八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷试卷(word版含答案)

八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷试卷（word 版含答案）
一、选择题
1．下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（ ）
A ．平行四边形的两组对边分别平行
B ．矩形的对角线相等
C ．四边相等的四边形是菱形
D ．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
2．如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是（ ）
A ．∠EMB=∠END
B ．∠BMN=∠MNC
C ．∠CNH=∠BPG
D ．∠DNG=∠AME
3．把一把直尺和一块三角板ABC 含30度，60度，按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和A ，∠CED=50°，则∠CFA 的大小为（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．70︒
4．如图，在三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，点D 是线段BC 上任意一点，连接AD ，则线段AD 的长不可能．．．
是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．如图，修建一条公路，从王村沿北偏东75︒方向到李村，从李村沿北偏西25︒方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A．100︒B．80︒C．75︒D．50︒
6．如图，已知AB∥CD，AD平分∠BAE，∠D＝40°，则∠DAE的度数是（）
A．20°B．40°C．60°D．80°
7．如图，AB∥CD , ∠BED=110°，BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,则∠BFD= ( )
A．110°B．115°C．125°D．130°
8．如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30°B．35°C．36°D．45°
9．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，其中AB⊥CD，∠1：∠2=3:6，则∠EOD=（）
A ．120°
B ．130°
C ．60°
D ．150°
10．下列命题是假命题的是（ ）
A ．等腰三角形底边上的高是它的对称轴
B ．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C ．等腰三角形底边上的中线平分顶角
D ．等边三角形的每一个内角都等于60°
11．如图，下列不能判定DF ∥AC 的条件是（ ）
A ．∠A ＝∠BDF
B ．∠2＝∠4
C ．∠1＝∠3
D ．∠A +∠ADF ＝180° 12．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点
E ，且,40BE A
F BED ⊥∠=︒，则A ∠的
度数是（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．80︒
D ．90︒
二、填空题
13．如图，已知AB ∥CD ，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上点P 在AB ，CD 之间且在EF 的左侧．若将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF 的度数为 _____．
14．如图，∠AEM ＝∠DFN ＝a ，∠EMN ＝∠MNF ＝b ，∠PEM ＝12
∠AEM ，∠MNP ＝12
∠FNP ，∠BEP ，∠NFD 的角平分线交于点I ，若∠I ＝∠P ，则a 和b 的数量关系为_____（用含a 的式子表示b ）．
15．如图，已知AB CD ∥，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：
第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，
第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，
第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，
…
第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．
若1n E ∠=度，那BEC ∠等于__________度．
16．已知：如图放置的长方形ABCD 和等腰直角三角形EFG 中，
∠F=90°，FE=FG=4cm ，AB=2cm ，AD=4cm ，且点F ，G ，D ，C 在同一直线上，点G 和点D 重合．现将△EFG 沿射线FC 向右平移，当点F 和点C 重合时停止移动．若△EFG 与长方形重叠部分的面积是4cm 2，则△EFG 向右平移了____cm ．
17．如图，请你添加一个条件．．．．
使得AD ∥BC ，所添的条件是__________．
18．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，OF ⊥OE 于点O ，若∠AOD ＝70°，则∠AOF ＝______度．
19．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝76°，∠CDE ＝150°，则∠BCD 的度数为__°．
20．如图，已知直线//a b ，直线c 与a 、b 相交，且1135∠=︒，则2∠=______．
三、解答题
21．如图，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点F 在BA 的延长线上，点E 在线段CD 上，EF 与AC 相交于点G ，∠BDA+∠CEG=180°．
（1）AD 与EF 平行吗？请说明理由；
（2）若点H 在FE 的延长线上，且∠EDH=∠C ，则∠F 与∠H 相等吗，请说明理由．
22．（感知）如图①，AB ∥CD ，点E 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、BE ，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC ；
（探究）当点E 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°； （应用）点E 、F 、G 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、EF 、FG 和CG ，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
23．（1）问题发现
如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝
∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（）
∴∠C＝∠CEF．（）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A＝．（之间写出结论，不用写计算过程）
24．如图1，AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上，点 F 在直线 AB，CD之间，连接EF，FG，EF垂直于 FG，∠FGD =125°．
(1)求出∠BEF的度数；
(2)如图 2，延长FE到H，点M在FH的上方，连接MH，Q为直线 AB 上一点，且在直线MH 的右侧，连接 MQ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST，延长 GF 交 AB 于点 N，P 为直线ST 上一动点，请直接写出∠PGN，∠SNP 和∠GPN 的数量关系．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）
25．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC 中，60,30,90BAC B C ∠=∠=︒∠=︒︒，长方形DEFG 中，DE GF ．
问题初探：
（1）如图（1），若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上，BC 与DE 相交于点M ，AB DE ⊥于点N ，求EMC ∠的度数．
分析：过点C 作CH GF ∥，则有CH DE ∥，从而得
,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠，从而可以求得EMC ∠的度数．
由分析得，请你直接写出：CAF ∠的度数为____________，EMC ∠的度数为___________．
类比再探：
（2）若将三角板ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写出CAF ∠与EMC ∠的数量关系，并说明理由．
26．[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB ∥CD ，点E 在两平行线之间，连接BE ，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D
证明如下：过E 点作EF ∥AB ．
∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．） 又AB ∥CD(已知）
∴CD ∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） ∴∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）
∴∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）
即：∠E=∠B+∠D
[类比探究]：如图是一个“子弹头”图，AB ∥CD ，点E 在两平行线之间，连接BE ，DE ．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．
[创新应用]：
(1)．如图一，是两块三角板按如图所示的方式摆放，使直角顶点重合，斜边平行，请直接写出∠1的度数．
(2)．如图二，将一个长方形ABCD 按如图的虚线剪下，使∠1=120o ，∠FEQ=90°． 请直接写出∠2的度数．
27．问题情境
（1）如图①，已知360B E D ∠+∠+∠=︒，试探究直线AB 与CD 有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB 与CD 的位置关系是//AB CD ．
理由如下：
过点E 作//EF AB （如图②所示）
所以180B BEF ∠+∠=︒（依据1）
因为360B BED D ∠+∠+∠=︒（已知）
所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=︒
所以180FED D ∠+∠=︒
所以//EF CD （依据2）
因为//EF AB
所以//AB CD （依据3）
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”：________________________________；
“依据2”：________________________________；
“依据3”：________________________________．
类比探究
（2）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件________时，有//AB CD ． 拓展延伸
（3）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件_________时，有//AB CD ．
28．如图1，已知直线PQ ∥MN ，点A 在直线PQ 上，点C 、D 在直线MN 上，连接AC 、AD ，∠PAC ＝50°，∠ADC ＝30°，AE 平分∠PAD ，CE 平分∠ACD ，AE 与CE 相交于E ． （1）求∠AEC 的度数；
（2）若将图1中的线段AD 沿MN 向右平移到A 1D 1如图2所示位置，此时A 1E 平分∠AA 1D 1，CE 平分∠ACD 1，A 1E 与CE 相交于E ，∠PAC ＝50°，∠A 1D 1C ＝30°，求∠A 1EC 的度数．
（3）若将图1中的线段AD 沿MN 向左平移到A 1D 1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A 1EC 的度数．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
分别判断该命题的原命题和逆命题后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A 、平行四边形的两组对边分别平行，成立，逆命题为两组对边分别平行的四边形是
平行四边形，正确，不符合题意；
B 、矩形的对角线相等，成立，逆命题为对角线相等的四边形是矩形，不成立，符合题意；
C 、四边相等的四边形是菱形，成立，逆命题为菱形的四条边相等，成立，不符合题意；
D 、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，成立，逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形为直角三角形，成立，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查的是命题和定理的知识，正确的写出它的逆命题是解题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据平行线的性质可得A 、∵AB ∥CD ，∴∠EMB=∠END （两直线平行，同位角相等）；B 、∵AB ∥CD ，∴∠BMN=∠MNC （两直线平行，内错角相等）；C 、∵AB ∥CD ，∴∠CNH=∠MPN （两直线平行，同位角相等），∵∠MPN=∠BPG （对顶角），∴∠CNH=∠BPG （等量代换）；D 、∠DNG 与∠AME 没有关系，无法判定其相等．故答案选D.
