四川省达州市2019-2020学年高考模拟化学试题(市模拟卷)含解析

四川省达州市2019-2020学年高考模拟化学试题（市模拟卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320
C ．180
D ．120
【答案】C 【解析】 【分析】
在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】
两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，
又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432
882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.
2．已知,a b ∈R ，函数32
,0
()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->
【答案】C 【解析】 【分析】
当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …
时，32321111
()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=
-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】
当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b
x a
=
-；()y f x ax b =--最多一个
当0x …
时，32321111
()(1)
(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，
当10a +…，即1a -…时，0y '…
，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；
当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，
如图：
∴01b a <-且32
11(1)(1)(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31
0(116
,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
3．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A a b b a <
B a b b a >
C ．a
b
e b e a -<- D ．a
b
e b e a ->-
【答案】D 【解析】
利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【详解】
已知0a b >>，赋值法讨论0a b >>的情况： （1）当1a b >≥时，令2a =，1b =，则a b b a -<
-，a b e b e a ->-，排除B 、C 选项；
（2）当01b a <<≤时，令12a =，1
3
b =，则a b b a ->-，排除A 选项.
故选：D. 【点睛】
比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题． 4．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A ．8
B ．
83
C ．4
D ．
43
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积． 【详解】
根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：
结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形， 高为PA=2，
∴四棱锥的体积为2124
2323
V =⋅⋅=.
故选：D. 【点睛】
本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.
5．已知实数,x y 满足线性约束条件1
020
x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩
，则1
y x +的取值范围为（ ）
A ．(-2,-1］
B ．(-1,4］
C ．[-2,4)
D ．[0,4]
【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），
1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)
410
QA k --=
=-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．
故选：B ．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，
本题1
y x
+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
6．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若
,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=u u u r u u u r u u u r
，则AOB ∠的最小值为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得2212cos m n mn AOB =++∠，再利用基本不等式即可求解． 【详解】
将OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r
平方得2212cos m n mn AOB =++∠，
222211()2331
cos 1122222()
2
m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-
+⨯ （当且仅当1m n ==时等号成立），
0AOB π<∠<Q ，
AOB ∴∠的最小值为
23
π
，
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
7．已知双曲线22
22:1(0,0)x y a b a b
Γ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分
别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）
A ．
17
B ．
32
C ．
53
D ．
10 【答案】D 【解析】 【分析】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，
'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，
AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，
'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()222
3242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：2
2
2
''FF BF BF =+，即()
()2
2
2
23c a a =+，故2252
c a =，故10
e =. 故选：D .
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．31log 5+ B ．6
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【详解】
由题意313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L
53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．
故选：D ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 9．函数()
sin x y x
-=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()
sin x y x
-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，
当x π=时，sin 0x
x
=，排除D ， 故选：A ．
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．
10．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x π
π+=-（
）（），且58
f π
=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7
C ．5
D ．5或8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的对称轴8
x π=以及函数值，可得结果.
【详解】
函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，
若88f x f x π
π
+=-（
）（），则()f x 的图象关于8x π
=对称， 又58
f π
=（
），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】
本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题
11．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）
A ．10
111
432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
B ．11
1132⎛⎫+ ⎪⎝⎭
C ．11
1132⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．10
111
232
⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两
条路，其概率为
12
3
n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121
133
n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项.
由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .
①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为
()12
23
n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是
()()11
1,23
n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即111
33
n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，
∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232
n
n P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，10
10111
232
P ⎛⎫=⋅+ ⎪
⎝⎭， 故选：D. 【点睛】
本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.
