10年高考真题-函数的图象

2.5函数的图象考点一函数图象的识辨
1.(2019课标Ⅲ理,7,5分)函数y=2x 3
2x+2-x
在[-6,6]的图象大致为()
答案B本题考查函数图象的识辨及函数的性质,考查学生“识图”的应用意识和能力,考查的核心素养是逻辑推理.
设f(x)=2x3
2x+2-x (x∈[-6,6]),则f(-x)=2(-x)
3
2-x+2x
=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时,f(-1)=-4
5
<0,排除选项D;
当x=4时,f(4)=128
16+1
16
≈7.97,排除选项A.故选B.
2.(2018浙江,5,4分)函数y=2|x|sin2x的图象可能是()
答案D本小题考查函数的奇偶性,指数型函数、三角函数的值域.
因为y=2|x|sin2x为奇函数,所以排除A,B;因为2|x|>0,且当0<x<π
2时,sin2x>0,当π
2
<x<π时,sin2x<0,所以
x∈(0,π
2)时,y>0,x∈(π
2
,π)时,y<0,所以排除C.故选D.
方法总结判断函数图象的方法
(1)利用函数的定义域、值域或函数在定义域的某个子区间上函数值的正负来判断;
(2)利用函数的零点和零点个数来判断;
(3)利用函数的奇偶性、单调性、周期性来判断;
(4)利用函数图象的对称轴和对称中心来判断;
(5)利用函数的极值和最值来判断;
(6)利用函数图象上的特殊点(如函数图象与x轴、y轴的交点,图象上的最低点、最高点等)、函数图象的渐近线来判断.
3.(2018课标Ⅱ,3,5分)函数f(x)=e x-e-x
x2
的图象大致为()
答案B本题主要考查函数的图象.
f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A选项;
又∵f(2)=e2-e-2
>1,排除C,D选项,故选B.
4
方法总结识辨函数图象可从以下方面入手:
(1)由函数的定义域判断图象的左右位置,由函数的值域判断图象的上下位置;
(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势;
(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性;
(4)由函数的周期性识辨图象;
(5)由函数图象的特征点排除不符合要求的图象.
的部分图象大致为()
4.(2017课标Ⅰ,8,5分)函数y=sin2x
1-cosx
是奇函数,图象关于原点对称,B不正确;x∈(0,1)时,恒有y>0,知答案C当x=π时,y=0,D不正确;又y=sin2x
1-cosx
A也不正确.故选C.
的部分图象大致为()
5.(2017课标Ⅲ,7,5分)函数y=1+x+sinx
x2
答案 D 当x ∈(0,1)时,sin x>0, ∴y=1+x+sinx
x 2>1+x>1,排除A 、C.
令f(x)=x+sinx
x 2,定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,则f(-x)=-x+sin(-x)(-x)2
=-f(x),
∴f(x)=x+sinx x 2是奇函数,图象关于点(0,0)对称, ∴y=1+x+sinx x 2的图象关于点(0,1)对称,排除B.故选D.
6.(2016课标Ⅰ,9,5分)函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为 ( )
答案 D 令f(x)=y=2x 2-e |x|,定义域为[-2,2],关于原点对称,∴f(-x)=2(-x)2-e |-x|=2x 2-e |x|=f(x), 故函数f(x)为偶函数,
当x=±2时,y=8-e 2∈(0,1),故排除A 、B;
当x ∈[0,2]时, f(x)=y=2x 2-e x ,∵f '(x)=4x-e x =0有解,故函数y=2x 2-e |x|在[0,2]上不是单调的,故排除C,故选D. 7.(2016浙江,3,5分)函数y=sin x 2的图象是( )
答案D排除法.由y=sin x2为偶函数判断函数图象的对称性,排除A,C;当x=π
2时,y=sin(π
2
)
2
=sinπ
2
4
≠1,排除
B,故选D.
8.(2015课标Ⅱ,理10,文11,5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()
答案B当点P与C、D重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P为DC的中点时,有OP⊥AB,则x=π
2
,易求得
PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π
2时,f(x)没有取到最大值,则C、D选项错误.当x∈[0,π
4
)时,
f(x)=tan x+√4+tan2x,不是一次函数,排除A,故选B.
9.(2015安徽文,10,5分)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()
A.a>0,b<0,c>0,d>0
B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d<0
答案A由f(x)的图象易知d>0,且f'(x)=3ax2+2bx+c的图象是开口向上的抛物线,与x轴正半轴有两个不
同的交点,则{a>0,
-b
3a
>0,
c>0,
即{
a>0,
b<0,
c>0,
故选A.
