2020届高三理科数学总复习突破性训练-----《导数及其应用》含解析

2020届高三理科数学总复习突破性训练-----《导数及其应用》含解析
2020 届高三理科数学总复习打破性训练-----《导数及其应用》
一、选择题
1.若f'(x0) 3 ，则 lim f (x0 h) f ( x0 3h) （）
h 0 h
A． 3 B． 6 C． 9 D．12
【答案】 D
【分析】 lim f (x0 h) f (x0 3h) 4lim f ( x0 h) f ( x0 3h) 4 f ' ( x0 ) 12
h 0 h h 0 4h
2．曲线f ( x) = x3 + x- 2 在 p0处的切线平行于直线y = 4x - 1，则 p0点的坐标为（）
A ．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)和( 1, 4) D．(2,8)和( 1, 4)
【答案】 C
【分析】设切点为 P0 ( a, b) ， f ' ( x) 3x2 1,k f ' (a) 3a2 1 4, a 1 ，
把 a 1 ，代入到 f ( x) = x3+ x - 2 得b 4 ；
把 a 1，代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b 0 ，
所以 P0 (1,0) 和( 1, 4)
3．f ( x)与g(x)是定义在 R 上的两个可导函数，若 f ( x) , g (x) 知足 f ' ( x) g' ( x) , 则 f (x) 与 g(x) 知足（）
A． f ( x) g ( x) B． f ( x) g(x) 为常数函数C．f ( x)g ( x) 0D．f (x)g (x) 为常数函数
【答案】 B
【分析】 f ( x) , g (x) 的常数项能够随意
4．函数y log 3 cos2 x 的导函数是（）
A ． 2 tan x log 3 e
B ． 2cot x log 3 e
C ．
log 3
e
2log 3 cos x D ．
【答案】 A
cos 2 x
5.已知曲线 y ＝ ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为 ()
A ．e
B ．-e C.
1 D ．
1
e
e
【答案】 C
的定义域为 (0，＋
)，设切点为 (x 0，y 0)，则 k=f ′(x 0)＝ 1
，∴切 x 0
线方程为 y － y 0＝ 1
(x －x 0)，又切线过点 (0,0)，代入切线方程得 y 0＝1，则 x 0＝e ，
x 0
∴ k ＝f ′(x 0)＝ 1 ＝ 1
.
x 0
e
x 2 3ln x 的一条切线的斜率为
1
，则切点的横坐标为（
）
6.已知曲线 y
4
2
A. 3
B. 2
D.
1
2
【答案】 A
【分析】设切点的横坐标为
x 0 , y 0
曲线 y
x 2 1
4
3ln x 的一条切线斜率为
2
y
'
x
3 1 解得 x 0 3 或 x 0 2 (舍去 )，即切点的横坐标为 3.应选Ａ．
2
x 0
2
7．已知函数 f (x) x 3
ax 2
x 1 在 ( ,
) 上是单一函数 ,则实数 a 的取值范
围是（
）
A ． ( , 3] [ 3, )
B ． [ 3, 3]
C ． (
,
3) ( 3,
)
D ． (
3, 3)
【答案】 B
2
4a2 12 0 3 a 3
8．关于R 上可导的随意函数 f (x) ，若知足 ( x 1) f ' ( x) 0 ，则必有（）
A ． f (0) f (2) 2 f (1) B. f (0) f (2) 2 f (1)
C. f (0) f (2) 2 f (1)
D. f (0) f (2) 2 f (1)
【答案】 C
【分析】当 x 1
时，
'
0 ，函数 f ( x) 在 (1, ) 上是增函数；当
x 1
f (x) 时，
f ' (x) 0， f (x) 在 ( ,1) 上是减函数，故 f ( x) 当x 1时获得最小值，即有
f (0) f (1), f (2) f (1), 得 f (0) f (2) 2 f (1)
9.已知曲线y ae x x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A ． a e，b 1 B．a= e， b=1
C．a e1，b 1 D．a e1， b 1
【答案】 D
【分析】∵ y ae x ln x 1,
∴切线的斜率k y |x 1 ae 1 2 ， a e 1，
将 (1,1) 代入 y 2x b ，得 2 b 1,b 1 .
应选 D．
10.设函数f ( x) x3 ( a 1)x2 ax .若 f ( x) 为奇函数，则曲线 y f ( x) 在点 (0, 0)
处的切线方程为
A ． y 2x B．y
x
C． y 2x D．y
x
【答案】 D
【分析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.
