2020届江苏沛县高中高二数学暑假作业(圆锥曲线部分).

2020届江苏沛县高中高二数学暑假作业（圆锥曲线部分）
（内部资料）
一、填空题
1.已知抛物线)1)0(22
m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线12
2
=-
a
y x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a= 14
2.已知点P 是抛物线2
4y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），
则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ．
1
3.与直线2
2
20,1212540x y x y x y +-=+--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 。

22(2)(2)2x y -+-=
4.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为 .
22
13
-=y x
5.设双曲线221x y -=的两条渐近线与直线x =围成的三角形区域（包含边界）为D ，点
(,)P x y 为D 内的一个动点，则目标函数2z x y =-的最小值为 ▲ ．
－
2
2 6. 过点)1,4(-A 和双曲线116
92
2=-y x 右焦点的直线方程为 .
-=x y 5.
7．已知椭圆
112
162
2=+y x 的左焦点是1F ，右焦点是2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么 =21:PF PF .
5：3
8. ．已知圆()122
2
=+-y x 经过椭圆 22
221x y a b
+= ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，
则此椭圆的离心率e = .
13
9. 已知21F F 、为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆 于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB = . 8
10.已知点P 在抛物线2
4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离
之和取得最小值时，点P 的坐标为__
114⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
二、解答题（部分题目有难度，可取前两问练习） 1.椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e = 2
2
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－
2
2
, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λu u r u u r ．
（1）求椭圆方程；
（2）若OA ＋OB ＝ 4OP λu u r u u r u u r
，求m 的取值范围．
（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2
，由条件知a-c ＝22，c a ＝22
，
∴a ＝1，b ＝c ＝
2
2
， 故C 的方程为：y 2
＋x 2
12＝1 5′
（2）由AP → ＝λPB →
，OA ＋OB ＝ 4OP λu u r u u r u u r
∴λ＋1＝4，λ＝3 或O 点与P 点重合OP → =0→
7′ 当O 点与P 点重合OP → =0→
时，m=0
当λ＝3时，直线l 与y 轴相交，则斜率存在。

设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m 2x 2
＋y 2
＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2
－1）＝0
Δ＝（2km ）2
－4（k 2
＋2）（m 2
－1）＝4（k 2
－2m 2
＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2
－1k 2＋2
11′
∵AP ＝3PB →
∴－x 1＝3x 2 ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 2
2
消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2
－1
k 2＋2＝0
整理得4k 2m 2
＋2m 2
－k 2
－2＝0 13′ m 2
＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m
2
4m 2－1
，
因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2
＝2－2m 2
4m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 1
2
<m <1
容易验证k 2>2m 2
－2成立，所以（*）成立
即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1
2，1）∪｛0｝ 16′
2.在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点
A ()
的入射光线l 1被直线l
：
3
y x =
反射，反射光线l 2交y 轴于B 点．圆C 过点A 且与l 1、l 2相切． （1）求l 2所在的直线的方程和圆C 的方程；
（2）设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．
（Ⅰ）直线1:2,l y =
设1l l D D 交于点，则（）
． l Q 的倾斜角为30o
，260l ∴o
的倾斜角为，……………………2分
2k ∴=反射光线2l 所在的直线方程为
2y x -=-．
40y --=．……………………4分 已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)
Q 圆心C 在过点D 且与l
垂直的直线上，8b ∴=+ ①…………6分
又圆心C 在过点A 且与1l
垂直的直线上，a ∴=
②，由①②得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
圆C 的半径r=3．
故所求圆C
的方程为2
2
((1)9x y -++=． …………………10分
（Ⅱ）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，
则
00
00
44,232y x y x -+==且…………………12分
得(2)B '-．固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小， 故PB PQ +的最小值为为3B C '-． ……………………14分
121y y x ⎧+=⎪
+⎪⎨
⎪
=⎪⎩
1),22P
最小值33B C '-=． ………16分 3.已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．
（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的
1
4
，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；
（III ）过M 点作直线2l 与圆相切于点N,设（II ）中椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,求三角形
21F NF ∆面积。

