初三数学二次根式运算错误剖析学法指导

初三数学二次根式运算错误剖析学法指导
刘素君 http://
二次根式是初中代数的重要内容，其中的概念和性质都有条件限制，同学们在运用这些概念和性质解题时，往往会忽视这些条件而导致错解，现将同学们作业中易出现的错误归类剖析如下。

一. 忽视二次根式0a a ≥中而造成错解
例1. 化简：a
31)3a (-- 错解：原式a 3a 31)3a (2-=-⨯
-= 剖析：错解中忽视了0a
31>-这一隐含条件，即03a <-，此式的值应为负值。

正解：原式a
31)3a (2-⨯--= a 3--=
二. 忽视0b ,0a b a b a >≥=中
而造成错解
例2. 已知：4x y ,5y x =-=+，求
x y y x +的值。

错解：原式xy y
x x y y x
+=+=
-=-=4
525 剖析：因为4xy =，所以x 、y 同号，又因5y x -=+，所以x 、y 同为负数，因此上述变形x
y x y y x y x ==与是错误的。

正解1：经分析知，0y ,0x <<， 原式|x |xy |y |xy x
xy y xy 22+=+= 2
5445xy xy
)y x (x xy
y
xy =-
=+-=-+-= 解法2：经分析知，0y ,0x <<。

设：m x
y y x =+， 两边平方得：
4
252442)5(2xy
xy 2)y x (2xy y x 2x y y x m 22222
=+⨯--=+-+=++=++= 因为：0x
y y x m >+=， 所以2
5m =
三. 忽视使用公式：|a |a 2= 例3. 已知：321
a +=，求：a a 1a 2a 1a a a 21222-+---+-的值。

错解：原式)
1a (a 1a 1a )a 1(2-----= 132a
11a --=-
-= 剖析：因为1323
21a <-=+=， 所以01a <-。

因此上述变形)1a (a 1a a
a 1a 2a 22--=-+-是错误的。

正解：原式)
1a (a |1a |1a )a 1(2-----= 3a
11a )1a (a a 11a =+-=----=
四. 违背运算规律
例4. 计算：)12(121
2-⨯-÷ 错解：原式212=÷=
剖析：对于同一级运算，要按从左到右的顺序进行，错解中违反了这一规律： 正解：原式)12()12(2-⨯-⨯=
423)223(2-=-=
例5. 计算：)23(6-÷ 错解：原式2636÷-÷=
32-=
剖析：乘法对加法的分配率在除法中不能随便套用，否则会导致错误。

正解：原式231
6-⨯=
3
223232
36+=-+⨯=
五. 忽视二次根式存在条件
例6. m 为何值时，最简二次根式与7m 22-2m 84+是同类二次根式？
错解：由2m 87m 2+=-
得1m ,9m 21-==
剖析：当1m -=时，62m 8,67m 2-=+-=-，此时，两个根式都无意义，故1m -=应舍去。

正解：9m =
六. 忽略同类二次根式的定义
例7. 已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式，则a 、b 的值是（ ）
A. 0a =，2b =
B. 1a =，1b =
C. 1b ,1a 2b ,0a ====或
D. 0b ,2a ==
错解：由⎩⎨⎧+==+b a 3b 42b a 解得⎩
⎨⎧==1b 1a 故选B 。

剖析：两个根式是同类二次根式，必须满足以下两个条件：①是最简二次根式，②被开方数相同。

而b a b 4+不是最简二次根式，故需先将其化简。

正解：依题意：⎩⎨⎧+==+b a 3b 2b a 解得⎩
⎨⎧==2b 0a 故选A 。

例8. m 为何值时，二次根式6m 24-与4
3m 26-是同类二次根式？ 错解：由43m 26m 2-=-得8
13m =。

剖析：错解原因同例7，忽略了同类二次根式的定义。

因题目中没有指明6m 24-与4
3m 26-是最简二次根式，故均需化简。

正解：因)m 2(63
26m 24-=- 3m 234
3m 26-=- 依题意有：815m 3m 2)m 2(6=-=-得。