应选 D.
11.若 x 2 是函数f ( x)(x2ax 1)e x 1的极值点，则 f (x) 的极小值为
A ． 1 B．2e
C．5e3 D．1 【答案】 A
【分析】由题可得 f ( x) (2 x a)e x 1 ( x2 ax 1)e x 1 [ x 3
2( a 2) x a1]e x 1，因为 f ( 2) 0 ，所以 a 1 ，f ( x) (x2 x 1)e x 1，故 f ( x) (x2 x 2)e x 1，令 f ( x) 0 ，解得 x 2 或 x 1 ，
所以 f (x) 在 ( , 2),(1, ) 上单一递加，在 ( 2,1) 上单一递减，
所以 f (x) 的极小值为 f (1) (1 1 1)e1 1 1.
12.函数f x e x e x
的图像大概为x2
【答案】 B
【分析】x 0, f
e x e x
f x 为奇函数，舍去A；x x2 f x ,
f 1 e e 1 0，∴舍去 D；
f x e x e x x2 e x e x 2x x 2 e x x 2 e x
x4 x3
, x 2时，
f x 0 ，f ( x)单一递加，舍去 C.
所以选 B.
13.已知函数 f ( x) x 2 2x a(e x
1
e x 1 ) 有独一零点，则 a=
A ． 1
B ．
1
C ．
1
2 3
D ．1
2
【答案】 C
【分析】函数 f ( x) 的零点知足 x 2
2x
a e x 1
e x 1 ，
e x 11
2 x 1
设 g x x 1
e x 1
，则 g x e x 1
e x 1
e e x
1 ，
e
e x 1
1
当 g x
0 时， x 1 ；当 x 1时， g x
0 ，函数 g x 单一递减；
当 x 1 时， g x
0 ，函数 g x 单一递加，
当 x 1 时，函数 g x 获得最小值，为 g 1 2 .
设 h x
x 2 2x ，当 x 1 时，函数 h x 获得最小值，为
1，
若 a 0 ，函数 h x 与函数 ag x 没有交点；
若 a 0 ，当 ag 1 h 1 时，函数 h x 和 ag x 有一个交点，
即 a 2
1，解得 a
1
.应选 C.
2
14.若 f ( x) 3 f ( x) x 3 2x 1对 x R 恒建立，则曲线 y
f x 在点 1, f 1
处
的切线方程为
A ． 5x 2y 5 0
B ． 10 x 4y 5 0
C ． 5x 4 y 0
D ． 20x 4 y
15 0
【答案】 B
【分析】
f x 3 f
x
x 3 2x 1 ① ，
f x 3 f x
x 3 2x 1②，
联立 ①② ，解得 f x
1 x 3 x
1
，则 f x 3 x 2 1 ，
2 4
2
f 1 1 1 1 5
， f 1 3 1 5 ，
2 4 4 2 2
5 5
，即 10x 4 y 5 0.
切线方程为： y x 1
4 2
15.函数f ( x) x2 ln x 的最小值为
A ．1
B．
1 e e
C．1
D．
1 2e 2e
【答案】 C
【分析】由题得 x (0, ) ， f ( x) 2x ln x x x(2ln x 1) ，
1
令 2ln x 1 0 ，解得x e2，
1 1
则当 x (0,e 2 ) 时，f (x)为减函数，当 x (e 2 , ) 时，f ( x)为增函数，
1 1
1 .
所以 x e 2处的函数值为最小值，且 f (e 2 )
2e
应选 C.
16.已知定义在上的函数知足，且，则
的解集是
A ．B．
C．D．
【答案】 A
【分析】令=
在上单一递减，且
故等价为，即，
故,即 x<，
则所求的解集为.
应选 A.
17.已知，，，则的大小关系为
A ．B．
C．D．
【答案】 D
【分析】依题意，得 a ln 3 3 ln3 ，b e 1 lne ，c 3ln2 ln8 .
3 e 8 8
令，所以.
所以函数在上单一递加，在上单一递减，
所以，且，即，
所以.
应选 D.