解：（I ）PQ Q 为圆周的1,.4
POQ π
∴∠=
O ∴点到直线1l 设1l 的方程为
21(2),.7y k x k =+=∴=1l ∴的方程为2).y x =+…5分 （II ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2
2.a c
=Q 椭圆与圆O 恰有两个
不同的公共点，则1
a =或 1.
b = ………………………………7分
当1a =时，22213,,24
c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22
413y x +=；当1b =时，
222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+=
∴所求椭圆方程为2
2 1.2
x y += ………………………………1１分
（III ）设切点为N ，则由题意得，在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=o ，
N 点的坐标为)2
3,21(-
，……………………1２分 若椭圆为
2
2 1.2
x
y +=其焦点F 1,F 2 分别为点A,B 故2
3
2322121=⨯⨯=∆F NF S ，
若椭圆为22
413y x +=，其焦点为)0,21(),0,21(21F F -,
此时4
3
2312121=⨯⨯=∆F NF S ………………………………1６分
4. 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 且与AF 垂直的光线经
椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF 平行.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设入射光线与右准线的交点为B ，过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线3x 一y+3=0相切，求椭圆的方程.
解⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为︒45， ……2分 即︒=∠45FAO ，所以b c =，所以椭圆的离心率为
2
． …………………6分 ⑵由⑴知,2==b c a c ，可得()()0,,2,A c B c c -，又AF AB ⊥，所以过,,A B F 三点的圆的圆心坐标为,22c c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，半径1102r FB c ==， ……………………………………8分
因为过,,A B F 三点的圆恰好与直线330x y -+=相切，………………………10分 所以圆心到直线330x y -+=的距离等于半径r ，即31
3
1022
10
c c c ++=，得1c =， 14分
所以1,2b a ==，所以椭圆的方程为2
212
x y +=． ……………………16分
5. 已知圆O 的方程为），，过点直线03(,112
2A l y x =+且与圆O 相切。

（1）求直线1l 的方程；
（2）设圆O 与x 轴交与P,Q 两点，M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直
A
B O M P Q
y x l
l 1
l 2 N
的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点'P ，直线QM 交直线2l 于点'Q 。

求证：以'
'Q P 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标。

（1）∵直线1l 过点(3,0)A ，且与圆C ：2
2
1x y +=相切，
设直线1l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=， …………………………2分 则圆心(0,0)O 到直线1l
的距离为1d ==，解得4
2±
=k ， ∴直线1l
的方程为3)4y x =±
-
，即3)4
y x =±-． …… …………………4分 （2）对于圆方程122=+y x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -．又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1
++=
x s t
y 解方程组3,
(1)1x t
y x s =⎧⎪
⎨=+⎪+⎩
,得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q ……………… 10分 ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)1
2)(14()3)(3(=--+-+--s t
y s t y x x ， 又122=+t s ，∴整理得2262
(61)0s x y x y t
-+-++
=，……………………… 12分 若圆C '经过定点，只需令0y =，从而有2610x x -+=
，解得3x =±， ∴圆C '
总经过定点坐标为(3±． …………………………………………… 14分 6. 已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(2
2
=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是
PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N .
（１）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （２）当32=PQ 时，求直线l 的方程； （３）探索⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若
无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
（１）∵l 与m 垂直，且3
1
-
=m k ，∴3l k =，
第6题
故直线l 方程为3(1)y x =+，即330x y -+=………2分
∵圆心坐标（0，3）满足直线l 方程，
∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ………………… …4分
（２）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意…………………6分
②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ， ∵32=PQ ，∴134=-=CM ，………………………………………8分
则由11
|3|2=++-=
k k CM ，得3
4
=
k , ∴直线l ：0434=+-y x . 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x ………………………………………10分 （３）∵CM MN ⊥,∴ ()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r
……12分 ① 当l 与x 轴垂直时，易得5(1,)3N --，则5
(0,)3
AN =-u u u r ,又(1,3)AC =u u u r ,
∴5AM AN AC AN ⋅=⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u r
………………………………………………………14分
当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，
则由⎩⎨⎧=+++=0
63)1(y x x k y ，得N （36,13k k --+k k 315+-）,则55(,)1313k
AN k k --=++u u u r
∴AM AN AC AN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r =51551313k k k
--+=-++
综上所述，AN AM ⋅与直线l 的斜率无关，且5-=⋅AN AM .…………………16分 （本题还有其它解法，请同学们思考）
7. 设12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点
(1)设椭圆C
上的点到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标
(2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程
(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，
并证明你的结论。

解：（1
）由于点
22
21b =
2a =4,
椭圆C 的方程为 22
1
43
x y +=
焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0） （2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y +
把K 的坐标代入椭圆22
1
43
x y +=中得22
(21)(2)1
43
x y ++=
线段1KF 的中点B 的轨迹方程为2
21()132
4
y x ++=
（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称
设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y -- ----11分
,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得2222
00222211x y x y a b a b
+=+=，
PM PN y y y y k K x x x x -+==
-+
PM
PN k K ⋅=22
00022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=2
2b a
-
故：PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关，
8. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 的圆心在第二象限，
半径为且与直线y x
=相切于原点O .椭圆22
219
x y a +
=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程；
(2)圆C 上是否存在点Q ，使O Q 、关于直线(CF C 为圆心，F 为椭圆右焦点)对称，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)由题意知：圆心(2,2)
，半径C ：22
(2)(2)8x y ++-=
(2)由条件可知5a =，椭圆
22
1259
x y +=，(4,0)F ∴ (解法1)若存在，直线CF 的方程的方程为1
(4)3
y x =-
-即340x y +-= 设Q(x , y),则334022
y
x
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，
解得45
12
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以存在点Q ，Q 的坐标为412(,)55.
(解法2)由条件知OF=QF ，设Q(x , y)，则22
22
(2)(2)8
(4)4
x y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得
45
12
5x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，所以存在点Q ，Q 的坐标为412(,)55. 9. 过直角坐标平面xOy 中的抛物线()022
>=p px y 的焦点F 作一条倾斜角为
4
π
的直线与抛物线相交于A ，B 两点。