12．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3
OM ON
OP +=u u u u r u u u r
u u u r ，
且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 3
3t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u
r ,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判
断()
g t 的零点的个数,即为所求. 【详解】
设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 33
3OM ON t OP t t +⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r
u u u r ,
依题意可得1
ln 03t t
+
=,
设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t
-'=-=, 当103
t <<
时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当1
3t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,
所以min
1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫
=-+>=> ⎪⎝⎭
,
1
()ln 03g t t t
∴=+
=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【点睛】
本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若存在直线l 与函数1
()(0)f x x x
=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．
【答案】【解析】 【分析】 【详解】
设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1
(,)(0)A m m m
<，2(,)B n n a +，
因为2
1()f x x '=-
，所以函数()f x 的图象在点A
处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212
y x m m =-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以2
2122n m n a m ⎧
=-⎪⎪⎨⎪-+=
⎪⎩
，所以4
124a m m =+， 令1(0)t t m =
<，设41
()2(0)4
h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，
当t <()0h t '
<，函数()h t
单调递减；当0t <<时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，
所以min
()(h t h ==，所以实数a
的最小值为 14．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于
2
3
且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②③ 【解析】 【分析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【详解】
函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26
ln 2ln 4ln
ln(1)44x f x x x x x
+=+--==-+--， 6
14u x
=-+
-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确； 22
116662'()2482(1)993
f x x x x x x =
+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确； 2116
'()2428
f x x x x x =
+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，
显然1x =是()g x 即
'()f x 的极小值点，④错误．
故答案为：①②③. 【点睛】
本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．
15．直线l 是圆1C ：22(1)1x y ++=与圆2C ：22
(4)4x y ++=的公切线，并且l 分别与x 轴正半轴，y 轴
正半轴相交于A ，B 两点，则AOB ∆的面积为_________
【答案】2
【解析】 【分析】
根据题意画出图形，设,OA a OB b ==，利用三角形相似求得,a b 的值，代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】
如图所示，设,OA a OB b ==， 由2ABC ∆与2ADC ∆相似，可得
11
42
a a +=+，解得2a =，
再由AOB ∆与2AEC ∆相似，可得1b =，解得b =
由三角形的面积公式，可得AOB ∆的面积为1122
22222
S ab =
=⨯⨯=
. 故答案为：
2
2
.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
16．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN =_________． 【答案】32
【解析】 【分析】
由题意可得1(,0)2
F ，又由于M 为FN 的中点，且点N 在y 轴上，所以可得点M 的横坐标，代入抛物线方程中可求点M 的纵坐标，从而可求出点N 的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】
解：因为F 是抛物线2
:2C y x =的焦点，所以1(,0)2
F ，
设点M 的坐标为00(,)x y ，
因为M 为FN 的中点，而点N 的横坐标为0， 所以014x =
，所以2
011242y =⨯=，解得022
y =±，
所以点N 的坐标为(0,2)
所以13242
FN =+=， 故答案为：
3
2
【点睛】
此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()sin ln 1f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 在点,22f ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程； （Ⅱ）求证：()f x 在(0,)π上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数()f x 在(0,2)π上的零点个数． 【答案】（Ⅰ）2
ln
12
y x π
π
=+-；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数()f x 在(0,2)π有3个零点．
【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出导数，写出切线方程；
（Ⅱ）二次求导，判断()f x '
单调递减，结合零点存在性定理，判断即可； （Ⅲ）ln 1sin x x =-，数形结合得出结论． 【详解】
解：（Ⅰ）1()cos f x x x '=+，()1ln 1ln 222f πππ=+-=，2
()2f ππ
'=， 故()f x 在点(
2π，())2f π处的切线方程为2ln ()22
y x ππ
π-=-， 即2ln 12
y x π
π=+-；
（Ⅱ）证明：1
()cos f x x x
'=+，(0,)x π∈，
21
()sin 0f x x x
''=--<，故()f x '在(0,)π递减，
又2()02f ππ'=>，1
()10f ππ
'=-+<，
由零点存在性定理，存在唯一一个零点(
,)2
m π
π∈，1
()cos 0f m m m
'=+
=， 当(0,)x m ∈时，()f x 递增；当(,)x m π∈时，()f x 递减， 故()f x 在(0,)π只有唯一的一个极大值； （Ⅲ）函数()f x 在(0,2)π有3个零点． 【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程，考查零点存在性定理的应用，关键是能够通过导函数的单调性和零点存在定理确定导函数的零点个数，进而确定函数的单调性，属于难题． 18．已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =+.