18.若 x 1 是函数 f ( x) 1 x3 (a 1)x2 a2 a 3 x 的极值点，则a的值为
3
A．-2 B．3
C．-2 或 3 D．-3 或 2
【答案】 B
【分析】 f x 1 x3 a 1 x2 a2 a 3 x f ( x) x2 2( a 1) x a2 a 3 ，3
由题意可知 f (1) 0，即1 2( a 1) a2 a 3 0 a 3 或a 2 ，
当 a 3 时，f ( x) x2 2( a 1)x a2 a 3 x2 8x 9 ( x 9)( x 1) ，
当 x 1或 x 9 时，f ( x) 0 ，函数单一递加；当9 x 1 时，f ( x) 0 ，函数单一递减，
明显 x 1 是函数 f x 的极值点；
当 a 2 时，f (x) x2 2(a 1) x a2 a 3 x2 2x 1 ( x 1)2 0 ，
所以函数 f (x) 是R上的单一递加函数，没有极值，不切合题意，舍去.
故 a 3 .应选 B．
二、填空题
1．函数
3
4 x 5的图像在x 1 处的切线在 x 轴上的截距为
f ( x) x
________________。

【答案】 3
7
3 【分析】 f ' (x) 3x2 4, f ' (1) 7, f (1) 10, y 10 7( x 1), y 0时, x
7 2．已知函数 f ( x) (2 x+1)e x , f ( x) 为 f (x) 的导函数，则 f (0) 的值为__________. 【答案】 3
【分析】 Q f (x) (2 x+3)e x , f (0) 3.
3.曲线 y＝log2x 在点 (1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
【答案】．1
log 2 e 2
【分析】∵ y'1
，∴ k 1 ，
xln 2 ln 2
1
∴切线方程为 y＝(x－1)，
∴三角形面积为 S ＝1
× ×
1
＝ 1 ＝ 1 2
△
2 1
2ln 2 2
log e.
ln 2
4．若直线y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln( x 1) 的切线，则b ．
【答案】 1 ln2
【分析】关于函数 y ln x 2 求导得 y 1
，对 y ln( x 1) 求导得 y
x
1 ，设x 1
直线 y kx b 与函数 y ln x 2 相切与点 P1 ( x1 , y1 ) ，与函数 y ln( x 1) 相切于
P ( x , y ) ，则 y ln x 2 ，y
2 ln( x 1) ，则点 P (x , y ) 在切线上得，
2 2 2 1 1 2 1 1 1
y (ln x1
1
( x x1 ) ，由 P2 (x2 ,y2 ) 在切线上得， y (ln x2 1)
1
x2 ) ，2) ( x
x1 x2 1
1 1
x1 x2 1 1 1
这两条直线表示同一条直线，所以
ln( x2 1) ln x1
x2 ，解得：x1 2 ，所x2 1
以k 1
2，所以 b ln x1 2 1 1 ln 2 x1
5.设f ( x) x31 x2 2x 5 ，当 x [ 1,2] 时， f ( x) m 恒建立，则实数 m 的取值
2
范围为。

【答案】 (7, )
【分析】 x [ 1,2] 时， f (x)max 7
6．对正整数n，设曲线y x n (1 x) 在x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为a n，
则数列a n 的前 n 项和的公式是
n 1
【答案】2n 1 2
【分析】y/ x 2 2n 1 n 2 ,切线方程为 : y 2n 2n 1 n 2 ( x 2) ，
令 x 0 ，求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 n 1 2n，所以a
n 2n，则数列n 1
a n 的前 n 项和S n 2 1 2n 2
n 1 2 1 2
n 1
7.曲线y 3( x2 x)e x在点 (0，0) 处的切线方程为____________．
【答案】 3x y 0
【分析】 y 3(2 x 1)e x 3( x2 x)e x 3( x2 3x 1)e x ,
所以切线的斜率 k y |x 0 3，
则曲线 y 3( x2 x)e x在点 (0,0) 处的切线方程为 y 3x ，即 3x y 0 ．
8.曲线y 2ln( x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】，在点（）处切线的斜率为，
则所求的切线方程为.
9.曲线 y ax 1 e x在点0,1处的切线的斜率为2，则a ________．
【答案】
【分析】 y ae x ax 1 e x，则y |x 0 a 1 2 ，所以
10.曲线f ( x) 1 x2 x ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则
2
a________.
【答案】1
2
1 x2
【分析】因为 f ( x) xln x ，所以 f (x) x ln x 1，
2
所以，曲线 f (x) 1 x2 x ln x 在点(1，f (1))处的切线斜率为 k f (1) 1 1 2 ，2
又该切线与直线 ax y 1 0 垂直，所以a 1 . 2
1
故答案为.
2
三、解答题
1.已知函数 f ( x) 1 x41ax2，a R.
