等差数列课件-2025届高三数学一轮复习

9−5
＝
＝1，又 a 4＝5，所以 a 1＝2，
8−4
4
解法二 设等差数列{ an }的公差为 d ，则由 a 2＋ a 6＝10，可得 a 1＋3 d ＝5 ①，由
a 4 a 8＝45，可得( a 1＋3 d )( a 1＋7 d )＝45
5×4
＝5 a 1＋
× d ＝20，故选C.
2
②，由①②可得 a 1＝2， d ＝1，所以 S 5
所以 S 1＝ a 1， S 2＝ a 1＋ a 2＝4 a 1 .
设数列{ }的公差为 d ，则 d ＞0， 2 － 1 ＝ 41 － 1 ＝ d ，得 a 1＝ d 2，
所以 ＝ 1 ＋( n －1) d ＝ nd ，所以 Sn ＝ n 2 d 2，
所以3 d ＝ a 1＋2 d ，所以 a 1＝ d ，所以 an ＝ nd .
2 ＋
2 ＋
+1
3（1 ＋3 ）
3（+3）
因为 bn ＝
，所以 bn ＝
＝
，所以 S 3＝
＝
＝



2
2
2

3

4

9

6 d ， T 3＝ b 1＋ b 2＋ b 3 ＝ ＋ ＋ ＝ .
9
1
因为 S 3＋ T 3＝21，所以6 d ＋ ＝21，解得 d ＝3或 d ＝ ，
(1)等差数列项的性质
设数列{ an }，{ bn }均为等差数列.
a.若 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈N*)，则 ak ＋ al ＝ am ＋ an ，特别地，若 p ＋ q ＝
2 m ，则⑦
ap ＋ aq ＝2 am
.反之不一定成立.
b.若{ an }公差为 d ，则{ a 2 n }也是等差数列，公差为⑧
S 5＝(
C )
A. 25
[解析] 解法一
B. 22
C. 20
D. 15
由 a 2＋ a 6＝10，可得2 a 4＝10，所以 a 4＝5，又 a 4 a 8＝45，所以
a 8＝9.设等差数列{ an }的公差为 d ，则 d ＝
5×4
所以 S 5＝5 a 1＋
× d ＝20，故选C.
2
8 −4
例2
2 ＋
[2023新高考卷Ⅰ]设等差数列{ an }的公差为 d ，且 d ＞1.令 bn ＝
，记 Sn ， Tn

分别为数列{ an }，{ bn }的前 n 项和.
(1)若3 a 2＝3 a 1＋ a 3， S 3＋ T 3＝21，求{ an }的通项公式；
[解析] (1)因为3 a 2＝3 a 1＋ a 3，所以3( a 2－ a 1)＝ a 1＋2 d ，
如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的③
＋
2
④
.
⁠
等差中项 ，且 A ＝
(3)等差数列的通项公式及其变形
通项公式：⑤
an ＝ a 1＋( n －1) d
，其中 a 1是首项， d 是公差.
通项公式的变形： an ＝ am ＋( n － m ) d ( m ， n ∈N*).
说明
由 an ＝ dn ＋( a 1－ d )可知，当 d ≠0时， an 可看作关于 n 的一次函数.
规律总结
等差数列的单调性
当 d ＞0时，数列{ an }为递增数列；当 d ＜0时，数列{ an }为递减数列；当 d ＝0时，
数列{ an }为常数列.
2. 等差数列的前 n 项和
（1 ＋ ）
2025届高考数学一轮复习讲义
数列之 等差数列
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 等差数列的概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的①
差 都等于②
同
⁠
一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差
⁠
通常用字母 d 表示.
(2)等差中项
A. 64
B. 100
C. 128
C )
D. 132
[解析] 因为{ an }和{ bn }是两个等差数列，所以2 a 3＝ a 1＋ a 5＝288＋96＝384，所

3
1
192
288
以 a 3＝192，又当1≤ k ≤5时， 是常值，所以 ＝ ，即
＝
，从而 b 3＝

3
1
3
192
128.故选C.
若三个数成等差数列，可将三个数设为 a － d ， a ， a ＋ d ；若四个数成等差数列，
可将四个数设为 a －3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋3 d .
训练1

