高考数学一轮复习 指数与指数函数跟踪检测 理(含解析)新人教A版(1)

课时跟踪检测(九) 指数与指数函数
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·东北三校联考)函数f (x )＝a x －
1(a >0，a ≠1)的图像恒过点A ，下列函数中图像不经过点A 的是( )
A ．y ＝1－x
B ．y ＝|x －2|
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝log 2(2x )
2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1
3x 2 的值域是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(0,1)
C ．(0,1]
D ．[1，＋∞)
3．函数f (x )＝2|x －1|的图像是( )
4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．b >c >a 5．当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B.⎝⎛⎭⎫2
2，1
C.⎝⎛⎭⎫2
2，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)
6．计算：⎝⎛⎭⎫3
213×⎝⎛⎭⎫－7
60
＋81
4×42－ ⎝⎛⎭⎫－232
3＝________.
7．已知函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫1－a
2x 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．
8．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9，则f (x )的单调递减区间是________．
9．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．
10．已知函数f (x )＝3x －13
|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；
(2)判断x >0时，f (x )的单调性；
(3)若3t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．
第Ⅱ组：重点选做题
1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭
⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数
g (x )的最小值是________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选A 由f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图像恒过点(1,1)，又0＝
1－1，知(1,1)不在y ＝1－x 的图像上．
2．选C ∵x 2≥0，∴⎝⎛⎭⎫13x 2
≤1，即值域是(0,1]． 3．选B f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ≥1，
⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，故选B. 4．选A 由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图像可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .
综上，a >b >c .
5．选C 当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝a x 是一个增函数，则有
a 2<2，可得－2<a <2，故有1<a <2；
当0<a <1时，y ＝a x 是一个减函数，
则有a －2<2，可得a >
22或a <－22(舍)， 故有22
<a <1. 综上可得，a ∈⎝⎛⎭
⎫22，1∪(1，2)． 6．解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭
⎫2313＝2. 答案：2 7．解析：由题意得，不等式1－a 2x >0的解集是(1，＋∞)，由1－a 2
x >0，可得2x >a ，故x >log 2a ，由log 2a ＝1得a ＝2.
答案：2
8．解析：由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.
因此f (x )＝3|2x －4|，
又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]
9．解：令t ＝a x (a >0且a ≠1)，
则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．
①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，
t ＝a x ∈⎣⎡⎦
⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦
⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.
所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，
所以a ＝－15或a ＝13
. 又因为a >0，所以a ＝13
.
②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，
此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．
所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，
解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13
或3. 10．解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0， ∴f (x )＝2无解．
当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x －13x ＝2. ∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x ＝1±2. ∵3x >0，∴3x ＝1＋ 2.
∴x ＝log 3(1＋2)．
(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x －13x 在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴f (t )＝3t －13t >0. ∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为
3t ⎝⎛⎭⎫32t －132t ＋m ⎝⎛⎭
⎫3t －13t ≥0， 即3t ⎝⎛⎭
⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t －1. 令g (t )＝－32t －1，则g (t )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.
∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题
1．选D 由f (x －1)＝f (x ＋1)可知T ＝2. ∵x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，
又∵f (x )是偶函数，∴可得图像如图．
∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫1
10
x在x∈[0,4]上解的个数是4个．故选D.
2．解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－1
2x
为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，
g(x)＝f(－x)＝2－x－1
2－x
为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0. 答案：0。