双曲线抛物线知识点大总结绝对好和全

顶 点 坐 〔 a ,0〕 ( a ,0) 标
(0, a ,) (0， a )
仅供学习参考
离心率
e c (e 1)= a
准线方 程
x a2 c
y a2 c
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2a2
c
顶点到 准线的 距离
顶点 A1 〔 A2 〕到准线 l1 〔 l2 〕的距离为 a a 2
P
x
x
F1
F2
yy P F2
xx P
F1
x a，yR
y a，xR
对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
对称中 心
原点 O(0, 0)
焦 点 坐 F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c) F2 (0, c)
标
焦点在实轴上， c a2 b2 ；焦距： F1F2 2c
10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx m(m 0)
① 联立方程法：
双曲线 C： x 2 a2
y2 b2
1〔 a ＞0， b ＞0〕
y kx m
x2 a 2
y2 b2
1
(b2 a 2k 2 )x 2 2a 2mkx a 2m2 a 2b2 0
(1〕假设双曲线方程为 x 2 a2
y2 b2
1
渐近线方程：
x a
2 2
y2 b2
0
yb x. a
(2)假设渐近线方程为 y b x a
x a
y b
0
双曲线可设为
x a
2 2
y2 b2
.
(3)假设双曲线与 x 2 a2
y2 b2
1 有公共渐近线，可设为 x2 a2
y2
b2
〔 0 ，焦点
在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上〕.
(4)与双曲线 x2 y2 a2 b2
1共渐近线的双曲线系方程是 x2 a2
y2
b2
(
0)
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
M MF1 MF2 2a 2a F1F2
P
yy
x
x
F1
F2
yy F2
xx P
F1
第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 e 1 时， 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e 〔 e 1〕叫做双曲线的离心率。
P
yy
当 1 0, 1 0 ，双曲线的焦点在 x 轴上； AB
5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定
系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系
e2
c2 a2
a2 b2 a2
1
b2 a2
1〕 e
1
b
2
a
7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
2〕 b e2 1 a
假设 2a=2 c 时，即 MF1 MF2 F1F2 ,当 MF1 MF2 F1F2 ，动点轨迹是以 F2 为端点 向右延伸的一条射线；当 MF2 MF1 F1F2 时，动点轨迹是以 F1 为端点向左延伸的 一条射线；
假设 2a＞2 c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：
b2 x0 a2 y0
，
即 kAB
b2 x0 a2 y0
，
11. 焦点三角形面积公式： SF1PF2
b2
, (
F1PF2 ) 。
tan
2
一、双曲线的定义
1、第一定义： PF1 PF2 2a F1F2 〔a >0〕〕。注意：〔1〕距离之差的绝对值。〔2〕2a＜|F1F2|
当|MF1|－|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、F2为端点向外的两条射线； 当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。 当a=0 时，轨迹为两定点连线中垂线。 2、第二定义：动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e＞1)
4 F2 A2
Ax By C 0 相切的条件是 A2a2 B2b2 c2 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 l ： y kx m(m 0)
双曲线 C： x 2 a2
y2 b2
1〔 a ＞0， b ＞0〕
y kx m
x2 a 2
y2 b2
1
(b2 a 2k 2 )x 2 2a 2mkx a 2m2 a 2b2 0
1、形式：x 2 y 2 〔 0 〕； 2、离心率 e 2 ； 3、两渐近线互相垂直，为 y= x ；；
4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
共轭双曲线：〔以 双 曲 线 的 虚 轴 为 实 轴 ， 实 轴 为 虚 轴 的 双 曲 线 〕
1、有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆； 3、离心率倒数的平方和等于 1。
b2 (x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )
a.
在涉及斜率问题时，
k AB
b2 (x1 a2 ( y1
x2 ) y2 )
b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段 AB 的 中 点 为 M (x0 , y0 ) ，
y1 y2 x1 x2
b2 • 2x0 a2 • 2 y0
第二章 2.3 双曲线
双曲线 定义 范围
标准方程〔焦点在 x 轴〕
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
标准方程〔焦点在 y 轴〕
y2 a2
x2 b2
1(a 0,b 0)
第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值是常数〔小于 F1F2 〕的 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
(1)双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
上一点 P(x0 ,
y0 ) 处的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
〔2〕过双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
外一点 P(x0 ,
y0 ) 所引两条切线的切点弦方程
是
x0 x a2
y0 y b2
1.