(1)[2021北京高考]已知{ an }和{ bn }是两个等差数列，且 (1≤ k ≤5)是常值，

若 a 1＝288， a 5＝96， b 1＝192，则 b 3的值为(
220－20 n ≥220×5％，得 n ≤10.45，所以该设备最多使用10年.
5. 已知等差数列{ an }的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为
261，则该数列的项数为 19 .
⁠
[解析] 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，项数为2 k －1，则
k ＝10，则项数为2×10－1＝19.
(2)[2022全国卷乙]记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.若2 S 3＝3 S 2＋6，则公差 d
＝
2 .
⁠
[解析] 因为2 S 3＝3 S 2＋6，所以2(3 a 1＋3 d )＝3(2 a 1＋ d )＋6，化简得3 d ＝6，解
得 d ＝2.
命题点2 等差数列的判定与证明
例3 [2021全国卷甲]已知数列{ an }的各项均为正数，记 Sn 为{ an }的前 n 项和，从下
每经过一年，其价值减少20万元.当设备价值低于购进价值的5％时，设备将报废，
则该机器最多使用
10 年.
[解析] 设使用 n 年后，该设备的价值为 an 万元，则易知{ an }是以(220－20)为首
项，－20为公差的等差数列，所以 an ＝(220－20)＋( n －1)×(－20)＝220－20 n .令
＝
＝ ，

（+1）
S 99＝
99（1 ＋99 ）
99（2+100）
＝
＝99×51 d ，
2
2
99（1 ＋99 ）
T 99＝
＝
2
1
99
99（＋ ）
2
99×50
＝
.

99×50
＝99，即51 d 2－ d －50＝0，

50
51
解得 d ＝－ (舍去)或 d ＝1(舍去).综上， d ＝ .
面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{ an }是等差数列；②数列{ }是等差数列；③ a 2＝3 a 1.
[解析]
①③⇒②.
已知数列{ a n }是等差数列， a 2 ＝3 a 1 .
设数列{ a n }的公差为 d ，则 a 2 ＝3 a 1 ＝ a 1 ＋ d ，故 d ＝2 a 1 ，所以 S n ＝ na 1
奇
偶
＝

290
＝
，解得
−1
261
6. [易错题]已知数列{ an }满足 a 1＝1， an ＋ an ＋1＝ n ，则 a 20＝ 9 .
⁠
[解析] 因为 an ＋ an ＋1＝ n ，所以 a 1＋ a 2＝1， a 2＋ a 3＝2，…， a 19＋ a 20＝19.因为
a 1＝1，所以可得 a 1＝1， a 3＝2， a 5＝3， a 7＝4，…，和 a 2＝0， a 4＝1， a 6＝2，
＋
（ −1 ）
2
d ＝ n 2 a 1.
因为数列{ a n }的各项均为正数，所以
所以
+1 －
等差数列.
＝ n 1 ，
＝( n ＋1) 1 － n 1 ＝ 1 (常数)，所以数列{
}是
①②⇒③.
已知数列{ an }是等差数列，{ }是等差数列.
设数列{ an }的公差为 d ，
等差数列，即下标成等差数列，则相应的项也成等差数列.
f.若 c 是非零常数，则{ }是等比数列.
md
的
⁠
(2)等差数列前 n 项和的性质
设 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.
a.{

}是等差数列，其首项等于⑪

a 1 ，公差是{ a }的公差的 1 .
n
2
b. Sm ， S 2 m － Sm ， S 3 m － S 2 m ，…( m ∈N*)是等差数列.
c.两个等差数列{ an }，{ bn }的前 n 项和 Sn ， Tn 之间的关系为
2−1
＝⑫
2−1


