河北省徐水综合高中高三5月高考保温测试数学理试题

徐水综合高中
高考保温测试试题
数 学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若全集{}{}
21,0,1,2|2U P x Z x =-=∈<，则U C P =
A ．{}2
B ．{}0,2
C ．{}1,2-
D ．{}1,0,2- 2．复数)
2(5+=i i
z （i 为虚数单位）的共轭复数所对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图，如果该公司共有员工200人，则信息收到125条以上的大约有
A ．6人
B ．7人
C ．8人
D ．9人
4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为
5．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM ＝－2CA ＋λCB ，则λ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．“m ＝－1”是“函数f （x ）＝ln （mx ）在（－∞，0）上单调递减”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知实数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤≥.,13,
1,m y x x y y y x 满足如果目标函数y x z 45-=的最小值为—3，则实数m=
A ．3
B ．2
C ．4
D ．
3
11 8．在如图所示的程序框图中，若U
V
S ＝
A ．2 B
．1 D
9．曲线x x y +=ln 在点M （1，1）处的切线与坐标轴围成三角形的面积是
A ．
4
1
B ．
2
1 C ．
4
3 D ．
5
4 10．已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，
当[0,]2
x π
∈时，满足()1f x =的x 的值为
A ．6π
B ．4π
C ．524π
D ．3
π
11．．若偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，2
()f x x =，则
关于x 的方程1()(
)10x f x =在10
[0,]3
上根的个数是 A ．1 B ．2 C ．
3 D
．4
12．过双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左焦点F作圆222
1
4
x y a
+=的切线，切点为E，直线EF
交双曲线右支于点P，若
1
()
2
OE OF OP
=+
，则双曲线的离心率是
A．
2
B
D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

13．已知
6
1
1
e
n dx
x
=⎰，那么3
()n
x
x
-展开式中含2x项的系数为。

14．圆2x2
＋y－2x＋my－2＝0关于抛物线2x＝4y的准线对称，则m＝______________
15．已知函数f（x ，若存在ϕ
∈（，使f（sinϕ）＋f（cosϕ）＝0，则实数a 的取值范围是________________.
16．已知四面体ABCD中，AB=AD=6，AC=4，CD=213，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为
三、解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在公差不为0的等差数列{}n a中，148
,,
a a a成等比数列。

（1）已知数列{}n a的前10项和为45，求数列{}n a的通项公式；
（2）若
1
1
n
n n
b
a a
+
=，且数列{}n b的前n项和为n T，若11
99
n
T
n
=-
+
，求数列{}n a的公差。

18．盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1、1、2、2、2，每张卡片被取到的概率相等。

先从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字x，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字y。

设2
318
,()
55
M x y f t t Mt
=+=-+。

（1）求随机变量M的分布列和数学期望；
（2）设“函数2
318
()
55
f t t Mt
=-+在区间(2,4)内有且只有一个零点”为事件A，求A的概率()
P A。

19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体ABCDFE 中，△ABC ，△DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED 为正方形，且所在平面垂直于平面ABC ． （Ⅰ）证明：平面ADE ∥平面BCF ； （Ⅱ）求二面角D －AE －F 的正切值． 20．（本小题满分12分）
已知椭圆
)0(12
22
2>>=+b a b y a x 的中心在原点，右顶点为A （2，0），
其离心率与双曲
13
22=-x y 的离心率互为倒数。

（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点B （0,b ），斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求2
k 的值。

