河南省信阳市罗山县2021届高三毕业班第一次调研数学(理)试题含答案

罗山县2020—2021学年度上期高三第一次模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜2x －2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）
A ．（2，12）
B ．（一l ，3）
C ．（一l ，12）
D ．（2，3） 2．已已已已已已已已“”已“”已已 已 A已已已已已 B已已已已已已已已 C已已已已已已已已
D已已已已已已已已已已已
3．已已已已已已已已 已 A已
B已
C已
D已
4．已已已已已已已已已已已已已已已已已已已 已
A已
B已
C已
D已
5已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已 已 A已已已已已
B已已已已已
C已已已已已已已已已已 D已已已已已已已已已已
6已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已
已已已 已
()1,2=-a ()3,m =b m ∈R 6m =-()+∥a a b p 21,2n n n ∃>>p ⌝21,2n n n ∀>>21,2n n n ∃≤≤21,2n n n ∀>≤21,2n n n ∃>≤1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
()x f x a =0a >1a ≠R 2
2()a g x x -=(0,)+∞(,0)-∞(0,)+∞(,0)-∞()f x R [0,1]x ∈3()f x x =x ∀∈R ()(2)f x f x =-(2017.5)f =
A已
B已
C已0 D已
7 .已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是
( )．A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]
8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式
美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin
6
π
x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．136
B ．1
18
C ．1
12
D ．19
9.甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“四位同学去的景点不相同”，事件B=“甲同学独自去一个景点”，则P(A|B)=（ ）
A.29
B.13
C.49
D.59
10.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A．100 B．200 C．300 D．400
1818
-1220ln(1)0.
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，
，
11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭
为自然对数的底数与()2ln h x x
=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B．2
1,2e ⎡⎤-⎣⎦ C．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦
D．)22,e ⎡-+∞⎣ 12．已知方程ln ｜x ｜－212mx ＋
3
2
＝0有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（0，22e ）
B ．（0，2
2
e ] C ．（0，2e ] D ．（0，2e ）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题。

每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置。

13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量y 与价格x
之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y
x a =-+，则ˆa
= ． 14. 函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．
15．已知函数()f x ＝23111x
a x x a x ⎧⎨⎩（－）＋
，≥，，＜单调递减，则实数a 的取值范围为__________．
16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是y ＝f （x ），则对函数y ＝f （x ）有下列判断：①函数y ＝f （x ）是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f （x ＋2）＝f （x －2）；③函数y ＝f （x ）在区间[2，3]上单调递减；④函数y ＝f （x ）的值域是[0，1]；⑤2
0()f x dx
⎰＝
1
2
π＋．其中判断正确的序号是______．
三、解答题：共70分．（17题10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题10分）已知集合}03|{<≤-=x x A ，集合}2|{2x x x B >-= （1）求B A ⋂；（2）若集合}22|{+≤≤=a x a x C ，且C B A ⊆⋂)(，求实数a 的取值范围．
18. 已已已已已已已已已 已1已已已已已已已已已已已
已2已已已已已已
19.设命题
:p 函数
()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题
[]
:1,1q m ∀∈-，不等式
22538
a a m --≥+()11
x
a
f x e =
++()f x 2
22
(log )(log
3)0f x f x +-≤
恒成立，如果命题“p q
∨”为真命题，且“p q
∧”为假命题，求实数a 的取值范围
20.有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，
送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，
40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，
超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
(1)
求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，
回答下列两个问题：
(ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，
如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．21.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件
）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝4x＋1 x＋1
（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：“平均每件生产成本的15 0%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和．
（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
22．已知函数（为自然对数的底数）． （1）记，求函数在区间上的最大值与最小值； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值．
罗山县2020—2021学年度上期高三第一次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
C ACCC ADBAB B
D 二、填空题
13. 39.4 14. 3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 15.⎪⎭⎫
⎢⎣⎡1,43 16.①②⑤
三、解答题
17已已已已.解（1）由已知得)0,3[-=A ；
由22x x >-解得)1,2(-=B ， 所以)0,2(-=⋂B A ……5分
（2）由题意⎪⎩
⎪
⎨⎧+≤≤+-≤220222a a a a ，解得12-≤≤-a …………………10分
18.已已已已已1已已已已已∴
已 ∴已已 ∵()()
2
201x
x
e f x e
'=
>+已∴已已已已已已已已
已2已∵已∴已
已已已已已已∴已
∵已已已已已已已已∴已
∴已∴已∴已 19.已已已已思路：由“p q ∨”为真命题可得,p q 至少有一个为真，由“p q ∧”为假命题可得,p q 至少有一个为假。

两种情况同时存在时，只能说明,p q 是一真一假。

所以分为p 假q 真与p 真q 假进行讨论即可 解： 命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题
,p q ∴一真一假
若p 假q 真，则:p ⌝函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域不为R
()()f x f x -=-1111x x a a e e -⎛⎫
+=-+ ⎪++⎝⎭
22011
x x
x ae a
a e e ++=+=++2a =-()211
x f x e -=++(
)(
)2
2log 30f x f x +-≤(
)(
)
22log 3f x f x ≤--()f x (
)(
)
2
2log 3f x f x ≤-+()f
x 2
2log 3x x ≤-+2
22log 2log 30x x +-≤23log 1x -≤≤1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
2164022a a ∴∆=-≥⇒-≤≤
2:53q a a --≥恒成立
2max
533a a ∴--≥
=
25601a a a ∴--≥⇒≤-或6a ≥
21a ∴-≤≤-
若p 真q 假，则:p 函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R
216402a a ∴∆=-<⇒<-或2a >
[]:1,1q m ⌝∃∈-，不等式253a a --<
2max
533a a ∴--<= 解得16a -<<
26a ∴<<
综上所述：[]()2,12,6a ∈--
20.【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则P (A )＝C 330
C 350
＝29140.(3分)
(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则
当n ＝38时，X ＝38×6＝228；当n ＝39时，X ＝39×6＝234；当n ＝40时，X ＝40×6＝240；当n ＝41时，X ＝40×6＋7＝247；当n ＝42时，X ＝40×6＋14＝254.所以X 的分布列为
247 1
(7分)
E ()X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×
1
10＝238.6. (9分) (ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8， (10分) 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分) 因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．（意对即可） (12分) 21.【解析】（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q ＋4.5）万元， 每件销售价为32Q ＋4.5Q ×150%＋
x
Q ×25%．
∴年销售收入为(32Q ＋4.5Q ×150%＋x Q ×25%)·Q ＝32(32Q ＋92)＋1
4x ．
∴年利润W ＝32(32Q ＋92)＋14x －(32Q ＋92)－x ＝12(32Q ＋92)－34x ＝16Q ＋94－3
4x
＝16·4x ＋1x ＋1＋94－3
4x ，(x ≥0) ．
（2）令x ＋1＝t （t ≥1），则W ＝16·
4t －3t ＋94－34(t －1)＝64－48t ＋3－3
4
t ＝67－3(16t ＋t 4)．∵t ≥1，∴16t ＋t 4≥216t ·t 4＝4，即W ≤55，当且仅当
16
t
＝t
4，即t ＝8时，W 有最大值55，此时x ＝7． 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元． 22.【解析】 （1）∵， ∴， 令，则，
所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，
∴，
．
（2）∵对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立．
令，则．
由于，所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．即在单调递减，在上单调递增．
∴．
又，即，∴．
∴．
∵，∴．
又∵对任意恒成立，∴，
又，∴．。