2023-2024学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末月考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖南省娄底市新化县高二上册期末联考数学
模拟试题
一、单选题
1．已知向量()()()1,2,2,3,6,6,2,1,2a b c =-=--= ，则它们的位置关系是（
）
A ．a ∥b ，a ∥c
B ．a b ⊥ ，a c
⊥
C ．a b ⊥ ，b ∥c
D ．a ∥b ，b c
⊥ 【正确答案】D
【分析】由向量坐标运算即可判断共线和垂直.
【详解】由题可知：3b a =- 得//a b ，2240a c a c ⋅=+-=⇒⊥
66120b c b c ⋅=--+=⇒⊥ 故选：D.
2．在三棱柱111ABC A B C -中，D 是
1CC 的中点，F 是1A B 的中点，且DF AB AC αβ=+
，则
A ．1
,12
αβ==-B ．1,12
αβ=-=C ．11,2αβ==-
D ．11,2
αβ=-=
【正确答案】A
【分析】根据向量加法的多边形法则可得，
1111111111=222222
DF DC CB BF CC CB BA A A AB AC BA AA AB AC =++=++=+-++-
从而可求α，
β，
【详解】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
1111111111=222222
DF DC CB BF CC CB BA A A AB AC BA AA AB AC
=++=++=+-++-
∴α=
1
2
，β=﹣1，故选A ．
本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中
正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．
3．已知ABC 的三个顶点是()30A -,
，()6,2B ，()0,6C -，则边AC 上的高所在的直线方程为（）
A ．220x y +-=
B ．220x y --=
C ．240x y --=
D ．2140
x y +-=【正确答案】B
【分析】求出边AC 上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式方程可得答案.【详解】因为623=
=--AC k ，所以边AC 上的高所在的直线的斜率为1
2
k =，所以边AC 上的高所在的直线方程为()1
262
-=-y x ，即220x y --=.故选：B.
4．已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4
x y ++=【正确答案】C
【分析】设(,)M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.
【详解】设(,)M x y ，则(),A A A x y 满足3,(,)22A A x y x y +⎛⎫
= ⎪⎝⎭.故232A A
x x y y =-⎧⎨=⎩.故23(2),A x y -.
又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故2222(231)(2)4(1)1x y x y -++=⇒-+=.故选:C
本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.
5．已知1F ，2F 是椭圆C ：22
194
x y
+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（
）
A ．13
B ．12
C ．9
D ．6
【正确答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式
2
12122MF MF MF MF ⎛+⎫
⋅≤ ⎪⎝⎭
即可得到答案．
【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，
所以2
121292MF MF MF MF ⎛+⎫
⋅≤= ⎪⎝⎭
（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）
．故选：C ．
6．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>，1F ，2F 分别是双曲线的左､右焦点，M 是双曲线右支上
一点连接1MF 交双曲线C 左支于点N ，若2MNF 是以2F 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（
）
A
B
C ．2D
【正确答案】B
【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于a ，c 的齐次方程，即可求出离心率
【详解】设2MF m =，则2NF m =，MN =，12NF m a =-，12MF m a =-+，因为
122MF MF a -=，所以22a a -=，故m =，
在12NF F △中，由余弦定理可知()()
2
2
2
4282222c a a
a ⎛=-+--⋅⋅- ⎝⎭
，整理得
22412c a =，即23e =，所以e =
故选：B
7．设数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则1215a a a +++= （）A ．153B ．210
C ．135
D ．120
【正确答案】A
【分析】根据数列的通项公式，判断数列{}n a 为等差数列，并求得数列的前3项均小于0，从第4项起均大于0，对所求式子去掉绝对值，利用等差数列前n 项和，求得式子值.
【详解】因为270 3.5n a n n =-≥⇒≥，所以数列{}n a 是123,,a a a 均小于0，45,,a a 均大于0的等差数列，
所以121515
2413a a a a a a a a --++++=-++ 121341253())
2(a a a a a a a a ++=++++-+ 15(523)
2(531)2
⋅-+=
----153=.选A.
本题考查数列中的基本量法求数列的前n 项和，解题的关键在于判断各项的正负.
