平面翻折问题

平面翻折问题
一、翻折形成二面角；
例1：如图，在Rt△ABC中，已知AB=1，∠ACB=30°，∠ABC=90°, D、E分别为AC、
--的大小记为θ。

BD的中点， AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角'A BD C
（1）求证：平面'A EF⊥平面BCD；
⊥时,求sinθ的值；
（2）当'A B CD
（3）在（2）的条件下，求点C到平面'A BD的距离。

分析：平面翻折时总要形成一个二面角，因此在翻折前就准备好二面角的平面角，并且在后续问题中如何更好地应用这个二面角的平面角来解决题中的线面垂直问题是解题的关键。

题型特征：将“△ABD”沿“BD”折起，成角（或使得）。

1、（2018诸暨市高三数学期末考试第10题）三棱锥P-ABC如图所示，△PAB是以AB为底的等腰直角三角形，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=2，当△ABC以AB为轴旋转时，记PC=x，二面角P-AB-C的余弦值为y，则y与x的函数关系是_________.
2、如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，∠C=60°，点E 在线段CD 上，满
足BE ⊥CD ，且CE=AB=4
1CD=2，现将△ADE 沿AE 翻折到△AME 位置，使得MC=102。

（1）证明：AE ⊥MB ；
（2）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值.
3、（2009浙江高考）在长方形ABCD 中，AB =2，BC =1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上一动点，现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC 。

在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足，设AK =t ，则t 的取值范围是_______。

4、在长方形ABCD 中，AB=3，BC=1，E 为DC 的三等分点（靠近C 处），F 为线段EC 上一动点（包括端点），现将△AFD 沿AF 折起，使点D 在平面ABCF 内的射影恰好落在边AB 上，则当F 运动时，二面角D-AF-B 的平面角的余弦值的变化范围是_______。

5、Rt △ABC 中，D 为斜边BC 中点，AC =1，AB =3，
将△BAD 沿AD 翻折成△B 1AD.
（1）若二面角B 1-AD -C 的大小为60°，求B 1C 与面ACD 所成角的正弦值；
（2）在翻折过程中，二面角B 1-AC-D 的大小为θ，求tan θ的最大值.
A B C
D E F O
二、翻折过程中；
例2：（2012浙江高考选择题）在长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，将△ACD 沿AC 折起
一定存在某个位置，使得AC ⊥BD 、AD ⊥BC 、AB ⊥CD 。

分析：平面翻折可以理解为绕旋转所得几何体（为圆锥面）；
题型特征：将“△ABD ”沿“BD ”翻折，在“翻折过程”中。

1、在平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，CD=CB=7，且AD ⊥AB ，将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A 1BD ，则在△A 1BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A 1C 与平面BCD 所成最大角的正弦值是（A ）33 （B ）36 （C ）66（D ）630（ ）
2、长方形ABCD 中，将△DAC 沿AC 翻折，当二面角D-AC-B 在区间()π,0内变化时，四面体ABCD 的表面积的取值范围是_______。

3、已知直角△ABC 中，BC=1，CA=x ，E 为斜边AB 中点，把△ACE 沿CE 翻折成二面角A-CE-B ，在翻折过程中，能使得AC ⊥BE ，则x 的取值范围是____________。

三、折纸形成多面体（重点关注折前后的不变量）。

例3：在矩形ABCD 中，E 、F 分别为AB 与BC 边的中点，现将△AED 、△BEF 分别沿DE 、EF 折起，使A 、B 两点重合于点P ，连接PC ，已知AB=2，BC=2。

（1）求证：DF ⊥平面PEF ；
（2）求直线PC 与平面PEF 所成角的正弦值。

分析：左右折起，使重合，重点关注折前后不变的量；
题型特征：“折纸游戏”。

1、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为_______。

2、如图，在Rt ABC ∆中，︒=∠90BAC ，︒=∠60ABC ，E 是边AC 上的点，AE EC 2=，
D 是斜边BC 的中点，现将AB
E ∆与DEC ∆分别沿BE 与DE 翻折，翻折后的点C A ,分别记作11,C A ，若点1A 落在线段1EC 上，如图，则二面角D EC B --1的余弦值为______。

3、（2010浙江高考）在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，AE=EB=AF=4，FD=6。

沿直线EF 将△AEF 翻折成△A 1EF ，使平面A 1EF ⊥BEF 。

（1）求二面角A 1-FD-C 的余弦值；
（2）点M 、N 分别在线段FD 、BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A 1重合，求线段FM 的长。