考点：平行线的性质.
3．A
解析：A
【分析】
先根据∠CED=50°，DE ∥AF ，即可得到∠CAF=50°，即可得出∠CFA 的大小．
【详解】
解：∵DE ∥AF ，∠CED=50°，
∴∠CAF=∠CED=50°，
∴∠CFA=90°-50°=40°，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
4．A
解析：A
【分析】
根据垂线段最短即可判断．
【详解】
∵90ACB ∠=︒
∴点A 到线段CB 最短的最短距离为AC=4
∴AD 的长最短为4
故选A ．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
5．B
解析：B
【分析】
根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．
【详解】
∵王村沿北偏东75︒方向到李村
∴175∠=
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西25︒方向到张村 ∴()()2180125180752580∠=-∠+=-+=
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为80︒
故选：B ．
【点睛】
本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．
6．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得出∠DAB ＝∠D ＝40°,再由角平分线即可得解．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，
∴∠DAB ＝∠D ＝40°（两直线平行，内错角相等），
∵AD 平分∠BAE ，
∴∠DAE ＝∠DAB ＝40°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质和角平分线性质，关键是求出∠DAE 的度数，题目比较好，难度适
中．
7．C
解析：C
【分析】
先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF
平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．
【详解】
解：如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥FN，
∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵∠BED＝110°，
∴∠ABE+∠CDE＝250°
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF＝1
2
∠ABE，∠CDF＝
1
2
∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝1
2
（∠ABE+∠CDE）＝125°，
∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】
解：如图延长BG交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案选C.
【点睛】
本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
9．D
解析：D
【解析】试题分析：根据对顶角的性质可知∠1=∠DOF，然后由平面直角坐标系可知∠DOB=90°=∠DOF+∠2，可知∠1+∠2=90°，再由∠1：∠2=3:6，可求得∠2=60°，因此可知∠AOE=60°，从而求得∠EOD的度数为150°.
故选：D
10．A
解析：A
【分析】
分别分析各题设是否能推出结论，不能推出结论的既是假命题，从而得出答案．
【详解】
A.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，故该选项错误，是假命题，
B.有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角，正确，是真命题，
D.等边三角形的每一个内角都等于60°，正确，是真命题，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了命题与定理，判断命题的真假，关键是分析各题设是否能推出结论．
11．B
解析：B
【分析】
根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断．
【详解】
解：A ．∠A ＝∠BDF ，由同位角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
B ．∠2＝∠4，不能判断DF ∥A
C ；
C ．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
D ．∠A +∠ADF ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
12．B
解析：B
【分析】
直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【详解】
解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，
∴50FED ∠=︒，
∵AB CD ∕∕，
∴50A FED ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键．
二、填空题
13．45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
过作，
，
，
，，
，
，
同理可得，
由折叠可
解析：45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
过M 作//MN AB ，
//AB CD ，
////AB CD NM ∴，
AEM EMN ∴∠=∠，NMF MFC ∠=∠，
90EMF ∠=︒，
90AEM CFM ∴∠+∠=︒，
同理可得P AEP CFP ∠=∠+∠， 由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 1()452
P AEM CFM ∴∠=∠+∠=︒， 如图2，
过M 作//MN AB ，
//AB CD ，
////AB CD NM ∴，
180AEM EMN ∴∠+∠=︒，180NMF MFC ∠+∠=︒，
360AEM EMF CFM ∴∠+∠+∠=︒，
90EMF ∠=︒，
36090270AEM CFM ∴∠+∠=︒-︒=︒， 由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 12701352
P ∴∠=︒⨯=︒， 综上所述：EPF ∠的度数为45︒或135︒，
故答案为：45°或135°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF 的度数．
