广东省佛山一中2011～2012学年度高二上学期期中考试试题理科数学

广东省佛山一中2011-2012学年高二上学期
期中考试试题(数学理)
(考试时间2小时,满分150分)
参考公式：
1.球的表面积公式2
4R S π=,其中R 为球的半径. 2.锥体体积公式Sh V 3
1
=
,其中S 为底面积,h 为高. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40 分,请将所选答案填涂在答题卡上) 1.曲线||y x =和圆224x y +=所围成的较小区域的面积为 ( ) A.
4
π B.43π C.π D.23π
2.已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为 ( ) A .10 6 B .20 6 C .30 6 D .40 6
3.在坐标平面内,与点(1,2)A 距离为1,且与点B(－3,1)距离为2的直线共有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
4.在空间四边形ABCD 中,若AB=BC,AD=CD,E 为对角线AC 的中点,则 ( ) Ａ.平面ABD ⊥平面BDC Ｂ.平面ABC ⊥平面ABD Ｃ.平面ABC ⊥平面ADC
Ｄ.平面ABC ⊥平面BED
5.过直线:l y x =上一点P 向圆22670x y y +-+=引切线,切点为A ,则min ||PA =( )
A.
22 B.2 C.2
10
D.
2
2
3 6.设平面α⊥平面β,且l αβ=,直线a α⊂,直线b β⊂,且a 不与l 垂直,
b 不与l 垂直,那么a 与b ( )
Ａ.可能垂直,不可能平行 Ｂ.可能平行,不可能垂直 Ｃ.可能垂直,也可能平行 Ｄ.不可能垂直,也不可能平行
7.若直线
1=+b
y
a x 通过点M(αcos ,αsin ),则 ( ) A .122≥+
b a B .12
2≤+b a C .11122≥+b a D .11122≤+b
a
8.如图,在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, M 、N
分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点,则点B 到平面AMN 的距 离是 ( ) A.
29 B.3 C.3
2
D.2
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30 分,请把答案填在答卷指定的横线上) 9.正方体各面所在的平面将空间分成_______个部分.
10.过原点的直线与圆22(2)3x y -+=有公共点,
则倾斜角的取值范围是 . 11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体
外接球的表面积为____________.
12.若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到
直线1134=+y x 的距离等于1,则半径R 的 取值范围是 _____________ .
13.三棱锥,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角
P AC B --
的余弦值为 .
14.若关于x 320kx k -+=有且只有两个不同的实数根,则实数k 的取值
范围是 .
三、解答题(本大题共6个小题,15、16两题各12分,其余各题14分,共80分。

需有必要的运算及推理过程,答案写在答卷上)
A C
P
M
N
B
(17题图)
(16题图)
15.已知ABC ∆的顶点A 为(3,－1),AB 边上的中线所在直线方程为059106=-+y x ,
B ∠的平分线所在直线方程为0104=+-y x ,
(1)求B 点的坐标；
(2)求A 点关于直线0104=+-y x 对称点A '的坐标； (3)求BC 边所在直线的方程.
16.在正三棱柱111ABC A B C -中,
D 为AB 的中点, AB=2,A 1
如图. 求证：(1)CD ⊥AB 1 ；
(2)AB 1 ⊥BC 1.
17.已知三棱锥P-ABC 的底面为正三角形, PA ⊥平面 ABC, 点M 、N 分别在PC 、AB 上, 且PM=MC,BN=3NA . (1)求证: MN ⊥AB;
(2) 若BC = 2, 且MN 与底面ABC 成0
45角, 求三棱锥P-ABC 的体积.
18.三个平面两两相交,有三条交线,求证这三条交线相交于一点或互相平行.
A D
A 1
B 1
19.已知点P(3,2)及圆C ：022222=-+-+y x y x .
（1） 过P 向圆C 作切线,切点为A,B(A 在B 的左边),求切线的方程； （2） 求切线长PA ,并求APB ∠的正切值； （3） 求直线AB 的方程； （4） 求四边形ACBP 的面积.
20.已知圆C ：()2
2
44x y -+=,圆D 的圆心D 在y 轴上,且与圆C 外切,圆D 交
y 轴于A 、B 两点,A 在B 的上方,点P 为(—3,0).
(1)若D(0,3),求∠APB 的正切值；
(2)若D 在y 轴上运动,当D 在何位置时,tan ∠APB 最大？并求出最大值； (3)在x 轴上是否存在点Q,使当D 在y 轴上运动时,∠AQB 为定值？如果存在,
求出Q 的坐标；如果不存在,请说明理由.
