2019北京高三各区二模数学(理)试题分类汇编六、数列1(五)

2019北京高三各区二模数学（理）试题分类汇
编六、数列1（五）
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
1.〔2018年朝阳二模理14〕在如下图的数表中，第i 行第j 列的数记为
,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，
1,1,1,(,)
N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，那么此数表中的第5行
第
3列的数是；记第3行的数3，5，8，13， 22，⋅⋅⋅为数列{}n b ，那么数列{}n b 的通项公式为.
答案：16，
121n n a n -=++
2.〔2018年丰台二模理18〕数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，
1a ，26a +，3a 成等差数列、
〔Ⅰ〕求p 的值及数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕设数列{b n }满足2
n n n b a n
=
-，证明：
49
n b ≤
、 解：〔Ⅰ〕因为1
4a =，
131n n n a a p +=+⋅+， 所以
1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+、
因为1a ，26a +，3
a 成等差数列，
所以2(26a +)=1a +3a ，即610124126p p ++=++， 所以2p =、 依题意，
1231n n n a a +=+⋅+，
所以当n ≥2时，
121231a a -=⋅+， 232231a a -=⋅+，
……
212231n n n a a ----=⋅+，
第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 …
11231n n n a a ---=⋅+、
相加得12212(3333)1n n n a a n ---=++
+++-，
所以
113(13)
2(1)
13
n n a a n ---=+--， 所以
3n n a n =+、
当n=1时，11314a =+=成立，
所以
3n n a n =+、………8分
〔Ⅱ〕证明：因为
3n n a n =+，
所以
22
(3)3n n n
n n b n n ==
+-、
因为
2221+11
(1)22+1=
333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N 、
假设22+210n n -+<
，那么
n >
，即2n ≥时1n n b b +<、
又因为
113b =，249
b =
， 所以
49
n b ≤
、………13分
3.〔2018年昌平二模理20〕实数列 3
210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义
123,0,1,2,3,
.n n n a a n +=-=〔Ⅰ〕假设0a 为常数，求123,,a a a 的值；〔Ⅱ〕求依赖于0
a 和n 的n
a 表达式；〔Ⅲ〕求0
a 的值，使得对任何正整数n 总有1
n n a a +>成立.
解：〔Ⅰ〕0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -=…2分
〔Ⅱ〕由
123,n n n a a +=-得111
2(3)(3)(3)n n n n n
n a a +++-=---…3分
令
(3)n n n a b =-，所以11
2(3)n n n n b b ++-=
-
所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+
+-
2311234
2222(3)(3)(3)(3)n n
b -=+++++
----
211122
2()[()()()]
333
3
n b -=+--+-+
+-
1
122()(1())13
3()231()3
n b ----=+---1122(1()),153n b -=+--…6分 所以1122(1())(3)3153
n n
n
a
a -=+----…7分 所以
1
112(3)
[(3)32]15n n n n a a --=⋅-+-+⋅11
02(13)(3)[(3)32]15
n n n a --=--+-+⋅ 101[2(1)3](1)35
n n n n n
a -=+-⋅+-⋅⋅……8分 〔Ⅲ〕
1111101[2(1)3](1)35n n n n n n n a a a +++++-=+-⋅+-⋅⋅10
1[2(1)3](1)35
n n n n n
a --+-⋅--⋅⋅ 0112(1)43()
55n n n a =⋅+-⋅⋅- 所以101
121()()(1)4()3535
n n
n n n a a a +-=+-⋅⋅-……10分 如果01
5
a ->，利用n 无限增大时，2
()
3
n
的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有
10n n a a +-<；如果0105a -<，对于非常大的偶数n ，10n n
a a +-<，不满足题目要求.当
015a =时，112,5n n n a a +-=⋅于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015
a =
即为所求.……13分
4.〔2018年海淀二模理15〕公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，
且1413,,a a a 成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{}n
a 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列
1{
}
n
S 的前n 项和公式.
解：〔Ⅰ〕设等差数列
{}n a 的公差为0d ¹.
因为346S a =+，
所以
1132336
2
d a a d 创+=++.①………………………3分 因为1413,,a a a 成等比数列，
所以
2111(12)(3)a a d a d +=+.②………………5分
由①，②可得：13,2a d ==.………………6分
所以21n
a n =+.……………7分
〔Ⅱ〕由21n
a n =+可知：
2
(321)22
n n n S n n
++?==+.…9分 所以
11111()(2)22n S n n n n ==-++.…………………11分 所以
123
11111
1n n
S S S S S -+++++
11111111111()2132435
112
n n n n =-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)
n n n n n n +=+--=
++++.
所以数列
1{}n S 的前n 项和为2354(1)(2)
n n n n +++.……13分。