有C310种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，∴能构成直角三角形5×8＝40个，∴概率P＝40C310＝13.
4．(文)(2011•北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于
1的概率为()
A.π12B．1－π12
C.π6D．1－π6
[答案] B
[解析]以点O为圆心，半径为1的半球的体积为V＝12×43πR3＝2π3，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P到点O的距离大于1的概率为
P(A)＝1－23π8＝1－π12，故选B.
(理)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABCn的概率与mn的概率为12×1－16＝512，
∴满足m≥n的概率为P＝16＋512＝712.
7．(2011•浙江宁波八校联考)已知k ∈Z，AB→＝(k,1)，AC→＝(2,4)，若|AB→|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．
[答案]37
[解析]∵|AB→|＝k2＋1≤4，∴－15≤k≤15，
∵k∈Z，∴k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，
当△ABC为直角三角形时，应有AB ⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由AB→•AC→＝0得2k＋4＝0，∴k＝－2，∵BC→＝AC→－AB→＝(2－k,3)，由AB→•BC→＝0得k(2－k)＋3＝0，∴k＝－1或3，
由AC→•BC→＝0得2(2－k)＋12＝0，∴k＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，
∴所求概率p＝37.
8．(文)(2011•如皋模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.
[答案]7
[解析]连续抛掷一枚骰子2次，共有36个基本事件，两次向上的点数之和及次数如表：
和2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
次数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
显然当两次向上的点数之和为7时概率P(A)最大．
(理)(2010•江苏金陵中学)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．
[答案]718
[分析]本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．
[解析]基本事件的总数为6×6＝36.
∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；
当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；
当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况；
当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．
故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为
P＝1436＝718.
9．(文)从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x ∈R，y∈R}内任选一个元素(x，y)，则x、y满足x＋y≥2的概率为________．
[答案]π－24π
[解析]即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为π－24π.
(理)(2011•黑龙江五校联考)在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于V3的概率是_____ ___．
[答案]23
[解析]由题意可知VS－APCVS－
ABC>13，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC 与△ABC的高，所以VS－APCSS－ABC ＝S△APCS△ABC＝PMBN>13，又PMBN＝APAB，所以APAB>13，故所求的概率为23(即为长度之比)．
10．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；
(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)>0成立的概率．
[解析](1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为N＝5×5＝25个．
函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.
因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以事件“a2≥4b”的概率为P＝
1225，
即函数f(x)有零点的概率为1225.
(2)a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，
f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，
此为几何概型．如图可知，
事件“f(1)>0”的概率为P＝12×3×34×4＝932.
11.(文)(2011•金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是()
[答案] C
[解析]从5个小球中随机取出两个小球，基本事件共10个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5 )，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中数字之差的绝对值为2的有：(1,3)，(2,4)，(3,5)，数字之差的绝对值为4的有：(1,5)，
故所求概率P＝3＋110＝25.
(理)(2011•威海模拟)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a、b，则椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e>32的概率是()
[答案] D
[解析]当a>b时，e＝1－b2a2>32⇒ba2b，符合a>2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种情况；
当b＝2时，有a＝5,6两种情况，总共有6种情况，则概率是636＝16.
同理当a32的概率也为16，
综上可知e>32的概率为13.
12．(文)m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n ∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程x2m ＋y2n＝1有意义，则方程x2m＋y2n＝1可表示不同的双曲线的概率为() B．1
[答案] D
[解析]由题设知m>0n0，
1°m>0n0时有不同取法2×2＝4种，
∴所求概率P＝9＋45×5＝1325.
(理)从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为()
[答案] A
[解析]首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，
∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．
f(x)若有变号零点，不论a>0还是a0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac.
①首先b取0时，a、c须异号，a ＝－1，则c有2种，a取1或2，则c 只能取－1，∴共有4种．
②b＝1时，若c＝0，则a有2种，若c＝－1，a只能取2.
若c＝2，则a＝－1，共有4种．
③若b＝－1，则c 只能取0，有2种．
④若b＝2，取a有2种，取c有2
种，共有2×2＝4种．
综上所述，满足b2>4ac的取法有4＋4＋2＋4＝14种，
∴所求概率P＝1418＝79.
13．(文)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
[答案]12
[解析]∵方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.
由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴p＝12.
(理)设集合A＝{x|x2－3x－100，b0，y>0上的概率．
[解析]满足条件的M点共有36个．
(1)正好在第二象限的点有(－4,1)，(－4,3)，(－4,5)，(－2,1)，(－2,3)，(－2,5)，
故点M正好在第二象限的概率
P1＝636＝16.
(2)在x轴上的点有(－4,0)，(－2,0)，(0,0)，(1,0)，(3,0)，(5,0)，
故点M不在x轴上的概率
P2＝1－636＝56.
(3)在所给区域内的点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(5,1)，
故点M在所给区域上的概率
P3＝636＝16.
4．(2011•龙岩质检)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢，若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．[解析](1)因为x、y可取1、2、3、
4、5、6，
故以(x，y)为坐标的点共有36个．
记“点(x，y)落在直线x＋y＝7上”为事件A，
则事件A包含的点有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6个，所以事件A的概率P(A)＝636＝16.
(2)记“x＋y≥10”为事件A1，
“x＋y≤4”为事件A2.
用数对(x，y)表示x、y的取值，则事件A1包含(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共6个数对；事件A2包含(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)，共6个数对．
由(1)知基本事件总数为36，所以事件A1的概率P(A1)＝636＝16，事件A2的概率P(A2)＝636＝16.
即小王和小李两位同学赢的可能性是均等的．
所以这个规定是公平的．
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