高二数学(理)期中试卷参考答案及评分标准
9.27,10.2[0,
][,)33π
ππ⋃, 11.425π , 12.(1, 3),13.12 ,14.53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦
15.解：(1)设11(410,)B y y -,……1分, 由AB 中点在610590x y +-=上, 可得：0592
1
10274611=--⋅+-⋅
y y ,y 1 = 5,所以(10,5)B . …………………4分 (2)设A 点关于4100x y -+=的对称点为'(',')A x y , …………………………5分 则有)7,1(14
1310
1024423A x y y x '⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=⋅-'+'=+-'⋅-+'.. ……………………………………8分 (3)∵A 点关于直线0104=+-y x 对称点A '在直线BC 上, ∴ 直线B A '就是直线BC,由两点式有
10
110
575--=--x y , 化简得BC 的方程为06592=-+y x .……………………………………………12分 16.证明：(1)∵∆ABC 为正三角形,∴CA=CB,D 为AB 中点,∴CD ⊥AB,……2分 又∵三棱柱111ABC A B C -正三棱柱,∴A 1A ⊥平面ABC ∴A 1A ⊥CD,又A 1A ∩AB=A,
∴CD ⊥平面A 1ABB 1, …………………4分 ∴CD ⊥AB 1 …………………5分 (2)取11A B 中点1D ,连结11C D ,1BD ,……6分 同法可证11C D ⊥平面A 1ABB 1 从而11C D ⊥AB 1,…7分
在矩形A 1ABB 1 中,AB=2,A 1
1D 为11A B 中点,
∴A 1D 1= D 1B 1=1, 由
21
111==D B BB BB AB
及∠ABB 1=∠BB 1D 1=900
, A
D
A 1
B 1
A
C
P
M
N
E
D
B
c
b
a α γ β
可得1ABB ∆∽11D BB ∆,∴∠B 1AB=∠B 1BD 1 ,
而∠B 1BD 1 +∠ABD 1=900,∴∠B 1AB+∠ABD 1=900,∴AB 1⊥BD 1 ,……………10分 BD 1∩C 1D 1= D 1,∴AB 1⊥平面BC 1D 1 , ∴AB 1 ⊥BC 1. ………………………12分
17.(两小题各7分)
解：(1)取AC 的中点E,AB 的中点D, 连接ME 、NE 、CD,
AB
ME PA ME MC PM AB PA ABC PA ⊥⇒⎭
⎬⎫
⇒=⊥⇒⊥//平面
AB
NE AB DC ABC DC NE ND AN DB AD NA BN ⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊥⇒∆⇒=⇒⎭⎬⎫
==是正三角形//3
∴ AB ⊥平面MNE ∴ AB ⊥MN.
(2)由(1)知：PA ⊥平面ABC,且ME//PA ∴ ME ⊥平面ABC ∴ ∠MNE=450,∴ ME=NE.
在正△ABC 中,BC=2, 故有
3=∆ABC S
所以三棱锥P-ABC
的体积113ABC V S PA ∆=
⋅==.
18.已知：a αβ=,b βγ=,c γα=,
求证：,,a b c a 交于一点或∥b ∥c .………2分 证明：a a α
ββ=⇒⊂
b b βγβ=⇒⊂ ∴,a b β共面,
∴,a b 相交于一点或a ∥b . ………4分 (1)若,a b 相交于一点,设a b P =(如图1)
∵a
b P =,∴P a ∈,又a α⊂,∴P α∈,
同理P γ∈,又c γα= ∴P c ∈
∴,,a b c P 交于一点； ……9分 (2)若a ∥b ,∵b γ⊂,a γ⊄,∴a ∥γ 而 a α⊂,c γ
α=,∴a ∥c ,∴a ∥b ∥c . …13分
综(1)(2)知,这三条交线相交于一点或互相平行.…14分
P
a
b c
α
β
γ
19.解：将已知圆化为()()4112
2
=++-y x ,
得 圆心C(1,—1),半径r =2,…2分(以下每小题3分) (1)设PA 的斜率为k ,则PA 的方程为)3(2-=-x k y , 即023=+--k y kx 由
21
2
3)1(12=++---⨯k k k ,解得12
5
=
k 于是,PB 的斜率不存在, ∴ PA 的方程为09125=+-y x ∴ 两切线的方程分别为09125=+-y x 和3=x (2)将3=x 代入圆C ：022222=-+-+y x y x ,得1-=y ∴B(3,—1) ∴ PB =3,从而PA =PB =3
又设PA 的倾斜角为θ,则APB ∠=900—θ,∵θtan =125=k ,∴512tan =∠APB . (3)2
3
13)1(2=---=
PC k , ∵ PC AB ⊥ ∴3
2-=AB
k
又B(3,—1)∴ 直线AB 的方程为)3(3
2
1--=+x y ,
即 0332=-+y x .
(4)依对称性,6232
22=⨯=⨯⨯
==∆BC
PB S S PBC ACBP .
20.解：(1)由圆C ：()2
2
44x y -+=,知C(4,0),圆C 的半径为2.………1分
又圆C 与圆D 外切,D(0,3),∴53422=+=
CD ,圆D 的半径R=5—2 =3,3分
而圆D 截y 轴于(0,6)、(0,0)两点,不妨设A(0,6),B(0,0) ∴tan ∠APB=23
6
==
OP
OA .……………………………………………………………4分
(2)当D 在y 轴上运动时,令D(0,t ),162+=
t CD ,
圆D 的半径R=162+t —2,A(0,t +R),B(0,t —R), ………………5分 ∠APB=∠APC —∠BPC,
∴tan ∠APB=
3
3133R t R t R
t R t -⋅
++--+ ………………………………………………………7分
=2296R t R -+=111641216622
-+-+t t =11
16429
232-++t ……………………………8分 ≤1116429
23-+=5
1210923=+
. ……………………………………………………9分 当D 为(0,0)时,tan ∠APB 最大,最大值为
5
12
； ……………………………10分 (3)设Q(x ,0),tan ∠AQB=201644162222222-++-+=-+x t x
t x R t x Rx 为常数
20
4422--=⇔
x x x , ……………………………………………………11分 即32=x 或32-=x 或0=x . ……………………………………………12分 但当0=x 时,若A 、B 分别在x 轴两旁时,∠AQB=1800,
若A 、B 都在x 轴同旁时,∠AQB=00,故0=x 不合题意,舍去. 所以,存在满足题意的点Q,为(32,0)或(—32,0).……………14分。