华南师大附中2024届高三综合测试(二)参考答案

华南师大附中2024届高三综合测试（二）数学参考答案
一、单选题
(1n f x −+
+()1n f x −−)(n f x −==()()1n n f x f x −+
+−=的最小值为7. 二、多选题
题号
9
三、填空题
13．3i − 14．
15．[)5,9
16． 4−；506
143
−
)()()()
2021262022372023482024a a a a a a a a a a ++++++++++++++506506506234(14)(14)(14)
141414a a a ⨯−⨯−⨯−+++
−−− 341)a a +−，
505
40⨯<，所以40a <，241320a a a a +=，即2432a a a =，
17. 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由题意，22b a =，53b a =，144b a =，
∴225214,(14)(1)(113)b b b d d d =+=++，解得2d =，或0d =（舍去），
23a ∴=，39a =，∴32123,1a a
q a a q
=
===， ∴112(1)21,3n n n b n n a −=+−=−=．
（2）由题意，
12
12
n
n n
c c c b a a a +++
=，① ∴
12
1
112
1
n n n n n c c c c b a a a a ++++++
+=，② ②−①得
1
11
2n n n n c b b a +++=−=，112n n c a ++∴=，∴1223(2)n n n c a n −==⨯， 当1n =时，11c =不满足上式，所以1
1,1
23,2
n n n c n −=⎧=⎨⨯⎩. ,E F 分别为∵底面四边形//PD BC ∴行四边形，又
FD ⊂平面//PE 平面（2）解：在等边又平面SAD SAD
平面ABCD SP ⊥平面， 为原点，PA ，PS 的方向分别为,x z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0P ()1,0,0，B 故(1,0,0PA =，()1,1,0PB =，(1,0,AS =−则113,0,333AM AS ⎛⎫ =⎝=−2,0,3PM PA AM ∴⎝=+⎛ =
的一个法向量为(1,,n x y =112·
3·
n PM x n PB x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩2=−得x =则(
13,3,n =
−易知平面SAD 的一个法向量为(20,1,0n =121212
·
,1n n n n n n ==
⨯所以平面PMB 夹角的余弦值为
19. 解：（1）因为()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，
由正弦定理得2
()()3b c b c a bc ++=
+，整理得222b c a bc +−=，
所以2221
cos 22
b c a A bc +−==，
且(0,)A π∈，故3
A π
=
；
（2）
11cos cos tan tan sin sin B C
B C B C +=+ sin cos sin cos sin sin C B B C
B C +=
sin()
sin sin B C B C +=
sin sin sin A
B C
=
，
由3
A π
=
，可得23
C B π
=
−， 因为ABC △为锐角三角形，
所以022032B B πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<−<⎪⎩
，解得62B ππ<<，
所以2sin sin sin sin(
)3
B C B B π
=− 1
sin sin )2
B B B =+
112cos2444B B =
−+ 11sin(2)264B π=−+， 因为52666
B πππ<−<，
所以1sin(2)126
B π
<−，1113
sin(2)22644
B π<−+
，即13sin sin 24B C <，
所以
11tan tan B C + 11B ，且A 11|)4
A =，1)()P
B P +的概率为1
．
90，半焦距
2
−
(c a
2
22. 解：（1）由题21
()2
f x xlnx x ax =−−，定义域为(0,)+∞．
则()11f x lnx ax lnx ax '=+−−=−，由题可得()0f x lnx ax '=−=有两个不等实数根1x ，2x ，且1x ，2x 不是
()f x '的极值点．
于是lnx
a x
=
有两个不同的实数根，等价于函数()lnx y a h x x ==与图象在(0,)+∞有两个不同的交点，
2
1()lnx h x x −'=，由()00h x x e '>⇒<<，由()0h x x e '<⇒>，
所以()h x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，
又(1)h 0=，()h x 有极大值为1
()h e e
=，当x →+∞时，()0h x →，所以可得函数()h x 的草图（如图所示）．
所以，要使函数()lnx
y a h x x ==
与图象在(0,)+∞有两个不同的交点，当且仅当1(0,)a e
∈． （2）由（1）可知：1x ，2x 是方程()0F x lnx ax '=−=的两个实数根，且121x e x <<<．
则1
11
12222
1212x ln
lnx ax lnx lnx x a lnx ax x x x x =⎧−⇒==⎨
=−−⎩． 由于2
1e x x e
λλ
<，两边取自然对数得12121211lnx lnx lnx lnx ax a x λλλλλ−<−⇒+<+=+， 即111
222
1212112
2
()1()()1x x x
ln
ln x x x a x x x x x x x x λλλλ++<+=+=−−，
令
1
2(0,1)x t x =∈，则()11
t lnt t λλ++<−在(0,1)t ∈恒成立． 所以(1)(1)
0t lnt t λλ
+−−
<+在(0,1)t ∈恒成立
令(1)(1)
()((0,1))t h t lnt t t λλ
+−=−∈+，则222
21(1)(1)()()()()t t h t t t t t λλλλ+−−'=−=++． ① 当21λ即1λ时，()0h t '>，()h t 在(0,1)递增，所以()(1)h t h <0=恒成立，满足题意．
② 当01λ<<时，()h t 在2(0,)λ递增，在2(λ，1)递减，所以，当2
(x λ∈，1)时，()(1)h t h >0=，
因此，()0h t <在(0,1)t ∈不能恒成立，不满足题意． 综上所述，1λ，即λ的取值范围是[1，)+∞．。