14．．
【分析】
分别过点P 、I 作ME∥PH，AB∥GI，设∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，∠MNP=y，由PH∥ME 知∠EPH=x，由EM∥FN 知PH∥FN，据此得∠HPN=2y，∠E 解析：81209a b =
-︒． 【分析】
分别过点P 、I 作ME ∥PH ，AB ∥GI ，设∠AME=2x ，∠PNF=2y ，知∠PEM=x ，∠MNP=y ，由PH ∥ME 知∠EPH=x ，由EM ∥FN 知PH ∥FN ，据此得∠HPN=2y ，∠EPN=x+2y ，同理知3902
EIF x x ∠︒-
+＝，根据∠EPN=∠EIF 可得答案． 【详解】 分别过点P 、I 作ME ∥PH ，AB ∥GI ，
设∠AME＝2x，∠PNF＝2y，则∠PEM＝x，∠MNP＝y，∴∠DFN＝2x，
∵PH∥ME，
∴∠EPH＝x，
∵EM∥FN，
∴PH∥FN，
∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，
同理，
3
90
2
EIF x x ∠︒-+
＝，
∵∠EPN＝∠EIF，
∴
3
90
2
x x
︒-+＝x+2y，
∴33
90
42
b
︒-
a＝，
∴
9
135
8
b a =︒-，
∴
8
120
9
b-︒a＝，
故答案为：
8
120
9
b-︒a＝．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．15．【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
解析：2n
【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出
∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为
E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1
1
2
=∠ABE
1
2
+∠DCE
1
2
=∠BEC；同理可得
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2
1
2
=∠ABE1
1
2
+∠DCE1
1
2
=∠CE1B
1
4
=∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2
的平分线，交点为E3，得出∠BE3C
1
8
=∠BEC；…据此得到规律∠E n
1
2n
=∠BEC，最后求得
∠BEC的度数．
【详解】
如图1，过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图2．
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1
1
2
=∠ABE
1
2
+∠DCE
1
2
=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2
1
2
=∠ABE1
1
2
+∠DCE1
1
2
=∠CE1B
1
4
=∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3
1
2
=∠ABE2
1
2
+∠DCE2
1
2
=∠CE2B
1
8
=∠BEC；
…
以此类推，∠E n
1
2n
=∠BEC，
∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
16．3或2+
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角
形，重合部分为△HDG，则重合面积=DG2=4，解得DG=，而DC＜，故这种情况不成立；
②如图
解析：3或2+22
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部
分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得DG=22，而DC＜22，故这种情况不成立；
②如图2，由平移的性质得到△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可；
③如图3，由平移的性质得到△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可．
详解：分三种情况讨论：①如图1．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG是等腰直角三
角形，重合部分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得：DG=22，而DC=2＜22，故
这种情况不成立；
②如图2．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分
为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI =1
2
DG2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
DG2－
1
2
（DG-2）
2=4，解得：DG=3；
③如图3．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形
EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI =1
2
EF2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
×42－
1
2
（DG-2）2=4，解得：
DG=222
+或222
-（舍去）．
故答案为：3或222
+．
点睛：本题主要考查了平移的性质以及等腰三角形的知识，解题的关键是分三种情况作出图形，并表示出重合部分的面积．
17．∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C
【解析】
当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAB+∠B
解析：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C
【解析】
当∠EAD ＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；
当∠DAC ＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；
当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC ， 故答案是：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C 或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.