（1）用p 表示A ，B 之间的距离；
（2）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值，
并求出这个值。

解：（1）焦点()0,1F ，过抛物线的焦点且倾斜角为
4
π
的直线方程是2p x y -=
由⎪⎩
⎪⎨⎧-
==222p x y px y 0432
2=+-⇒p px x 4,32p x x p x x B A B A ==+⇒p
p x x AB B A 4=++=⇒
（ 或 p p AB 44
sin 22
==
π
)
（2）()()()()
2
2222
2
2
2
2
2
2
2222cos B
B A A B A B A B B A A
y x y x y y x x y x y x BO
AO AB
BO AO AOB ++----+++=-+=
∠
()()
()()[]
41413424222
2
2
22
2-=++++
+-=
+++=
p x x p x x x x p x x p x x y x
y x
y y x x B A B A B A B A B A B
B
A
A
B
A B A ∴AOB ∠的大小是与p 无关的定值，AOB ∠41
413arccos -=π。

10. 如图，椭圆22221y x a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 、N 上的两个动点， 且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r
.
（1）设C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C （2）设椭圆的离心率为12，MN
的最小值为.
解：（1）设椭圆2
2
221y
x a b
+=的焦距为2c (c >0)，
则其右准线方程为x ＝2
a c
，且F 1(－c , 0), F 2(c , 0). 设M ()()
22
12,,a a y N y c c
，，
则1F M u u u u r ＝()
()
22
122,,a a c y F N c y c c
+=-u u u u r ，， (
)
()
22
12,,a a OM y ON y c c
==u u u u r u u u r ，.
因为120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ，所以()()22120a a c c y y c c +-+=，即()2
2
2
12
a
y y c c
+=.
于是()
2
22120a OM ON y y c c
⋅=+=>u u u u r u u u r ，故∠MON 为锐角. 所以原点O 在圆C 外.
（2）因为椭圆的离心率为12
，所以a =2c ，
于是M ()()124,4,c y N c y ，，且()2
2
2
2
1215.a
y y c c c
=-=-
MN 2＝(y 1－y 2)2＝y 12+y 22－2y 1y 22
2
21212122460y y y y y y c =++=≥.
当且仅当 y 1＝－y 2
或y 2＝－y 1
时取“=”号， 所以(MN )min = 215c ＝215，于是c =1, 从而a ＝2，b ＝3，
故所求的椭圆方程是22143
y x +=. … 11. 已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点
C 和D
，且||CD =.
(1)求直线CD 的方程；
⑵求圆P 的方程；
⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.
解：⑴直线AB 的斜率1k = ，AB 中点坐标为()1,2 ，
∴直线CD 方程为()21y x -=--即x+y-3=0 （4分）
⑵设圆心(),a b P ，则由P 在CD 上得：
30a b +-= ①
又直径||CD =
,||PA ∴=22
(1)40a b ∴++=，又24PA PB ⋅=u u u r u u u r ∴ 2224270a b a b +---= ② （7分）
由①②解得{36a b =-=或{52a b ==-
∴圆心()3,6P - 或()5,2P -
∴圆P 的方程为()()223640x y ++-= 或()()225240x y -++= （9分） ⑶
AB == ，
∴ 当△QAB 面积为8时 ，点Q 到直线AB
的距离为。

（12分）
又圆心P 到直线AB
的距离为，圆P
的半径r =且
>
∴圆上共有两个点Q 使 △QAB 的面积为8 . （14分）
12. 设椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且8AP=PQ 5
u u u r u u u r . ⑴求椭圆C 的离心率；
⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l
：30x ++=相切，求椭圆C 的方程.
⑴解：设Q （x 0，0），由F （-c ，0）
A （0，b ）知),(),,(0b x b c -==
c b x b cx 2
02
0,0,==-∴⊥Θ ----------------------------- --- 3分 设y x P 58),,(11=由，得21185,1313b x y b c == ---------- ---5分
因为点P 在椭圆上，所以1)135()138(22
222
=+b
b a c
b 整理得2b 2=3a
c ，即2(a 2－c 2)=3ac ，22320e e +-=,故椭圆的离心率e=
2
1-----8分 ⑵由⑴知22323,2b b ac a c ==得， 11,22c c a a ==由得于是F （－21a ，0） Q )0,2
3(a ， △AQF 的外接圆圆心为（21a ，0），半径r=21|FQ|=a 所以a a =+2|321|， 解得a=2，∴c=1，b=3，所求椭圆方程为13
42
2=+y x - ----------15。