4 2
（1）当 a 1 时，求曲线 f (x)在点(2, f (2))处的切线方程；
（2）设函数g( x)( x22x 2 a)e x ef ( x) ，此中e
2.71828...是自然对数
的底数，议论 g( x) 的单一性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【答案】（1）6x y 10 0；
（2）当 a 0 时， g( x) 在( , ) 上单一递加，无极值；当a 0 时， g( x) 在
( , a) 和 ( a, ) 单一递加，在 ( a , a) 单一递减，极大值为
g( a ) (2 a 2)e a e
a2，极小值为 g ( a ) ( 2 a 2)e a e a2.
4 4
【分析】（ 1）由题意 f (x) x3 ax ，所以当a 1 时， f (2) 2，f (2) 6 ，所以曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程是y 2 6( x 2) ，
即 6x y 10 0 .
（2）因为g( x) ( x2 2 x 2 a)e x ef ( x) ，
所以 g ( x) (2 x 2)e x (x2 2x 2 a)e x ef '( x)
令 h ( )e x e
e
x
e ，x x ，则 h ( x)
令 h ( x) 0 得 x 1 ，
当 x ( ,1) 时， h ( x) 0 ， h( x) 单一递减，
当 x (1, ) 时， h ( x) 0 ， h( x) 单一递加，
所以当 x 1 时，h(x)min h(1) 0 ，
也就说，关于x R恒有h( x) 0 .
当 a 0 时，g (x) (x2 a)h( x) 0 ，
g( x) 在( , ) 上单一递加，无极值；
当 a 0 时，令g ( x) 0 ，可得 x a ．
当 x a 或 x a 时， g ( x) (x2 a) h( x) 0 ，g( x)单一递加，
当 a x a 时， g (x) 0 ，g(x)单一递减，
所以，当 x a 时，g( x)获得极大值 g( a ) (2 a 2)e a e a2；
e a2. 4
当 x a 时，g (x)获得极小值 g( a ) ( 2 a 2)e a
4
综上所述：
当 a 0 时， g(x) 在( , ) 上单一递加，无极值；
当 a 0 时， g( x) 在( , a ) 和 ( a, ) 上单一递加，在 ( a, a ) 上单一递减，
函数既有极大值，又有极小值，
极大值为 g( a ) (2 a 2)e 极小值为 g( a ) ( 2 a 2)e
a e a2，
4
a e a2.
4
2.设函数 f(x)=ax2-a-lnx，此中 a ∈R. （ I）议论 f(x)的单一性；
（ II ）确立 a 的全部可能取值，使得 f (x)1
e1 x在区间（1，+∞）内恒建立x
(e=2.718 为自然对数的底数 )。

2
【分析】（I ）由题意， f ' x 2ax
1
2ax
1
, x 0
x
x
① 当 a 0 时， 2 ax 2 1 0 ，
f ' x
0 ， f
x 在 0,
上单一递减 .
2a
x
1 x
1
1 ② 当 a 0 时，
2a 2a ，由 f ' ( x)
0 ，得 x
f ' x
x
2a
当
x 1
时， f ' x
0 ；
0,
2a
当
x 1 时， f ' x
0 .
,
2a
故
f x
在 0,
1 上单一递减，在
1 ,
2a
2a
上单一递加 .
（ II ）原不等式等价于 f x
1 e 1 x
0 在 x
1,
上恒建立 .
x
一方面，令 g x
f x
1 e 1 x
ax 2 ln x
1 e 1 x a ，
x
x
只要 g x 在 x
1,
上恒大于 0即可 .
又 ∵ g
1
0 ，故 g ' x 在 x 1 处必大于等于 0.
令 F x
g ' x 2ax 1 1 1 x
g ' 1 0 ，可得 a 1 .
x x 2
e ， 2
另一方面，
1
1 2
1 x
1 2 1 x
x 3
x 2 1 x
当 a
时， F ' x 2a x 2
x 3 e
1 x 2
x 3
e
x 3
e
2
∵ x 1,
故 x 3 x 2
0 ，又 e 1 x
0，故
F'
x 在 a 1 时恒大于 0.
2
∴ 当 a
1
时，F x 在
x
1,
单一递加 .
2
∴ F x F 1 2a
1 0，故 g x 也在 x
1,
单一递加 .
∴ g x
g 1 0 ，即 g x 在 x
1,
上恒大于 0.
综上， a 1
.
