最新考研数学模拟试题数学二

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考研数学模拟试题（数学二）
参考答案
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）
1.设 x 0 是多项式 P( x) x 4 ax 3 bx 2 cx d 的最小实根，则（） .
（A ）
P ( x 0 ) 0 （ B ） P ( x 0 ) 0 （C ） P ( x 0 ) 0 （ D ） P (x 0 ) 0
解 选择 A.
由于
lim P( x)
，又 x 0 是多项式 P( x) 的最小实根，故 P (x 0 )
0 .
x
x 0
2. lim f ( x) f (a)
f ( x)
在点 x a （） .
则函数 设 x a 3
x a
（A ）取极大值（ B ）取极小值（ C ）可导（ D ）不可导
选择 D. 由极限的保号性知，存在
U (a) ，当 x U (a) 时，
f ( x) f (a)
，当 x a
解 3
x a
时， f ( x) f (a) ，当 x
a 时， f ( x) f (a) ，故 f ( x) 在点 x a 不取极值 .
lim f ( x) f (a)
f ( x) f (a)
1
，所以 f ( x) 在点 x a 不可导 .
x a
lim
3
3
2 x a
x a
x a
( x a)
3.设 f ( x, y) 连续，且满足 f ( x, y)
f ( x, y) ，则
f (x, y) dxdy （） .
x
2
y 2 1
1
1 x
2
1
1 y
2
（A ） 2 0 dx 0
f ( x, y)dy
（B ） 2 0 dy
1 y 2
f ( x, y)dx
1
1 x
2
1
1 y 2
（C ） 2 0 dx
1 x
2
f ( x, y)dy
（D ） 2 0 dy 0
f ( x, y)dx
解 选择 B. 由题设知
1
1 y 2
f ( x, y)dxdy 2
f ( x, y)dxdy 2 0 dy
1
y 2 f (x, y)dx .
x 2
y 2
1
x 2
y 2
1, y 0
4.微分方程 y 2 y
x e 2x 的特解 y * 形式为（） .
(A) y * (ax b)e 2x (B) y *
ax e 2 x
(C) y * ax 2 e 2x (D) y * (ax 2
bx)e 2 x
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解选择 D. 特征方程r22r 0 ，特征根 r 0, r 2 ，y* x(ax b) e2 x.
5. 设函数 f ( x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）.
（A ）
x x 2
(t) dt
f (t 2 )dt （ B）f
0 0
x x
f ( t )] dt
（C）t[ f (t ) f ( t )]dt （ D）t[ f (t )
0 0
选择 C. 由于t[ f (t ) x
t[ f (t) f (
解 f ( t)] 为奇函数，故
0 2 是特征根，特解y*形式为t)]dt 为偶函数.
6. 设在全平面上有f ( x, y)
x
条件是（）
（A ） x1 x2， y1 y2 .
（C） x1 x2， y1 y2 .
f ( x, y)
解选择A. 0
x
f ( x, y)
0 f (x, y) 关于
y 0， f ( x, y) 0 ，则保证不等式
y
（B ） x1 x2， y1 y2 .
（D ） x1 x2， y1 y2 .
f ( x, y) 关于 x 单调减少，
y单调增加，
f ( x1 , y1) f ( x2 , y2 ) 成立的
当 x1x2， y1y2时，f ( x1, y1) f ( x2 , y1 ) f ( x2 , y2 ) .
7.设A和B为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是（）.
(A) A E与 B E相似(B)A与B合同
(C)A E B E(D) A E B E
解选择 D. A与B相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故 A ，C 正确，又
A 和
B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，可以推出 A 与 B 合同，故B正确.
8. A A m n， R( A) r ， b 为m维列向量，则有（）.
(A)当 r m 时，方程组Ax b有解
(B)当 r n 时，方程组Ax b有唯一解
(C)当 m n 时，方程组Ax b有唯一解
(D) 当r n 时，方程组Ax b 有无穷多解
解 选择 A. 当 r m 时， r A,b
r ( A)
，方程组 Ax b 有解 . 二、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上）
1
9. lim (1 x) x
e
.
x
x 0
解 答案为
e
.
2
1
1 ln(1 x)
1 ln(1 x) 1
x)
x
lim
e x
e x
lim
(1
e x
e elim
x 1
x
x
x
x 0
1
x)
1
1 1
ln(1
ln(1
x) x
e
elim x
elim
1
x
elim
2
x 0
x
x 0 x
x 0 2x 2
10 设 f 有二阶连续偏导数， u
f (x, xy, xyz) ，则
2
u
.
z y
解 答案为 xf 3
x 2 yf 32
x 2 yzf 33 .
u
xyf 3
z
2
u
xf 3
xy( f 32 x
f
33
xz)
xf 3
2
yf 32
2
yzf 33
z y
x x
11.设微分方程 y
y
( x
) 的通解为 y x ，则
( x)
.
x
y
ln Cx
解 答案为
1 . 将 y
x
代入微分方程，得
(ln Cx)
1
1
.
x 2
ln ，故 (x)
x 2
ln Cx
2 Cx
12.数列
n
.
n 中最大的项为
3
解 答案为
3 .
