(寒假总动员)高二数学寒假作业 专题14 导数在研究函数中的应用(二)(学)

专题14 导数在研究函数中的应用（二）
学一学------基础知识结论
1.可导函数的极值
（1）极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有
)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），则称
)(0x f 为函数的一个极大（小）值，称0x 为极大（小）值点. （2）求可导函数)(x f 极值的步骤:
①求导数)(x f '。

求方程0)(='x f 的根. ②求方程0)(/=x f 的根.③检验)(x f '在方程0)(='x f 的根的
左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个根处取得极小值.
温馨提醒：在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(x f '取值为0的点称为函数)(x f 的驻点可
导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。

例如函数||x y =在点0=x 处有极小值)0(f =0，可是这里的)0(f '根本不存在，所以点0=x 不是)(x f 的驻点.
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。

例如函数3)(x x f =的导数23)(x x f ='，在
点0=x 处有0)0(='f ，即点0=x 是3)(x x f =的驻点，但从)(x f 在()+∞∞-,上为增函数可知，点0
=x 不是)(x f 的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.
2.函数的最大值和最小值
（1）设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 内有导数，求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求)(x f y =在),(b a 内的极值.
②将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值.
温馨提醒：极大（小）值与最大（小）值的区别与联系：极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间),(b a 内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是
最小值.
3. 生活中的优化问题
解决优化问题的基本思路是： 优化问题建立数学模型用导数解决数学问题优化问题答案
温馨提醒：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。

知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.
学一学------方法规律技巧
1．求函数的极值，最值
极值与极值点在概念上的区别，这是解题的一个易错点;在用导数求函数极值时，要养成求导之后列表的好习惯．一个常用的结论：如果函数图象是连续不断的，在开区间),(b a 内只有一个极值，则该极值就是它的最值．
例1已知函数()ln f x x =，
2()()(0,)g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =- （1）若1a =，求函数()h x 的极值；（2）若函数()y h x =在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）极大值(1)0h =，无极小值;（2）
[)1,+∞;（3）不存在符合题意的两点. 【解析】（1）()y h x =的定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x h x x x x +-'=
-+=-， 故(0,1)x ∈()0,h x '>()h x 单调递增；(1,)x ∈+∞()0,h x '<()h x 单调递减，
2.利用导数研究函数
例2、已知
2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-. （1）求函数()f x 在[,1](0)t t t +>上的最小值；
（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；
所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=.。