【高教版】中职数学拓展模块：2.3《抛物线》ppt课件(2)

d 为 M 到 l 的距离
二、标准方程的推导
yy
H
M
·
C
如何建立坐标系呢？
y
00
l
·
F
xx
思考：抛物线是 轴对称图形吗？怎 样建立坐标系,才能 x 使焦点坐标和准线 方程更简捷?
0
y
M(x,y)
K o F
解：以过F且垂直于 l 的直
线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
2
l
1.建立坐标系 2.设动点坐标, 相关点的坐标. 3.列方程 4.化简,整理
两边平方,整理得
y 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
A
思考：通径是抛物线的 焦点弦中最短的弦吗？
F B

x
例3、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y 2 px （p 0）上，求这个
2
正三角形的边长.
y
A
O B
x
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
9 4
．
A
y
O
x
(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时， 把A(-3,2)代入y2 = -2px， 得 p=
9 2 ∴抛物线的标准方程为x =
2 3
2
y
2 或y
=
4 x 。 3
思考:M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点
M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是
x0 +
这就是抛 物线的焦 半径公式!
准线方程
x p 2
p 0
y 2 2 px p 0
p x 2
x2 2 py
p 0
p 0, 2
p y 2
x 2 2 py p 0
p 0, 2
y
p 2
观察上表:抛物线的标准方程的四种不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系 是有规律的，这个规律是什么？
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 定值，即x1x2 p , y1 y2 p 2 . 4
2
y
A
A1 p1
B1

F
p
(3)设 | AF | m,| BF | n, 则
1 1 2 . m n p
B
x
(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.
通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 最小值
2、设P是曲线y 2 4( x 1)上一动点，则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是？
解：曲线y 2 4( x 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为 2的抛物线
所以抛物线的准线:x 0, 焦点:F (2,0)
d | PF |
y
d
P
A
O

.
y轴的 负方向 x2=-2py
p F ( 0, - ) 2 p y= 2
准线方程
知识点二：抛物线的简单几何性质 y
o
F
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
.
x
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点.
.
5、过抛物线y 2 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程； (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y
（2）设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y kx b
y kx b 联立 2 k 2 x 2 (2kb 2) x b2 0 y 2x
.
A
x
设P( x, y), C (3,0)
| PC | ( x 3) y
2 2
x 5 x 9 ( x 0)
2
5 11 当x 时， | PC |min 2 2 11 | PQ |min 1 2
5、过抛物线y 2 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程； (2)证明AB与x轴的交点为定值.
A
2 2 同理 y1 y2 k k
b 2 2b 0 b 2k 由OA OB x1x2 y1 y2 0 即 2 k k
l AB : y kx 2k 与x轴交点(2,0)
(4)离心率
e=1
y
P
(5)焦半径
(6)通径
|PF|=x0+p/2
O
F
x
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。
通径的长度：2P
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
2P 的 | AB | 2 sin
1、求焦点为F (2,3)，准线方程为y 5的抛物线方程.
y
解：设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知：

.
P
F
O
x
P到F的距离等于到直线 y 5的距离
即 ( x 2) 2 ( y 3) 2 | y 5 |
化简得： ( x 2)2 4( y 4)
且 p的几何意义是:
焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x 2 2
一条抛物线，由于它在坐标平面内 的位置不同，方程也不同，所以抛物线 的标准方程有四种形式.
四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程
y 2 2 px
焦点坐标
p ,0 2
p ,0 2
顶点坐标
x 0, y R 关于x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率 焦半径 通径
| AB | 2 p
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点F， 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )，弦AB的中点为P(x0 ,y0 ).
1 抛物线:x y a
2
y
1 焦点:F (0, ) 4a 1 准线：y 4a
Q
.
O

P
F
x
4、抛物线y 2 x和圆( x 3)2 y2 1上最近两点间的距离为？
y
分析：如图， 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q
P
O F
Q
C
| PQ || PA |
| PQ | 最小值时，连线必经过 圆心
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
H 一、抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. l 准线 点F叫抛物线的焦点,
d
M
·
焦 点
C
·
F
直线l 叫抛物线的准线
MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 想一想 :比较椭圆、双曲线的标准方程的建立过 程 , 如何建立坐标系 ,才能使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?
p (2)因为焦点在y轴的负半轴上，且 2, 2 2 , 所以所求抛物线的标准方程是 x 8 y p4
3 解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是 ( , 0) 2 3 准线方程是 x
,
2
例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.
解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时，把A(-3,2) 代入x2 =2py，得p=
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
F
x
又 | PA | | PF || AF |
当A, P, F共线时， (| PA | | PF |) min | AF |
(| PA | d )min | AF | 5
3、过抛物线y ax 2 (a 0)的焦点F作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点，若线段PF , QF的长度分别是p, q，则 ? p q
3、注重数形结合和分类讨论的思想。
不同位置的抛物线
y
y
y
y l O F
图
O F
x
x
F
O
x
F O l
形
l
l
x
焦点位置
标准方程 焦点坐标
x轴的 正方向 y2=2px
p F ( ,0 ) 2 p x =2
x轴的 负方向 y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2
y轴的 正方向 x2=2py
p F ( 0, ) 2 p y =2
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可
避免讨论！
2 y 例2、(1)过抛物线 8x 的焦点,作倾斜角为 450
的直线,则被抛物线截得的弦长为 . (2)过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L, 设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求 y |AB|的最小值.
第一:一次项的变量如为 x(或y),则x轴(或y轴) 为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.
第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.
根据标准方程的知识,我们可以确定抛物 线的焦点位置及准线方程.
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的 焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准 方程.
y
解：(1)设lOA : y kx, 则lOB
1 :y x k
A
x O F M 2 2 y kx y A , xA 2 联立 2 k k B y 2x 1 y x 联立 k yB 2k , xB 2k 2 y 2 2x 1 x A xB 1 2 2 k x ( k ) 2 2 k k 2 2 轨迹方程： y x 2 1 y y B y A k k 2
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, 2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
2.3抛物线
进入抛物线的内部世界
y
o
x
探 究 ？
画图观察
再次观察
问题探究：
M
H
·
C
·
F 观察发现
l
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
知识点一：抛物线的定义及其标准方程
————————————
— 2
p
y
O F
． ．
M
x
小结:
1.抛物线的定义:抛物线的定义反映了抛物线的本 质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易， 且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定 义的恰当运用. 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对 焦点和准线对应一种形式.抓住标准方程的特点, 注意与焦点位置,开口方向的对应关系;
B1 l
y
A
A1 p F B
x
抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB | x1 x2 p 2 x0 p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l 我们还可以推得以下结论：
2P (1)若直线的倾斜角为，则 | AB | . 2 sin