21.（本小题满分12分）设函数2
1()ln ().2
a f x x ax x a R -=
+-∈ (Ⅰ) 当1a =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性. （Ⅲ）若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有
212(1)
ln 2()()2
a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点 作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点， 若四边形BCON 是平行四边形； （Ⅰ）求AM 的长； （Ⅱ）求sin ∠ANC ．
23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直
(I)写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；
的取值范围.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．
（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．
2013年高考保温测试试题
数学（理）参考答案
一、选择题：ADCD C AA BAB CA
二、填空题：135 _2_ 88π
三、解答题：
（19）解：（Ⅰ）取BC 的中点O ，
ED 的中点G ，连接,,,AO OF FG AG .
则AO BC ⊥，又平面BCED ⊥平面ABC ，
所以AO ⊥平面BCED ，同理FG ⊥平面BCED ， 所以,AO
FG 又易得AO FG =，
所以四边形AOFG 为平行四边形，所以AG OF ，
又DE
BC ，所以平面ADE
平面BCF .
……………………………………………（6分）（Ⅱ）建立如图所示
的空间直角坐标系，设
2BC =，则
,()0,1,2D ,()0,1,2E -，
(3,1,AD =-(AE =-，(2AF =-
设平面ADE 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则
00AD AE ⋅=⇒⋅=
令2x =，得…………………………………………………………………（9分） 设平面AEF 的一个法向量是(,,)x y z '''=m ，则
00AE AF ⋅=⇒
⋅=令1x '=，得
易知二面角D AE F --为锐二面角，故其余弦值为
所以二面角D AE F --的正切值为…………………………………（12分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点B 的直线为1y kx =+，
由2
2141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得22(41)80k x kx ++=， 所以2
814D k
x k =-+，221414D k y k -=+，………………………………………………………（7分）
依题意知0k ≠，且1
2
k ≠±.
分别为1,,||D D y b y -，它们满足2(1)D D b y y =-，即(1)1D D y y -=，……（9分）
显然0D y ＜
，
∴210D D y y --=
，解得D y =
或
D y =（舍去），…………………（10分） 所以2
21414k k -=+2
k =
所以当,,BD BE DE 成等比数列时，2
k =.…………………………（12分）
21．(本小题满分12分）解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,)+∞.
当1a =时，'11
()ln ,()1,x f x x x f x x x
-=-=-
=2分
当01x <
<时，'()0;f x <当1x >时，'()0.f x > ()=(1)1,f x f ∴=极小值无极大值.
4分
（Ⅱ）
'
1
()(1)f x a x a x
=-+- 2(1)1a x ax x -+-=
1
(1)()(1)1a x x a x
--
--=
5分
当111
a =-，即2a =时，2'
(1)()0,x f x x -=-≤ ()f x 在定义域上是减函数； 当111a <-，即2a >时，令'()0,f x <得1
01
x a <<
-或1;x > 令'
()0,f x >得
1 1.1x a <<-当111a >-，即12a <<时，令'()0,f x <得01x <<或1;1
x a >- 令'
()0,f x >得11.1x a <<
- 综上，当2a =时，()f x 在(0,)+∞上是减函数； 当2a >时，()f x 在1(0,
)1a -和(1,)+∞单调递减，在1(,1)1
a -上单调递增； 当12a <<时，()f x 在(0,1)和1(,)1a +∞-单调递减，在1(1,)1
a -上单调递增；8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当(3,4)a ∈时，
()f x 在[1,2]上单减，(1)f 是最大值， (2)f 是最小值.
123
()()(1)(2)ln 222
a f x f x f f ∴-≤-=
-+ 10分
∴
2(1)ln 22a m -+>3
ln 222
a -+ 而0a
>经整理得23a m ->
，由34a <<
得2310a -<<，所以1
.15
m ≥12分 （22）解：因为四边形BCON 是平行四边形，所以因为AM 是O 的切线，所以又因为C 是AM 的中点，所以得45NAM ∠=︒，故（Ⅱ）作CE AN ⊥于
……………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）直线l 的普通方程,01323=--+y x
曲线C 的直角坐标方程42
2
=+y x ；………………………………4分
（Ⅱ）曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y
y x x 2/
/
得到曲线/
C 的方程为4422=+y x ， 则点M 参数方程为)(,
sin 4,cos 2参数θθθ⎩⎨
⎧==y x ，代入y x 21
3+得，
y x 213+
==⋅+⋅θθsin 421cos 2
3)3sin(4cos 32sin 2π
θθθ+=+ ∴y x 21
3+的取值范围是[]4,4-
……………………………10分
（24）解：（Ⅰ）当1a =时，不等式即为2|4||3|2<-+-x x ， 若4x ≥，则2103<-x ， 若43<<x ，则22<-x ， 若3x ≤，则2310<-x ， 5分） （Ⅱ）设|4||3|2)(-+-=x x x f ，则
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·11· 310,4()2,34103,3x x f x x x x x -⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩
≥≤，()1f x ∴≥， 12>∴a ，，即a 的取值范围为10分）。