高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2 对数与对数函数 3.2.2 对数函数(2)课时作业 新人

2017-2018年高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数3.2.2 对数函数（2）课时作业新人教B版必修1
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3。

2.2 对数函数（2）
一、选择题
1．已知函数f(x）＝lg错误!，若f(a）＝错误!，则f（－a）等于错误!（ B ）A．错误!B．－错误!
C．2 D．－2
［解析]f（a）＝lg错误!＝错误!,f(－a）＝lg(错误!）－1
＝－lg错误!＝－错误!。

2．函数y＝ln(1－x）的图象大致为错误!（ C ）
［解析］要使函数y＝ln(1－x）有意义，应满足1－x>0,
∴x〈1,排除A、B；
又当x〈0时，－x〉0,1－x〉1，
∴y＝ln(1－x)>0,排除D，故选C．
3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则错误!（ D )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
［解析］本题考查了以对数为载体，比较实数大小的问题．
∵1>log54〉log53>0，
∴1〉log54〉log53>(log53)2〉0，
而log45〉1,∴c>a>b。

4．设函数f（x)＝ln(1＋x）－ln(1－x），则f(x)是导学号 65164947( A ）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数
B．奇函数,且在（0,1)上是减函数
C．偶函数,且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在（0,1)上是减函数
［解析]f（x）的定义域为(－1，1)，f（－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x）＝－f（x），∴f （x)是奇函数,因为y＝ln（1＋x)及y＝－ln(1－x)在(0,1)上均为增函数，所以f（x)在(0，1）上是增函数．
5．下列函数中,其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是错误!( D ）A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝错误!
［解析］函数y＝10lg x的定义域为（0，＋∞)，
又∵y＝10lg x＝x，∴函数的值域为（0，＋∞），故选D．
6．设函数f（x)＝错误!，则满足f（x）≤2的x的取值范围是错误!( D ）
A．［－1，2] B．[0,2]
C．[1,＋∞)D．[0，＋∞）
[解析]当x≤1时，21－x≤2，∴1－x≤1，
∴x≥0,∴0≤x≤1。

当x>1时，1－log2x≤2，∴log2x≥－1，
∴x≥错误!，又∵x〉1,∴x〉1。

综上可知,x的取值范围为[0,＋∞)．
二、填空题
7．函数y＝log2(4x－x2)的递增区间为__(0，2]__.导学号 65164950
[解析]由4x－x2〉0,得0〈x<4.
令u＝4x－x2(0<x〈4)，
∵函数u＝4x－x2(0〈x〈4）的递增区间为(0，2］,
∴函数y＝log2(4x－x2）的递增区间为(0,2］．
8．函数f（x)＝错误!的值域为__（－∞，2）__。

错误!
[解析]当x≥1时，错误!≤错误!1＝0，
当x〈1时,0〈2x〈2，∴函数f(x）的值域为（－∞，2)．
三、解答题
9．已知函数f（x)＝log a错误!(a〉1，且b>0）．
(1)求f（x)的定义域;错误!
(2）判断函数的奇偶性；
(3)判断f（x）的单调性，并用定义证明．
［解析］(1)由错误!，解得x〈－b，或x>b.
∴函数f（x)的定义域为（－∞，－b）∪(b，＋∞）．(2）定义域为(－∞，－b）∪（b,＋∞)．
∵f(－x)＝log a错误!＝log a错误!
＝log a（错误!）－1＝－log a(错误!)＝－f（x)，
∴f(x）为奇函数．
（3)设x1、x2是区间(b，＋∞)上的任意两个值,且x1〈x2.则错误!－错误!
＝错误!
＝错误!。

∵b>0，x2－x1>0,x2－b>0，x1－b>0,
∴错误!>错误!。

又a>1时,函数y＝log a x是增函数，
∴log a x
1
＋b
x
1
－b
〉log a错误!，即f(x1）>f(x2)．
∴函数f(x)在区间（b，＋∞)上是减函数．
同理，可证f(x）在（－∞,－b）上也是减函数．
10．设函数f(x)＝错误!。

错误!
(1)当a＝错误!时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x)是(－∞,＋∞）上的减函数，求实数a的取值范围．
[解析］（1)当a＝1
2
时，f（x)＝错误!
当x〈1时，f（x)＝x2－3x是减函数，所以f(x）〉f（1)＝－2，
即x〈1时，f(x)的值域是(－2，＋∞）．当x≥1时, f(x）＝错误!x是减函数,
所以f（x)≤f（1）＝0,
即x≥1，f（x)的值域是（－∞，0]．
于是函数f(x）的值域是(－∞，0]∪(－2，＋∞）＝R。

(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞）上的减函数，
则下列①②③三个条件同时成立：
①当x<1时，f（x)＝x2－(4a＋1)x－8a＋4是减函数,于是错误!≥1，则a≥错误!；
②当x≥1时，f(x)＝log a x是减函数,则0<a<1;
③1－(4a＋1)－8a＋4≥log a1＝0，∴a≤错误!。

综上所述,a的取值范围为错误!≤a≤错误!。