【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】
1 1
1
设 f (x)
x
x x
x
e x
ln x
， f ( x)e x ln x
1 ln x
0x
e ，
x 2
x e 时， f (x) 0 ， f (x) 单调增加，故 n e 时， f ( n)
n
2 最大，
n 递增， x e 时， f (x)
0 ， f (x) 单调减少，故 n e 时， f ( n) n
3
n 递减， 3 最大，
3
6
6
n
3
又 3 9 8 2 ，数列 n 的最大项为 3 .
13.方程 5x
2
x dt
0 在区间 (0,1) 内的实根个数为
.
1 t
8
dt
dt
解 答案为 1. 令 f (x) 5x
2
x ， f (0)
2 0, f (1) 3
1
0 ，
1 t
8
0 1 t 8
由零点定理知，此方程在区间
(0,1) 内至少有一个实根，又 f (x) 5
1 0 ， f ( x) 单 x 8
1
调增加，故此方程在区间
(0,1) 内有且仅有一个实根 .
14.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 2， 1, 2 ,
3 是非齐次线性方程组
Ax b 的三个线性无关的解，
则 Ax
b 的通解为
.
解 答案为
1
k 1 ( 2
1
) k 2 ( 3
1 ) ， k 1, k
2 为任意常数 .
1 ,
2 ,
3 是非齐次线性方程组 Ax b 的三个线性无关的解，则
2
1
,
3
1 是 Ax 0
的两个解，且它们线性无关，又
n r ( A) 2 ，故
2
1
,
3
1 是 Ax 0 的基础解系，
所以 Ax b 的通解为
1
k 1 (
2
1 )
k 2 ( 3 1 ) .
三、 解答题（本题共 9 小题，满分 94 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
15. （本题满分
[(1 x) x e]sin ln(1
x)
9 分） 求极限 lim 1 x sin x 1
.
x 0
解
[(1
1
e]sin ln(1
x) (1 1
e
1
ln(1 x) e
1
ln(1 x) 1
x) x
x) x 2lim e x
e
x
1
lim
1 xsin x 1
2lim
x
x
2elim
x
x 0
x 0
x
x
1
ln(1
x) 1
ln(1 x) x
1 1
elim x
2elim
2elim 1 x e
2
x 0
x
x 0
x
x 0
2x
16. （本题满分 9
分 ） 设 f ( x) 单 调 且 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， z
f (x ( y)) 满 足
z
z 0，求可导函数 ( y) .
( y )
y
x
解
z f ，
z
f
( y) ，代入方程 ( y)
z
z 0 ，得 ( y) f f ( y)
0 ，
x
y
x
y
即
( y)
( y) ，解得 ( y) C e x ，其中 C 为任意常数 .
17. （本题满分 9 分）
1
2 y 2
2
2 3
计算积分
dy
y
2
(x
y
sin y) dx 1
1 1
解
画出二重积分区域
D ， D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得
1
2 y
2
x 2 y 2 sin 3 y)dx
( x 2
y 2 sin 3 y)dxdy
dy
1 y 2
( 1
1
D
2
( x
2
y 2
)dxdy
2
4 d
2cos r 2
dr
2
D 1
2 4
(8cos 3
2 2) d
20 2 2
3
9 3
18. （本题满分 11 分）
求微分方程 y
a( y )2
0 (a
0) 满足初始条件 y x 0
0 ， y x 0
1的特
解 .
解 令 y
p, y
dp
，代入原方程，得
dx
dp ap 2 0 ， dp
adx ， dp
adx ， 1 ax C 1 ，
dx
p 2 p 2
p
由 x 0, y 0, y
p
1，得 C 1 1 ，
1 ax 1 ， p
1
，即 y
1 ，
p ax ax 1
1
故 y
1 dx 1
ln(ax 1) C 2 ，
ax 1
a 1
ln( ax 1)
由 x
0, y 0 得 C 2
0 ，所以 y
.
a
19. （本题满分 11 分）
设 f ( x) 和 g(x) 在区间 (a, b) 可导，并设在 (a,b)内 f (x)g ( x) f ( x) 0 ，证明在 (a,b) 内
至多存在一点 ，使得 f ( )
0 .
证 设 (x)
f ( x)e
g ( x ) ，则 ( x) e g( x) ( f (x)
f (x)
g ( x)) .
若在 (a, b) 内存在两个不同的点 1, 2 ，使得 f ( 1 )
f ( 2 ) 0 ，
即 e g (
)
( f ( ) f ( ) g ( )) 0 ，于是有 f ( ) f ( )g ( )
0 ，与题设矛盾，
故在 (a,b) 内至多存在一点 ，使得 f ( ) 0 .