8．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为1
3
-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n ∈N ，均有
1
3n n
A S
B S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为（）
A ．
72
B ．
94
C ．
114
D ．
136
【正确答案】B 【分析】Sn 3322=-•1()3n -，①n 为奇数时，Sn 3322=+•1
()3
n ，根据单调性可得：32＜Sn ≤2；②n 为偶
数时，Sn 3322=
-•1()3
n
，根据单调性可得：43≤Sn 32＜．可得Sn 的最大值与最小值分别为：2，43．考
虑到函数y ＝3t 1
t
-在（0，+∞）上单调递增，即可得出．
【详解】Sn 12[1)33312213n ⎛⎤-- ⎥
⎝⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
•1()3
n
-，
①n 为奇数时，Sn 3322=+•1()3
n
，可知：Sn 单调递减，且3322+•13(32n >，∴32＜Sn ≤S 1＝2；
②n 为偶数时，Sn 3322=
-•1()3
n
，可知：Sn 单调递增，且3322-•13(32n <，∴43=S 2≤Sn 32＜．
∴Sn 的最大值与最小值分别为：2，
4
3
．考虑到函数y ＝3t 1
t
-在（0，+∞）上单调递增，
∴A
14113(3)34343
n min n S S ≤-
=⨯-=．
B 1111(3)3222
n max n S S ≥-
=⨯-=．
∴B ﹣A 的最小值11139244
=-=．故选B ．
本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果()2,1,4AB =-- ，
()4,2,0AD = ，()1,2,1AP =--
，则下列结论中错误的是（）
A ．AP AB
⊥ B ．⊥ AP AD
C ．AP
是平面ABCD 的法向量D ．AP//BD
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.
【详解】因为2240AB AP ⋅=--+=
，所以AB AP ⊥ ，故A 正确；
因为4400AP AD ⋅=-++= ，所以⊥
AP AD ，故B 正确；由A ，B 知，C 正确；
()2,3,4BD AD AB =-= 与()1,2,1AP =--
不平行，故D 错误．
故选：D.二、多选题
10．若直线过点()1,2A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（）
A ．10x y -+=
B ．30x y +-=
C ．20x y -=
D ．10
x y --=【正确答案】ABC
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【详解】当直线经过原点时，斜率为20
210
k -=
=-，所求的直线方程为y =2x ，即20x y -=；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y =k ，把点A （1，2）代入可得1-2=k ，或1+2=k ，求得k =-1，或k =3，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=；综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=．故选：ABC ．
本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．
11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为3
，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，
圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有A
．渐近线方程为y =B
．渐近线方程为3
y x =±C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒
【正确答案】BC
【分析】由离心率公式222
22
c a b a a +=化简可得渐近线方程，通过求圆心A 到渐近线的距离结合直角三
角形可得到MAN ∠的值.
【详解】双曲线2222:1y ,x y b C x a b a -==±的渐近线方程为
离心率为3
c a =
222222222411,33c a b b b b a a a a a 则则，+==+===
故渐近线方程为y =，取MN 的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d AP ab c
==,则
cos ab AP a c PAN AN b c
∠===
，所以221
cos cos 2212
a MAN PAN c ∠=∠=⨯-=则60MAN ∠=︒
故选
BC
本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.
12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，991001
01
a a -<-，则（
）
A ．01
q <<B ．9910110
a a -<C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198
【正确答案】ABD
【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】∵9910010a a ->，∴199000a a >，∴0q >.∵
991001
01
a a -<-，∴()()99100110a a --<，又11a >，∴01q <<.故A 正确.
由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，∴2
991011001a a a =<，∴9910110a a -<，1009910099T T a T =<，故
B 正确，
C 不正确.
∴()()()()99
198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===> ，
()()()199
1991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===< ，
∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确.故选：ABD 三、填空题
13．如图，在空间四边形ABCD 中，若AB a
=
，BD b = ，AC c = ，则CD =
____.【正确答案】a b c
+-r r r
【分析】由向量的运算法则即得
【详解】因为AB a =
，BD b = ，AC c = ，
所以CD CB BD CA AB BD AC AB BD a b c =+=++=-++=+- ，故a b c
+-r r r 14．已知圆C:22(2)(4)1x y m -++-=，当m 变化时，圆C 上的点与原点的最短距离是_________.【正确答案】1
【详解】解：圆C ：（x ﹣2）2+（y +m ﹣4）2＝1表示圆心为C （﹣2，﹣m +4），半径R ＝1的圆，求得|OC
|=，∴m ＝4时，|OC |的最小值为2
故当m 变化时，圆C 上的点与原点的最短距离是()OC 的最小值﹣R ＝2﹣1＝1，故答案为1．
15．抛物线
()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133
y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.【正确答案】6
【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB 的长，根据ABF △为等边三角形，得到关于p 的方程，即可求得答案.