2
3.已知函数 f (x) 知足知足 f (x)
f (1)e x 1
f (0) x 1 x 2 ;
2
(1)求f ( x) 的分析式及单一区间 ;
(2)若f (x) 1 x2 ax b ,求 (a 1)b 的最大值.
2
1 x2
【分析】 (1) f ( x) f (1)e x
1 f (0) x f ( x) f (1)e x 1 f (0) x
2
令 x 1 得: f (0) 1
f ( x) f (1)e x 1 x 1 x2 f (0) f (1)e 1 1 f (1) e
2
得: f ( x) e x x 1 x2 g( x) f ( x) e x 1 x
2
g (x) e x 1 0 y g ( x) 在x R上单一递加
f ( x) 0 f (0) x 0
f ( x) 0 f (0) x 0
得: f ( x)的分析式为 f (x) e x x 1 x2
2
且单一递加区间为 (0, ) ,单一递减区间为 ( ,0) (2) f ( x) 1 x2 ax b h( x) e x ( a 1)x b 0
2
得 h ( x) e x (a 1)
①当 a 10 时,
h (x) 0 y h(x) 在x R上单一递加
x 时, h(x) 与 h( x) 0 矛盾
②当 a 1 0时,
h (x) 0 x ln( a 1), h (x) 0 x ln( a 1)
得:当x ln( a 1) 时, h(x)min (a 1) (a 1)ln( a 1) b 0 (a 1)b (a 1)2 (a 1)2 ln( a 1)(a 1 0)
令 F ( x) x2 x2 ln x(x 0) ;则 F (x) x(1 2ln x)
F ( x) 0 0 x e, F (x) 0 x e
当 x e
时, F (x)max
e
2
当 ae 1,b e
时, (a 1)b 的最大值为
e
.
2 2
4.已知函数.
（1）若函数在上单一递减，务实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意知，
在上恒建立，
所以在上恒建立 .
令，则，
所以在上单一递加，所以，
所以.
（2）当时，.
则，
令，则，
所以在上单一递减 .
因为，，所以存在知足，即.
当时，，；当时，，.
所以在上单一递加，在上单一递减 .
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
5.已知函数 f ( x) sin x ln(1 x) ， f ( x) 为 f ( x) 的导数．证明：
（1）f ( x)
在区间
( 1,)
存在独一极大值点；
2
（2）f ( x)有且仅有 2 个零点．
【答案】（ 1）看法析；（ 2）看法析 .
【分析】（ 1）设g ( x) f ' ( x) ，则
g (x) cos x
1 ，
g' ( x) sin x
1
1 x (1 x)2
.
当 x1, 时， g' ( x) 单一递减，而 g' (0) 0, g' ( ) 0 ，可得 g' ( x) 在1,
2 2 2
有独一零点，
设为.
则当 x ( 1, ) 时， g' ( x) 0 ；当 x,时，g' ( x)0 .
2
所以 g ( x) 在 ( 1, ) 单一递加，在,单一递减，故g ( x)在1,存在唯
2 2
一极大值点，即 f ' ( x) 在1,存在独一极大值点.
2
（2）f ( x)的定义域为( 1,) .
（ i）当x( 1,0] 时，由（1）知， f ' ( x) 在 ( 1,0) 单一递加，而 f ' (0)0 ，
所以当 x ( 1,0) 时， f ' ( x) 0 ，故 f (x) 在 ( 1,0) 单一递减，又 f (0)=0 ，从
而 x 0 是f ( x)在( 1,0]的独一零点 .
（ ii ）当x0,时，由（1）知， f ' ( x)在(0,) 单一递加，在,单一
2 2
递减，而 f ' (0)=0 ， f '20 ，所以存在, 2，使得f ' ()0 ，且当x (0, ) 时， f ' ( x) 0 ；当 x,时，f ' ( x)0 .故 f ( x) 在 (0, ) 单一递
2
增，在,单一递减.
2
又 f (0)=0 ， f 1 ln 1 0 ，所以当 x 0, 时， f ( x) 0 .进而，
2 2 2
f (x) 在0,没有零点.
2
（iii ）当x , 时，f ' (x) 0 ，所以 f (x) 在, 单一递减.而 f 0 ，
2 2 2
f ( ) 0 ，所以 f (x) 在, 有独一零点 .
2
（iv ）当x ( , ) 时， ln( x 1) 1 ，所以 f ( x) <0，进而 f (x) 在 ( , ) 没有零点 .综上，f (x)有且仅有 2个零点 .。