评析本题考查导数的应用及运用图象解题的能力.
10.(2015浙江,5,5分)函数f(x)=(x-1
x
)cos x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()
答案 D 因为f(-x)=(-x +1
x
)cos(-x)=-(x -1x
)cos x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A 、B.当0<x<1时,x-1
x
<0,cos x>0,所以f(x)<0,排除C,故选D.
11.(2013课标Ⅰ文,9,5分)函数f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图象大致为( )
答案 C 因为f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cos x)·sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项B;当x ∈(0,π)时,1-cos x>0,sin x>0,所以f(x)>0,排除选项A;又函数f(x)的导函数f '(x)=sin x ·sin x+(1-cos x)·cos x,所以f '(0)=0,排除D.故选C.
评析 本题考查对函数图象的识辨能力,考查综合运用所学知识的意识,体现了数形结合的思想方法;难点是判断选项C 中f '(0)=0.
12.(2012课标理,10,5分)已知函数f(x)=
1
ln(x+1)-x
,则
y=f(x)的图象大致为( )
答案 B 令g(x)=ln(x+1)-x,则g'(x)=1
x+1-1=-x
x+1, ∴当-1<x<0时,g'(x)>0,
当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)max =g(0)=0.
∴f(x)<0,排除A 、C,又由定义域可排除D,故选B.
评析 本题考查了函数的图象,考查了利用导数判断函数单调性,求值域,考查了数形结合的数学思想. 13.(2013北京理,5,5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)=( )
A.e x+1
B.e x-1
C.e -x+1
D.e -x-1
答案 D 与曲线y=e x 关于y 轴对称的图象对应的函数为y=e -x ,将函数y=e -x 的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,∴f(x)=e -(x+1)=e -x-1,故选D.
14.(2012湖北文,6,5分)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )
答案 B 当x=1时,y=-f(1)=-1,排除A 、C. 当x=2时,y=-f(0)=0,故选B. 评析 结合选项,利用特殊值求解.
考点二 函数图象的应用
1.(2018课标Ⅲ,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x 的图象关于直线x=1对称的是( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 答案 B 本题考查函数图象的对称性.
解法一:y=ln x图象上的点P(1,0)关于直线x=1的对称点是它本身,则点P在y=ln x图象关于直线x=1对称的图象上,结合选项可知,B正确.故选B.
解法二:设Q(x,y)是所求函数图象上任一点,则其关于直线x=1的对称点P(2-x,y)在函数y=ln x的图象上,∴y=ln(2-x).故选B.
2.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)={|x|+2,x<1,
x+2
x
,x≥1.
设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|x
2
+a|在R上恒成立,则
a的取值范围是()
A.[-2,2]
B.[-2√3,2]
C.[-2,2√3]
D.[-2√3,2√3]
答案A令g(x)=|x
2
+a|,
当a≤0时,如图1所示,
若f(x)≥g(x)恒成立,
则g(0)≤2,得a≥-2,
∴-2≤a≤0;
图1
当a>0,x≥1时,如图2所示,f(x)=x+2
x
,
则f'(x)=1-2
x2,由f'(x)=1
2
,得x=2,此时y=3,
∴点B(2,3),则g(2)=2
2
+a≤3,得a≤2,∴0<a≤2.
图2
综上可知,-2≤a≤2.
思路分析作出函数y=f(x)的图象,借助于图象的直观性求出f(x)≥|x
2
+a|在R上恒成立时a的取值范围.
3.(2017山东理,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()
A.(0,1]∪[2√3,+∞)
B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,√2]∪[2√3,+∞)
D.(0,√2]∪[3,+∞)
答案 B ①当0<m ≤1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=√x +m 的图象,如图.
易知此时两函数图象在x ∈[0,1]上有且只有一个交点;
②当m>1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=√x +m 的图象,如图.
要满足题意,则(m-1)2≥1+m,解得m ≥3或m ≤0(舍去), ∴m ≥3.
综上,正实数m 的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).
方法总结 已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法:
①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围.
②分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决.
③数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
4.(2016课标Ⅱ,12,5分)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1m
x i =( )
A.0
B.m
C.2m
D.4m
答案 B 由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x 2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以∑i=1m
x i =m
2×2=m,
故选B.
5.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)={|x|,x ≤m,x 2-2mx +4m,x >m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x 的方程
f(x)=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 . 答案 (3,+∞)
解析 f(x)的图象如图所示,
若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,
只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,
又m>0,所以m>3.
方法总结分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.
6.(2015安徽文,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.
答案-1
2
解析若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-1
.
2。