仅供学习参考
〔 3 〕 双 曲 线 x2 y2 1(a 0,b 0) 与 直 线 a2 b2
c
顶点 A1 〔 A2 〕到准线 l2 〔 l1 〕的距离为 a 2 a
c
焦点到 准线的 距离
焦点 F1 〔 F2 〕到准线 l1 〔 l2 〕的距离为 c a 2
c
焦点 F1 〔 F2 〕到准线 l2 〔 l1 〕的距离为 a 2 c
c
渐近线 方程
ybx a
yax b
共渐近 线的双 曲线系
x2 a2
sin
c e
(sin sin ) a
9、双曲线
x a
2 2
y2 b2
1〔b＞a
＞0〕，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ .〔1〕
1 | OP |2
1 | OQ |2
1 a2
1 b2
;〔2〕|OP|2+|OQ|2
的最小值为
4a2b2 b2 a2
;〔3〕 SOPQ
的最小值是 a2b2 b2 a2
特级教师 王新敞 wxckt@
(5)与双曲线 x2 y 2 1共焦点的双曲线系方程是 x2 y 2 1
a2 b2
a2 k b2 k
(6)当 a b时 离心率 e 2 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ，此时双曲
线为等轴双曲线，可设为 x 2 y 2 ；
8. 双曲线的切线方程
1) 当 b2 a2k 2 0 ，即 k b 时，直线 l 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双
a 曲线 C 相交于一点；
2) 当 b2-a2k2≠0，即 k b 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2) a
① 0 时，直线 l 与双曲线相交，有两个公共点 ② 0 时，直线 l 与双曲线相切，有且仅有一个公共点 ③ 0 时，直线 l 与双曲线相离，无公共点 3) 直线与双曲线只有一个公共点,那么直线与双曲线必相切吗?为什么?〔不一 定〕
二、双曲线的标准方程〔 c2 b2 a2 ，其中| F1 F2 |=2c，焦点位置看谁的系数为正数〕
焦点在
x
轴上：
x a
2 2
y2 b2
1
〔a＞0，b＞0〕；焦点在
y
轴上：
y a
2 2
x2 b2
1 〔a＞0，b＞0〕
焦点不确定时：mx 2 ny 2 1, (mn 0) ；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，那么有 0 ,以及 x1 x2 , x1x2 ，还可进一步求
出
y1 y2 kx1 m kx2 m k(x1 x2 ) 2m
，
y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k 2 x1x2 km(x1 x2 ) m2
tan
b2 F1 PF2
2
6、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7、 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处 的内角.
8、设双曲线
x2 a2
y2 b2
1〔a＞0,b＞0〕的两个焦点为
F1、F2,P〔异于长轴端点〕为双曲线上任意一
点 ， 在 △ PF1F2 中 ， 记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2P ， 那 么 有
如果 x 2 项的系数是正数，那么焦点在 x 轴上；
如果 y2 项的系数是正数，那么焦点在 y 轴上.
对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比拟分母的大小来判
断焦点在哪一条坐标轴上.
3. 双曲线的内外部
(1)点
P(
x0
,
y0
)
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的内部
P0
的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
假设
P0
(
x0
,
y0
)
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1〔a＞0,b＞0〕外
，那么过
Po
作双曲线的两条切线切
点为
P1、P2，那么切点弦
P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
5、 双曲线
x2 a2
y2 b2
1〔a＞0,b＞o〕的焦点角形的面积为 S
1，F1、F2是 x 2 － y 2 =1 的焦点，其上一点P 到F1的距离等于9 那么P 到焦点F2的距离.17 16 20
y2 b2
k
〔k
0〕
y2 a2
x2 b2
k〔k
0〕
方程
1. 双曲线的定义
① 当|MF1|－|MF2|=2a 时，那么表示点 M 在双曲线右支上； 当 MF2 MF1 2a 时，那么表示点 M 在双曲线左支上；
② 注意定义中的“〔小于 F1F2 〕〞这一限制条件，其根据是“三角形两
边之和之差小于第三边〞。
四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线
五、相关性质：
1、点与双曲线的位置关系：
2、中点弦的存在性
3、 以 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P 在右支；外切：P 在左支〕
4\ 假设
P0 (x0 , y0 )
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1 〔 a ＞ 0,b ＞ 0 〕 上 ， 那 么 过
x0
x1
x2 2
，
y0
y1 y2 2
② 点差法：
设交点坐标为 A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) ，代入双曲线方程，得
x12 a2
y12 b2
1
x22 a2
y22 b2
1
将两式相减，可得
(x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )(y1 y2 )
a2
b2
y1 y2 x1 x2
仅供学习参考
与双曲线 x2 y 2 1共焦点的双曲线系方程是 x 2 y 2 1 〔 a 2 k b2 ) 〕
a2 b2
a2 k b2 k
与双曲线 x 2 a2
y2 b2
1共渐进线〔 y b x 〕的双曲线系方程是 x 2
a
a2Leabharlann y2 b2, (o)
三、特殊双曲线：
等轴双曲线：〔实虚轴相等，即 a=b〕
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 a. 相交弦 AB 的弦长
AB
1 k 2 x1 x2
1 k2
(x1 x2 )2 4x1x2
1 k2
a
仅供学习参考
或
AB
1 1 k2
y1 y2
1 1 k2
( y1 y2 )2 4 y1 y2
1 k2
a
b. 中点 M (x0 , y0 ) ,
x02 a2
y02 b2
1.
(2)点
P(
x0
,
y0
)
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的外部
x02 a2
y02 b2
1.
仅供学习参考
4.
形如 Ax 2
By 2
1(AB
0)的方程可化为 x2 y2 1 11
AB
当 1 0, 1 0 ，双曲线的焦点在 y 轴上； AB