【详解】抛物线()2
20x py p =>的焦点为(0,)2
p F ，其准线为2p y =-，
将2
p
y =-
与22133y x -=联立，得221312x p -=，解得x =
则||AB =，
由于ABF △为等边三角形，故
||2
AB p =，
p =，解得6p =，
故6
16．如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边
长为
2
，则其最小正方形的边长为________．
【正确答案】
132
【详解】由题意，正方形的边长构成以
2为首项，以 2
为公比的等比数列，现已知共得到1023个
正方形，则有11221023n -++⋯+=，∴10n =9
1
32=⎝⎭，故答案为1
32
.四、解答题
17．设{}n a 是各项均为正数的等比数列，且124a a +=，39a =．
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ31323)log log log n a a a ++⋯⋯+．
【正确答案】（Ⅰ）1
3n n a -=（Ⅱ）
()
12
n n -【分析】(Ⅰ)首项利用已知条件求出数列的通项公式;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步对数关系式的变换求出数列的和．
【详解】(Ⅰ)设首项为1a ，公比为q 的各项均为正数的等比等列，且124a a +=，39a =．
则：112
149
a a q a q +=⎧⎨=⎩，
解得：3
34
q =-或，(负值舍去)，所以：11a =，
则：11
133n n n a --=⋅=．
（Ⅱ）由于：1
3n n a -=，
所以：31323log log log n a a a ++⋯⋯+．
()312log n a a a =⋅⋯，()121n =++⋯+-，()()1112n n -+-=，
()
12
n n -=
．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数关系式的应用，等差数列的前n 项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．设公比为正数的等比数列
{}
n a 的前n 项和为n S ，已知38a =，248S =，数列{}
n b 满足
24log n n b a =.
(1)求数列
{}
n a 和
{}
n b 的通项公式；
(2)是否存在*N m ∈，使得1
2
m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，请
说明理由.
【正确答案】(1)62n
n a -=，424n b n =-+.
(2)存在，5或6
【分析】（1）设{}n a 的公比为,0q q >，利用等比数列的通项公式以及前n 项和公式，列方程组，
求得公比和首项，即得62n
n a -=；根据24log n n b a =即可求得424n b n =-+；
（2）结合（1）可得12m m m b b b ++⋅的表达式，进行变形化简为243t t ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭，由题意设12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的第0m 项，则()024346t m t ⎛⎫
++=- ⎪⎝⎭
，分类讨论t 的取值，可求得答案.
【详解】（1）设{}n a 的公比为,0q q >，又38a =,248S =，
则2111
848a q a a q ⎧=⎨+=⎩，解得12q = 或1
3q =-（舍），
所以12832a q ==，1
613222n n n a --⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭
，
()6224log 4log 246424n n n b a n n -===⨯-=-+，
即数列{}n a 的通项公式为62n
n a -=，
数列
{}n b 的通项公式为424n b n =-+.
（2）
()()()()122442044651644m m m m m m m b b b m m
++----⋅==--，由于*N m ∈，令4t m =-，3,0t t ≤≠，Z t ∈，所以
()()12421243m m m t t b b t b t t ++++⋅⎛⎫
==++ ⎪⎝
⎭，设
12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的第0m 项，则()024346t m t ⎛⎫
++=- ⎪⎝⎭
，
则2
3t t
+
+为小于等于5的整数，t 为2的约数，所以{}2,1,1,2t ∈--，当1t =或2时，2
36t t
++=，不合题意；
当1t =-或2t =-时，2
30t t
++=，与题意相符.
所以当1t =-或2t =-时，
即5m =或6m =时，12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项.
