绥棱县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

绥棱县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设曲线y=ax 2在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．﹣1
2． 已知实数x ，y 满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
3． ,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ⋅=（ ） （A ）
13 （ B ） 49 （C ） 23 （D ） 89
4． 特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ） A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0
B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0
C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0
D ．∀x ∈R ，x 2+1≥0
5． 若双曲线C ：x 2﹣=1（b ＞0）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=（ ）
A ．2
B ．
C ．3
D ． 6． 函数 y=x 2﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是（ ）
A ．[1，6]
B ．[﹣3，1]
C ．[﹣3，6]
D ．[﹣3，+∞）
7． 设函数f （x ）在R 上的导函数为f ′（x ），且2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2
，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ）
A ．f （x ）＞0
B ．f （x ）＜0
C ．f （x ）＞x
D ．f （x ）＜x
8． 已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）
A ．为直角三角形
B ．为锐角三角形
C ．为钝角三角形
D ．前三种形状都有可能
9． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ） A ．{5} B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅
10．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α；
其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．②④
D ．①③
11．执行如图所示的一个程序框图，若f （x ）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1]
B ．[1，]
C ．[1，2]
D ．[，2]
12．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥n B ．α∥β，l ⊂α⇒l ⊥β C ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m D ．l ⊥α，l ∥β⇒α⊥β
二、填空题
13．在区间[﹣2，3]上任取一个数a ，则函数f （x ）=x 3﹣ax 2+（a+2）x 有极值的概率为 ．
14．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
15．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．
16．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
17．已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ﹣
）= ．
18．（
﹣2）7的展开式中，x 2
的系数是 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=，求不等式f （x ）＜4的解集．
20．已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）（1）求m和t的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
21．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．
22．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．
23．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A[]
B[]
C[]
D[]
24．已知函数f（x0=．
（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．
绥棱县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行
∴有2a=2
∴a=1
故选：A
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．
2．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（a，a），
联立，得B（1，1），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，
由6a=3，得a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．【答案】C
【解析】由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2233,4233AB AD BE AC AD BE
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 22422
()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=.
4． 【答案】D
【解析】解：∵命题“∃x ∈R ，使x 2
+1＜0”是特称命题
∴否定命题为：∀x ∈R ，都有x 2
+1≥0．
故选D ．
5． 【答案】B
【解析】解：双曲线C ：x 2
﹣
=1（b ＞0）的顶点为（±1，0），
渐近线方程为y=±bx ，
由题意可得
=
，
解得b=1，
c=
=，
即有离心率
e=
=． 故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
6． 【答案】C
【解析】解：y=x 2﹣4x+1=（x ﹣2）2
﹣3 ∴当x=2时，函数取最小值﹣3 当x=5时，函数取最大值6 ∴函数 y=x 2
﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
故选C
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置
关系，仔细作答
7． 【答案】A
【解析】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，
令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．
如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，
但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A
故选A．
8．【答案】A
【解析】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），
将直线与抛物线方程联立得，
消去y得：x2﹣mx﹣1=0，
根据韦达定理得：x1x2=﹣1，
由=（x1，x12），=（x2，x22），
得到=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，
则⊥，
∴△AOB为直角三角形．
故选A
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．
9．【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．
故选B．
10．【答案】B
【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：
在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确；
在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，
∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；
在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确；
在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误．
故选：B ．
11．【答案】B
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=
的值，
当a ＜0时，y=log 2（1﹣x ）+1在[﹣1，a]上为减函数，f （﹣1）=2，f （a ）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；
当a ≥0时，f ′（x ）=3x 2
﹣3＞⇒x ＞1或x ＜﹣1，
∴函数在[0，1]上单调递减，又f （1）=0，∴a ≥1；
又函数在[1，a]上单调递增，∴f （a ）=a 3
﹣3a+2≤2⇒a ≤
．
故实数a 的取值范围是[1，]．
故选：B ．
【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．
12．【答案】D
【解析】解：对于A ，α∥β，l ⊂α，n ⊂β，l ，n 平行或 异面，所以错误； 对于B ，α∥β，l ⊂α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；
对于C ，l ⊥n ，m ⊥n ，在空间，l 与m 还可能异面或相交，所以错误． 故选D ．
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：在区间[﹣2，3]上任取一个数a ， 则﹣2≤a ≤3，对应的区间长度为3﹣（﹣2）=5，
若f （x ）=x 3﹣ax 2
+（a+2）x 有极值，
则f'（x ）=x 2
﹣2ax+（a+2）=0有两个不同的根，
即判别式△=4a 2
﹣4（a+2）＞0，
解得a ＞2或a ＜﹣1， ∴﹣2≤a ＜﹣1或2＜a ≤3，
则对应的区间长度为﹣1﹣（﹣2）+3﹣2=1+1=2，
∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=，
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．
14．【答案】6．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
15．【答案】5
【解析】
试题分析：'2'
=++∴-=∴=．
f x x ax f a
()323,(3)0,5
考点：导数与极值．
16．【答案】3
17．【答案】．
【解析】解：∵θ是第四象限角，
∴，则，
又sin（θ+）=，
∴cos（θ+）=．
∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．
则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．
故答案为：﹣．
18．【答案】﹣280
解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．
由，得r=3．
∴x2的系数是．
故答案为：﹣280．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：函数f（x）=，不等式f（x）＜4，
当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0；
当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1．
综上x∈（﹣3，0）．
不等式的解集为：（﹣3，0）．
20．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=，
由题意可得，f（）=，f′（）=，
即=，且=，
由m∈N，则m=1，t=8；
（2）设h（x）=ax+﹣，x≥．
h（）=﹣≥0，即a≥，
h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，①
若≤x≤，设g（x）=a﹣，
g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0，
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0，
则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立；
当a＜时，h（）＜0，不合题意．
综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（1）
（2）
设回归方程为=bx+a
则b=
﹣5
/
﹣5
=1380﹣5×5×50/145﹣5×52
=6.5
故回归方程为=6.5x+17.5
（3）当x=7时， =6.5×7+17.5=63，
所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）．
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，
这是解答正确的主要环节．
22．【答案】（１） 24y x =；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222
(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)0)((0)(''<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('x f 不恒等于的参数的范围． 23．【答案】B 【解析】
当x ≥0时，
f （x ）=，
由f （x ）=x ﹣3a 2，x ＞2a 2，得f （x ）＞﹣a 2； 当a 2＜x ＜2a 2时，f （x ）=﹣a 2；
由f （x ）=﹣x ，0≤x ≤a 2，得f （x ）≥﹣a 2。

∴当x ＞0时，。

∵函数f （x ）为奇函数， ∴当x ＜0时，。

∵对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）≤f （x ），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。

24．【答案】
【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为
（﹣∞，0），（1，+∞），
丹迪减区间是（0，1）
（2）由已知可得
或，
解得x≤﹣1或≤x≤，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪
[，]．
【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．。