人教版初中数学圆的难题汇编附答案

下列说法中错误的是( ) A．勒洛三角形是轴对称图形
B．图 1 中，点 A 到 BC 上任意一点的距离都相等
C．图 2 中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形 DEF 的中心 O1 的距离都相等
D．图 2 中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】
【分析】
根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁 列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是 3 个圆心角为 60°，半径为 DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】
A．
【分析】
作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得 OM 的长，
然后判定四边形 OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得 OP 的长．
【详解】
作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 OP，OB，OD，
考点：圆的基本性质.
12．如图，点 A、B、C、D、E、F 等分⊙O，分别以点 B、D、F 为圆心，AF 的长为半径画 弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O 的半径为 1，那么“三叶轮”图案的面积为（ ）
A． + 3 3 2
B． - 3 3 2
C． 3 3 2
D． 3 3 2
【答案】B
【解析】
了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角
形外角性质是关键．
5．下列命题错误的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形一定有外接圆和内切圆 C．等弧对等弦 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】 根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可． 【详解】 A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题； B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题； C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；
【分析】
连接 OA、OB、AB，作 OH⊥AB 于 H，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB，根据扇形
面积公式计算．
【详解】
连接 OA、OB、AB，作 OH⊥AB 于 H，
∵点 A、B、C、D、E、F 是⊙O 的等分点， ∴∠AOB=60°，又 OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形， ∴AB=OB=1，∠ABO=60°，
鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；
点 A 到 BC 上任意一点的距离都是 DE，故正确;
勒洛三角形上任意一点到等边三角形 DEF 的中心 O1 的距离都不相等， O1 到顶点的距离是
到边的中点的距离的 2 倍，故错误；
鲁列斯曲边三角形的周长=3× 60 DE DE ,圆的周长= 2 DE DE ,故说法
∴S 阴影=S△OAB﹣S 扇形 OMN= 1 ×2× 3 ﹣ 60 ( 3)2 = 3 ．故选 A．
2
360
2
3．如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，连接 AD，若∠DAC＝30°， DC＝1，则⊙O 的半径为（ ）
A．2 【答案】B 【解析】 【分析】
∵AB=CD=16，
∴BM=DN=8，
∴OM=ON=
=6，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形 MONP 是矩形，
∵OM=ON，
∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，
∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.
故选 D.
【点睛】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线 OB， 得到∠BOC 的度数.
2．如图， O 的外切正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为 ( )
∴OH= 12 ( 1 )2 = 3 ， 22
∴“三叶轮”图案的面积=（ 60 12 - 1 ×1× 3 ）×6=π- 3 3 ，
360 2 2
2
故选 B．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积
公式是解题的关键．
13．如图，已知圆 O 的半径为 10，AB⊥CD，垂足为 P，且 AB＝CD＝16，则 OP 的长为 ()
∵DE=OB=OE，
∴∠D=∠EOD=20°，
∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，
∵OE=OC，
∴∠C=∠CEO=40°，
∴∠BOC=∠C+∠D=60°，
∴
BC
的长度=
60 ? 22 360
=
2 3
π，
故选 A.
【点睛】
本题考查了弧长公式：l= n • • R （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R），还考查 180
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一、选择题 1．如图， ABC 是 O 的内接三角形，且 AB AC ， ABC 56， O 的直径 CD 交 AB 于点 E ，则 AED的度数为（ ）
A． 99
B．100
C．101
D．102
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 OB，根据等腰三角形的性质得到∠A，从而根据圆周角定理得出∠BOC，再根据
连接 OD，过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H，
则有 AD=2AH，∠AHO=90°，
在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= 2 3 ，BC=2，tan∠A= BC 2 3 ， AB 2 3 3
∴∠A=30°，
∴OH= 1 OA= 3 ，AH=AO•cos∠A= 3 3 3 ，∠BOC=2∠A=60°，
8．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD 为⊙O 的直径，则 BD 等于 （）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求得∠C=∠ABC=30°，再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求
得 BD 的长.