（1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；
（2）若l 与C 交于A ，B 两点，O
是原点，且OAB S =V k 的值. 【答案】（1
）(1)( 1.1)-⋃-⋃；（2）0k =
或2
k =±. 【解析】 【分析】
（1）联立直线方程与双曲线方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；
（2）设()11,,A x y ()22,B x y ，由（1）可得12,x x 关系，再由直线l 过点(0,1)，
可得121
2
OAB S x x =-=V 进而建立关于k 的方程，求解即可. 【详解】
（1）双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，
则方程组22
1
1
y kx x y =+⎧⎨-=⎩有两个不同的实数根， 整理得(
)2
2
1220k
x
kx ---=，
()
2
22
104810k k k ⎧-≠⎪∴⎨∆=+->⎪⎩
，
解得k <<
1k ≠±.
双曲线C 与直线l 有两个不同交点时， k
的取值范围是(1)( 1.1)-⋃-⋃.
（2）设交点()11,,A x y ()22,B x y ，直线l 与y 轴交于点(0,1)D ，
122122212
1k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-∴⎨-⎪⋅=⎪-⎩
，1212OAB S x x =-=V Q (
)
2
2
12x x ∴-=，即2
22
28811k k k
-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭， 整理得42230k k -=，解得0k =或2
32
k =
0k ∴=
或k =
又k <<Q 0k ∴=
或k =AOB V
.
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
19．已知向量(
)1cos ,1,,2a x b x ⎫=-=-⎪⎭r r ，函数()()
2f x a b a =+⋅-r r r
．
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知函数()f x 的图像经过点1,
2A ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，,,b a c 成等差数列，且9AB AC ⋅=u u u v u u u v
，求a 的值．
【答案】（1）π，(),36k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦（2
）a =
【解析】 【分析】
（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简()f x 得()sin 26f x x π⎛
⎫
+
⎝
=⎪⎭
，故可求其周期与单调性； （2）根据图像过1,
2A ⎛⎫ ⎪
⎝⎭得到()1
2
f A =，故可求得A 的大小，再根据数量积得到bc 的乘积，最后结合余弦定理和2b c a +=构建关于a 的方程即可． 【详解】
（1）()(
)
2122cos 22sin 226f x a b a a a b x x x π⎛
⎫=+⋅-=+⋅-==+ ⎪⎝
⎭r r r r r r ，
最小正周期：22
T π
π==， 由()222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得()36
k x k k ππ
π-
≤≤π+∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
； （2）由()1sin 262f A A π⎛
⎫
=+
= ⎪⎝
⎭可得：()5222666
A k k k Z πππππ+=++∈或， 所以3
A π
=
．
又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+
而1
cos 9,182
AB AC bc A bc bc ⋅===∴=u u u r u u u r ，
()2
2
222
214
cos 11,223612
b c a bc a a a A a bc +---∴===-=-∴=
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2
:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上E
上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.
【答案】（1）2
4y x =（2）)1y x =-
【解析】 【分析】
（1）由抛物线的定义可得22
p
PF =+
，即可求出p ，从而得到抛物线方程； （2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入2
4y x =，得2
440y ty --=.
设()11,A x y ，()22,B x y ，列出韦达定理，表示出中点N 的坐标，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则0OM ON ⋅=u u u u r u u u r
即可求出参数t ，从而得解； 【详解】
解：（1）由抛物线定义，得232
p
PF =+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为2
4y x =.
（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入2
4y x =，得2
440y ty --=.
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.
由2114y x =，2
224y x =，得
()()()22
22
21
21212
122424424444
y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+， 所以(
)
2
21,2N t t +.
因为直线m 的斜率为1
t
，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--.
由()1,1,x y t x =-⎧⎨=--⎩
解得()1,2M t -.
若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，
则()22
12122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=u u u u r u u u r ，解得t =±
所以直线m 的方程为()21y x =±-. 【点睛】
本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题. 21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1,AC AB AB BC ⊥=.