.
二、基础题练习
1. [教材改编]如果三角形的三个内角成等差数列，则中间角的大小为
60° .
⁠
[解析] 由题意可设三个内角分别为 x － d ， x ， x ＋ d ，则有( x － d )＋ x ＋( x ＋ d )
2d
.
⁠
c .{ pan ＋ qbn }( p ， q 为常数)也是等差数列.
d.若{ an }与{ bn }有公共项，则{ an }与{ bn }的公共项从小到大排成的新数列也是等差
数列，首项是第一个相同的公共项，公差是{ an }与{ bn }的公差的⑨
最小公倍数 .
⁠
⁠
e.若{ an }公差为 d ，则 ak ， ak ＋ m ， ak ＋2 m ，…( k ， m ∈N*)组成公差为⑩
3
所以
6
1 ＋
－
1
6
＝
，所以 12 －3 a 1 d ＋2 d 2＝0，解得 a 1＝ d 或 a 1＝2 d .
1
1 +2
2 ＋
2 ＋
+1
①当 a 1＝ d 时， an ＝ nd ，所以 bn ＝
＝
＝
，



99（1 ＋99 ）
99（+99）
S 99＝
＝
＝99×50 d ，
0，所以当 n ＝8时，{ an }的前 n 项和最大.
3. [教材改编]已知{ an }为等差数列，且 a 20＝30， a 30＝20，则 a 50＝
[解析]
0 .
⁠
20−30
由题意可得，公差 d ＝
＝－1，所以 a 50＝ a 20＋30 d ＝30－30＝0.
30−20
4. [教材改编]某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，
a 8＝3，…，奇数项、偶数项分别构成等差数列，所以 a 2 k ＝ k －1( k ∈N*)，所以 a 20
＝10－1＝9.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1 等差数列的基本运算
例1 [2023全国卷甲]记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.若 a 2＋ a 6＝10， a 4 a 8＝45，则
＝180°，可得 x ＝60°.
2. 若等差数列{ an }满足 a 7＋ a 8＋ a 9＞0， a 7＋ a 10＜0，则当 n ＝
8 时，{ an }的
前 n 项和最大.
[解析] 由 a 7＋ a 8＋ a 9＞0可得 a 8＞0，由 a 7＋ a 10＜0可得 a 8＋ a 9＜0，所以 a 9＜

2
因为 d ＞1，所以 d ＝3.所以{ an }的通项公式为 an ＝3 n .
(2)若{ bn }为等差数列，且 S 99－ T 99＝99，求 d .
2 ＋
(2)因为 bn ＝
，且{ bn }为等差数列，

[解析]
6
2
12
所以2 b 2＝ b 1＋ b 3，即2× ＝ ＋ ，
2
1
2
2
2
100
99（＋
99（1 ＋99 ）
T 99＝
＝
2
2
）
＝
99×51，所以99×50 d －
或 d ＝－1(舍去).
99×51
51
＝99，即50 d 2－ d －51＝0，解得 d ＝

50
2 ＋
2 ＋

②当 a 1＝2 d 时， an ＝( n ＋1) d ，所以 bn ＝
(1)等差数列的前 n 项和公式： Sn ＝
＝⑥
2
(2)由 Sn ＝ na 1＋
（−1）
na 1＋
d
2
.
（−1）


d ＝ n 2＋( a 1－ ) n 可知，当 d ≠0时， Sn 可看作关于 n 的
2
2
2
二次函数，故可借助二次函数的图象和性质来研究 Sn 的最值问题.
3. 等差数列的性质
51
50
因为 S 99－ T 99＝99，所以99×51 d －
方法技巧
1. 等差数列基本运算中常用的数学思想
方程
等差数列中有五个量a1，an，d，n，Sn，一般可“知三求二”，通过列
思想
方程(组)求解.
整体
思想
将已知和所求都用a1和d表示，寻求两者之间的联系，整体代换求解.
2. 等差数列基本运算中常用的设元技巧
则 Sn ＝ na 1＋
（−1）
1

d ＝ dn 2＋( a 1－ ) n .
2
2
2
因为数列{ }是等差数列，所以数列{ }的通项是关于 n 的一次函数，则 a 1－

＝0，即 d ＝2 a 1，所以 a 2＝ a 1＋ d ＝3 a 1.
2
②③⇒①.
已知数列{ }是等差数列， a 2＝3 a 1，