【详解】
∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
180
2
正确.
故选 C.
【点睛】
主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解．
7．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= 2 3 ，BC=2，以 AB 的中点为圆心，OA 的长为
半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为( )
A． 5 3 42
B． 5 3 42
A． 3 2
B． 3 3 2
C． 2 3
D． 3 3
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB=60°，∴△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2， 设点 G 为 AB 与⊙O 的切点，连接 OG，则 OG⊥AB，
∴OG=OA•sin60°=2× 3 = 3 ， 2
则在 Rt△ABC 中，AB＝ACtanC＝2 3 ，
∴⊙O 的半径为 3 ，
故选：B． 【点睛】
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角 函数的应用．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，点 D 在 BA 的延长线上，CD 与⊙O 交于 另一点 E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧 BC 的长度为（ ）
D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题； 故选 C． 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概 念等知识解答，难度不大．
6．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行 切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽 曲线”，如勒洛只角形(图 1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径， 在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图 2 是等宽的勒洛三角形和 圆．
11．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接 OC 交⊙O 于点 D，连接 BD，∠ C=40°．则∠ABD 的度数是（ ）
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
【答案】B
【解析】
试题分析：∵AC 为切线 ∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°.
OB=OC 得出∠OBC，即可得到∠OBE，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.
【详解】
解：连接 OB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=56°，
∴∠A=180°-56°-56°=68°= 1 ∠BOC， 2
∴∠BOC=68°×2=136°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，
22
22
∴AD=2AH= 3 ，
2
∴S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形 BOD= 1 2 3 2 1 3 3 60 3
2
22
360
=5 3 ， 42
故选 A.
【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线， 熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
C． 2 3
D． 4 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 OD，过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H，则有 AD=2AH，∠AHO=90°，在 Rt△ABC 中，利用
∠A 的正切值求出∠A=30°，继而可求得 OH、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，
然后根据 S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形 BOD 进行计算即可. 【详解】
D． 48 3 36 π
【答案】C
【解析】
【分析】
易得 AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一
个阴影部分的面积=S△ABD-S 扇形 DOE-S△BOE，算出后乘 2 即可． 【详解】
连接 OE，OF．
∵BD=12，AD：AB=1：2，
∴AD=4 3 ，AB=8 3 ，∠ABD=30°，
B． 3
C．2﹣ 3
D．1
先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1 得 AC=2DC=2，∠C=60°，再
由 AB=ACtanC=2 3 可得答案．
【详解】
∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA＝∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝30°，DC＝1， ∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，
∴S△ABD= ×4
3 ×12=24
3
,S
扇形=
60 36 360
6 , S
OEB
1 6 2
33 9
3
∵两个阴影的面积相等，
∴阴影面积= 2 24 3 6 9 3 30 3 12 .
故选：C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．
10．下列命题中哪一个是假命题（ ） A．8 的立方根是 2 B．在函数 y＝3x 的图象中，y 随 x 增大而增大 C．菱形的对角线相等且平分 D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】 利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确 的选项． 【详解】 A、8 的立方根是 2，正确，是真命题； B、在函数 y 3x 的图象中，y 随 x 增大而增大，正确，是真命题； C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题； D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题， 故选 C． 【点睛】 考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周 角定理等知识是解题关键．
∴∠C=∠ABC=30°
∴∠D=30°
∵BD 是直径
∴∠BAD=90°
∴BD=2AB=8.
故选 C.
9．如图，在平行四边形 ABCD 中，BD⊥AD，以 BD 为直径作圆，交于 AB 于 E，交 CD 于 F，若 BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 3
B．15 3 6 π C． 30 3 12
A． 2 π 3
【答案】A 【解析】 【分析】
B． 1 π 3
C． 4 π 3
D． 4 π 9
连接 OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠ CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠ BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论. 【详解】 解：连接 OE、OC，如图，