20. （本题满分 11 分）
设有抛物线 ： y
a
bx 2 ，试确定常数 a, b 的值，使得
⑴ 与直线 y
x 1相切；
⑵
与 x 轴所围图形绕
y 轴旋转所得旋转体的体积最大 .
解 设切点为 ( x 0 , y 0 ) ， y 2bx ，
切线斜率 k
2bx 0 1
x 0
1
, y 0 a 1 ，
2b 4b 1 1 1 4(1
a) .⑴
代入切线方程，得 a
2b 1
4b
b
又旋转体体积 V
a
a a y dy a a
y
dy 2 (a 2
a 3
) ，
x 2
dy
b
b
2
V
2 (2 a 3a 2 ) 0 ，解得 a
0或者 a
， V 2 (2 6a) ，
3
V (0)
4 0,V ( 2
)
4
0 ，故 a
2 时，体积 V 最大，
3
3
将 a
2
3 ，所以 a
2 3
代入⑴得 b
4 ， b.
3
3
4
21.（本题满分 11 分）
一质量为 m 的物体以速度 v 0 从原点沿 y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平
方成正比（比例系数 k 0 ），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度 .
解
根据牛顿第二定律，物体上升的高度
y y(t ) 所满足的微分方程为
m d 2 y mg k
dy dt 2
dt
2
，
初始条件为 y(0)
0, y (0)
v 0 .
v
dy
代入方程，得 m
dv
mg kv 2
，
dv
g kv 2 ，
dt
dt
dt
m
记 a 2
g,b 2
k
， dv
a 2
b 2 v 2 ，
dv dt ，
m
dt
a 2
b 2v 2
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1
arctan bv t C ， t 0 时， v v 0 1
arctan bv 0 ，
积分得
a
，故 C
a
ab
ab
1 arctan bv
t 1 a rctan bv 0
，
ab a ab
a 1
arctan
bv 0
令 v 0 ，得上升到最高点的时间为 t 1 arctan
bv
a
tan ab(t 1 ab
a
ab(t 1
t ) ， v t )
a
b
t 1
t
2
2
上升的最大高度为
y
a
tan ab(t 1 t)dt
12 ln cos[ ab(t 1 1
2 ln(1
b v
20 )
.
t)] 01
b
b 2b
a
22. （本题满分 11 分）
设 1
T
T
,
T T T
1,2,3,1 , 2 1,1,2, 1 3
1,3,a,3 , 4 3,5,7, 1 , 0,1,1,b .
⑴当 a, b 满足什么条件时，
可由
1
, 2
,
3, 4 线性表示，且表示式唯一？
⑵当 a,b 满足什么条件时，
可由
1, 2 , 3 , 4 线性表示，且表示式不唯一？并求出
的
表示式 .
解
设
x
1 1
x
2 2
x
3 3
x
4 4 ⑴，其增广矩阵
1
1 1 3 0 1 1 1 3 0 (1,2,3,4
2 1
3 5 1
0 1 1 1 1
, )
2
a 7 1 ~
0 a 4
1 0 3 0
1
1 3 1 b 0 0 0
2 b 2
⑴当 a
4 时， r ( 1, 2 , 3 , 4 ,
) r (
1
, 2
, 3
, 4
)
4，方程组⑴有唯一解，即
可由
1, 2
,
3
,
4 线性表示，且表示式唯一 .
1 1 1
3 0 ⑵当 a
4 时， ( 1 , 2 , 3, 4 ,
) ~
0 1 1 1
1
0 0 0
1
，
0 0 0 b 2
故当 a 4, b 2 时， r ( 1, 2 , 3
, 4
,
) r (
1
, 2
, 3
,
4 ) 3 ，方程组⑴有无穷多解，即
可由
1
,
2 ,
3 ,
4 线性表示，且表示式不唯一，
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1 0
2 0 1 x 1 1 2x
3 ( 1 ,
2, 3
,
4, )~
0 1 1 0 1 x 2
1 x 3
0 0
0 1 0 ，同解方程组为
x 3 ，
x 3
0 0
x 4
通解为 (1, 1,0,0) T k ( 2,1,1,0) T
，
故
的表示式为
(1 2k)
1
( k 1) 2 k 3 ，其中 k 为任意常数 .
23. （本题满分 11 分）
设 A, P 为 n 阶矩阵， P 可逆，且 AP PA ，证明：
⑴若
是 A 的特征向量，则 P
也是 A 的特征向量；
⑵若 A 有 n 个不同的特征值， 是 A 的特征向量，则
也是 P 的特征向量 .
证
⑴证
设 A ，则 A(P ) P(A ) P( ) (P )，故 P 也是 A 的特征向
量
⑵由 A 有 n 个不同的特征值知，
A 的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，
又 , P
是对应同一个特征值的特征向量， 故它们线性相关， 故存在常数 c ，使得 P c ，故 也是 P 的特征向量 .。