（1）求证：1BC ⊥平面1AB C ；
（2）若11,60AB B C CBB ⊥∠=︒，求二面角111B AA C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）1
7
【解析】 【分析】
（1）根据菱形性质可知11BC B C ⊥，结合1AC
AB ⊥可得1OA OC OB ==，进而可证明BOA BOC ∆≅∆，
即1BC OA ⊥，即可由线面垂直的判定定理证明1BC ⊥平面1AB C ；
（2）结合（1）可证明1,,OA OB OB 两两互相垂直.即以O 为坐标原点，OB uuu r
的方向为x 轴正方向，||OB uuu r
为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面11B AA 和平面11C AA 的法向量，即可求得二面角111B AA C --的余弦值. 【详解】
（1）证明：设11BC B C O =I ，连接OA ，如下图所示：
∵侧面11BB C C 为菱形，
∴11BC B C ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点， 又1AC
AB ⊥，则1CAB ∆为直角三角形，
1OA OC OB ∴==，
又AB BC =，
(),BOA BOC SSS ∴∆≅∆ OA OB ∴⊥，即1BC OA ⊥，
而1,OA B C 为平面1AB C 内的两条相交直线，
1BC ∴⊥平面11AB C .
(2)1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥⋂=Q
1B C ∴⊥平面ABO ，
AO ⊂Q 平面ABO ，
1B C AO ∴⊥，即1OA OB ⊥，
从而1,,OA OB OB 两两互相垂直.
以O 为坐标原点，OB uuu r
的方向为x 轴正方向，||OB uuu r
为单位长度，建立如图的空间直角坐标系O xyz -
160CBB ∠=︒Q ，
1CBB ∴∆为等边三角形，
AB BC =Q ，
333(0,A B C ∴， 111133333,,0,AB AA BB AC AC ⎛⎛⎫⎛∴===-== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，
设平面11B AA 的法向量为(,,)n x y z =r ，则1100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，即3
)030
y z x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
∴可取n =r
，
设平面11C AA 的法向量为m u r ，则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u v v u u u v v .
同理可取m =u r
1cos ,7
n m
n m n m
⋅<>==
=
⋅r u r
r u r Q r u r ， 由图示可知二面角111B AA C --为锐二面角， ∴二面角111B AA C --的余弦值为1
7
. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.
22．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
222sin A b a c =+-. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若5c =，1
cos 7
B =，求b . 【答案】（Ⅰ）3
A π
=（Ⅱ）8
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即可求出A,
（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出. 【详解】
（Ⅰ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 所以2222cos b c a bc A +-=，
所以
1
sin 2cos 32
bc A bc A =，
即tan A = 因为0A π<<， 所以3
A π
=
；
（Ⅱ）因为1cos 7B =
，所以sin 7
B =， 因为()sin sin
C A B =+，
sin cos cos sin A B A B =+
11272714
=
+⋅=
， 由正弦定理得sin sin b c B C =，所以sin 8sin c
b B C
=⋅=. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.
23．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111
n n
T S S S S =
+++⋯⋯+，证明：12n T <…． 【答案】（Ⅰ）2n
n a =，*n N ∈；（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得本题答案； （Ⅱ）化简求得n b ，然后求得1
n
S ，再用裂项相消法求n T ，即可得到本题答案. 【详解】
（Ⅰ）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(
)*
n N ∈，1
2a
=，可设公比为q ，0q >，
又1322,,3a a a 成等差数列，
所以312223a a a =+，即222432q q ⨯=+⨯， 解得2q =或12
q =-
（舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈； （Ⅱ）证明：22log log 2n
n n b a n ===，
1
(1)2n S n n =
+，12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 则1231111111111
2(1)2(1)22311
n n T S S S S n n n =
+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 因为11012n <
≤+，所以112121n ⎛
⎫≤-< ⎪+⎝⎭
即12n T ≤<.
【点睛】
本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.。