18．145
【分析】
由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．
【详解】
解：∵,
∵OE 平分∠AOC，∴,
∵OF⊥OE 于点O ，∴∠EOF＝90°，∴∠A
解析：145
【分析】
由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．
【详解】
解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,
∵OE 平分∠AOC ，∴1552
AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°， 故答案为145．
【点睛】
本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．
19．46
【分析】
过点C 作CF ∥AB ，根据平行线的传递性得到CF ∥DE ，根据平行线的性质得到∠ABC ＝∠BCF ，∠CDE+∠DCF ＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF ＝76°，由等式性质得到∠
解析：46
【分析】
过点C 作CF ∥AB ，根据平行线的传递性得到CF ∥DE ，根据平行线的性质得到∠ABC ＝∠BCF ，∠CDE +∠DCF ＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF ＝76°，由等式性质得到∠DCF ＝30°，于是得到结论．
【详解】
解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．
20．45︒
【分析】
先根据邻补角求出∠3的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠2即可．
【详解】
如图，
∵∠1+∠3=180︒
∴∠3=180︒-∠1
∵∠1=135︒
∴∠3=45︒
∵
解析：45︒
【分析】
先根据邻补角求出∠3的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠2即可．
【详解】
如图，
∵∠1+∠3=180︒
∴∠3=180︒-∠1
∵∠1=135︒
∴∠3=45︒
∵a//b
∴∠2=∠3=45︒．
故答案为：45︒
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”是解此题的关键．
三、解答题
21．见解析
【解析】
分析：（1）求出∠ADE+∠FEB=180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，推出HD∥AC，根据平行线的性质得出
∠H=∠CGH，∠CAD=∠CGH，推出∠BAD=∠F即可．
详解：（1）AD∥EF．
理由如下：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180°
∴∠ADE+∠FEB=180°，∴AD∥EF；
（2）∠F=∠H，理由是：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠EDH=∠C，∴HD∥AC，∴∠H=∠CGH．
∵AD∥EF，∴∠CAD=∠CGH，∴∠BAD=∠F，∴∠H=∠F．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
22．【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.
【分析】
感知：如图①，过点E作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；
探究：如图2中，作EG∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
应用：作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
【详解】
解：理由如下，
【感知】
过E点作EF//AB
∵AB//CD
∴EF//CD
∵AB//CD
∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD
∴∠CEF=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】
过E点作AB//EG.
∵AB//CD
∴EG//CD
∵AB//CD
∴∠BAE+∠AEG=180°
∵EG//CD
∴∠CEG+∠DCE=180°
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°
【应用】
过点F作FH∥AB.
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°
故答案为396°.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF +∠CEF ；（2）证明见解析；（3）20°．
【分析】
（1）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（2）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（3）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
（1）证明：如图①，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C ＝∠CEF ．（两直线平行，内错角相等），
∵EF ∥AB ，
∴∠B ＝∠BEF （同理），
∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠CEF （等量代换）
即∠B +∠C ＝∠BEC ，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF +∠CEF ； （2）证明：如图②，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C +∠CEF ＝180°，∠B +∠BEF ＝180°，
∴∠B +∠C +∠AEC ＝360°，
∴∠B +∠C ＝360°﹣∠BEC ；
（3）解：如图③，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C +∠CEF ＝180°，∠A ＝∠BEF ，
∵∠C ＝120°，∠AEC ＝80°，
∴∠CEF ＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEF ＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A ＝∠AEF ＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
24．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【分析】
（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F 作//FN AB ，如图：
∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°
∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：
由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴35AEF EHL ∠=∠=︒
又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒
∴90EHM x ∠=︒+︒
∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒
∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：
设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒
设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒
又∵125FGD ∠=︒
∴125PGN y ∠=︒-︒
∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
25．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析
【分析】
（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC 求出∠CAF 度数，求∠EMC 度数转化到∠MCH 度数；
（2）过点C 作CH ∥GF ，得到CH ∥DE ，∠CAF 与∠EMC 转化到∠ACH 和∠MCH 中，从而发现∠CAF 、∠EMC 与∠ACB 的数量关系．
【详解】
（1）过点C 作CH ∥GF ，则有CH ∥DE ，
所以∠CAF=∠HCA ，∠EMC=∠MCH ，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案为30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
过点C 作CH ∥GF ，则∠CAF=∠ACH ．
∵DE ∥GF ，CH ∥GF ，
∴CH ∥DE ．
∴∠EMC=∠HCM ．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．
【点睛】
考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．
26．类比探究：见解析；
创新应用：(1)：1105.∠=︒
创新应用：(2)：2150.∠=︒
【分析】
[类比探究]：如图，过E 作//,EF AB 结合已知条件得//,FE CD 利用平行线的性质可得答案，
[创新应用]：
(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB 得到//,CD EF 利用平行线的性质可得答案，
(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB 得到 //,EG CD 利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：类比探究：如图，过E 作//,EF AB
//,AB CD
//,FE CD ∴
//,EF AB
180,B BEF ∴∠+∠=︒
//,FE CD
180,D DEF ∴∠+∠=︒
360,B BEF DEF D ∴∠+∠+∠+∠=︒
360.B BED D ∴∠+∠+∠=︒
[创新应用]：(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB
//,CD EF ∴
//,EF AB
,B BEF ∴∠=∠
//,CD EF
,D DEF ∴∠=∠
,B D BEF DEF BED ∴∠+∠=∠+∠=∠
30,45,B D ∠=︒∠=︒
75,BED ∴∠=︒
90,AEB DEC ∠=∠=︒
1360909075105.∴∠=︒-︒-︒-︒=︒
(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB
//,EG CD ∴
2180,GEQ ∴∠+∠=︒
//,EG AB
1180,GEF ∴∠+∠=︒
1212360GEF GEQ FEQ ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，
∠1=120o ，∠FEQ=90°，
2150.∴∠=︒
【点睛】
本题考查平行公理及平行线的性质，掌握平行公理及平行线的性质是解题关键．
27．（1）两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）∠B ＋∠E ＋∠F ＋∠D ＝540°；（3）∠B ＋∠E ＋∠D －∠F ＝180°．
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定，平行公理的推论回答即可；
（2）过点E 、F 分别作GE ∥HF ∥CD ，根据两直线平行，同旁内角互补及已知条件求得同旁内角∠ABE ＋∠BEG ＝180°，得到AB ∥GE ，再根据平行线的传递性来证得AB ∥CD ； （3）过点E 、F 分别作ME ∥FN ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等及已知条件求得同旁内角∠B ＋∠BEM ＝180°，得到AB ∥ME ，再根据平行线的传递性来证得AB ∥CD ．
【详解】
解：（1）由题意可知：“依据1”：两直线平行，同旁内角互补；
“依据2”： 同旁内角互补，两直线平行；
“依据3”： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）当∠B 、∠E 、∠F 、∠D 满足条件∠B ＋∠E ＋∠F ＋∠D ＝540°时，有AB ∥CD ． 理由：如图，过点E 、F 分别作GE ∥HF ∥CD ，
则∠GEF ＋∠EFH ＝180°，∠HFD ＋∠CDF ＝180°，
∴∠GEF ＋∠EFD ＋∠FDC ＝360°；
又∵∠B ＋∠BEF ＋∠EFD ＋∠D ＝540°，
∴∠ABE ＋∠BEG ＝180°，
∴AB ∥GE ，
∴AB∥CD；
（3）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠D－∠F＝180°时，有AB∥CD．
如图，过点E、F分别作ME∥FN∥CD，
则∠MEF＝EFN，∠D＝∠DFN，
∵∠B＋∠BEF＋∠D－∠EFD＝180°，
∴∠B＋∠BEM＋∠MEF＋∠D－∠EFN－∠DFN＝180°，
∴∠B＋∠BEM＝180°，
∴AB∥ME，
∴AB∥CD．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质的综合应用，作出合适的辅助线，灵活运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
28．（1）∠AEC＝130°；（2）∠A1EC＝130°；（3）∠A1EC＝40°．
【解析】
【分析】
(1)由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得
∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；
(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出
∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；
(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.
【详解】
(1)如图1所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，
∴∠PAD＝150°，
∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝25°，
∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
(2)如图2所示：
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∴∠PA1D1＝150°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝25°，
∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；
(3)如图3所示：
过点E作FE∥PQ，
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠QA1E＝∠2＝15°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，
∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．
【点睛】
本题考查了平行线性质，角平分线定义，熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度
数是解题的关键.。