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90CAB ∠= ，2AB AC ==
，1AA =M 为BC 的中点，P 为侧棱1BB
上的动点．
(1)求证：平面APM ⊥平面11BB C C ；
(2)试判断直线1BC 与AP 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的长；若不能垂直，请说明理由．
【正确答案】(1)证明见解析
(2)不能垂直，理由见解析
【分析】（1）利用AM BC ⊥，1AM BB ⊥推出AM ⊥平面11BB C C ，即可证明面面垂直；
（2）建系，写出1,,B C A
的坐标，设(0BP t t =≤，利用直线1BC 与AP 能垂直，数量积为零，
求出3t =
，13t BB =>，不能垂直.【详解】（1）因为在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，90CAB ∠= ，2AB AC ==
，1AA =M 为BC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．
所以AM BC ⊥，1AM BB ⊥，
因为1BC BB B = ，1,BC BB ⊂平面11BB C C
所以AM ⊥平面11BB C C ，
因为AM ⊂平面APM ，
所以平面APM ⊥平面11BB C C ．
（2）以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
()020B ，，，(13C ，()000A ，，，设(03BP t t =≤，
则()(()10,2,,2,2,3,0,2,P t BC AP t =-= ，若直线1BC 与AP 能垂直，则10430BC AP t ⋅=-+= ，解得433t =
，因为14333t BB =>=，
所以直线1BC 与AP 不能垂直．
20．已知圆心坐标为（2，1）的圆C 与y 轴相切.
(1)求圆C 的方程；
(2)设直线0l x y m -+=：与圆C 交于A ，B 两点，从条件①，条件②中选择一个作为已知，求m 的值.条件①3AB =.120ACB ∠=
【正确答案】(1)()()22
214
x y -+-=(2)12
-【分析】（1）根据题意得出圆心和半径，即可得圆的方程；（2）对于①②均可根据垂径定理分析得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：圆C 的圆心坐标为()2,1C ，半径为2r =，
故圆C 的方程为()()22214x y -+-=.
（2）若选①：圆心C 到直线0l x y m -+=：
的距离1d ==，
1=
，解得1m =-若选②：圆心C 到直线0l x y m -+=：的距离cos601d r =︒=，
1=
，解得1m =-21．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>
经过点12P ⎫⎪⎪⎝⎭
，离心率为2，动点()()2,0M t t >.(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；
(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值.
【正确答案】(1)2
212
x y +=(2)()()22
125x y -+-=(3)
证明见解析，ON 【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量，可得出椭圆的方程；（2）确定所求圆的圆心坐标与半径，利用勾股定理求出圆心到直线3450x y --=的距离，结合点到直线的距离公式可得出关于t 的方程，由0t >求出t 的值，即可得出所求圆的方程；
（3）设()00,N x y ，由0FN OM ⋅= 可得出0022x ty +=，再由0MN ON ⋅= 可求得2200x y +的值，再利用平面内两点间的距离公式可求得ON 的值，即可证得结论成立.
【详解】（1
）解：由题意得2
c a =，①
因为椭圆经过点122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以2
222
121a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，②又222a b c =+，③
由①②③解得22a =，22
1b c ==，所以椭圆方程为2
212x y +=.
（2）解：以OM 为直径的圆的圆心为1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =故以OM 为直径的圆的方程为()2221124
t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2，
所以圆心到直线3450x y --=的距离2
t d ==.由点到直线的距离公式可得32522552t t t d --+=
==，0t > ，解得4t =，因此，所求圆的方程为()()2
2125x y -+-=.（3）证明：设()00,N x y ，则()001,FN x y =- ，()2,OM t = ，()002,MN x y t =-- ，()00,ON x y = ，
因为FN OM ⊥ ，则()00210FN OM x ty ⋅=-+= ，所以，0022x ty +=，
又因为MN ON ⊥，则
()()000020MN ON x x y y t ⋅=-+-= ，
所以，22000022x y x ty +=+=，所以，ON =.
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为F 为椭圆的右焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点()3,0A ，P 是椭圆上的点，求PA PF ⋅ 的最小值；
(3)点M 是以长轴为直径的圆O 上一点，圆O 在点M 处的切线交直线3x =于点N ，求证：过点M 且垂直于ON 的直线l 过定点.
【正确答案】(1)22
132
x y +=(2)6-
(3)证明见解析
【分析】（1）由长轴长得a ，再由离心率得c ，然后求出b 得椭圆方程；
（2）用三角换元法，设)
P θθ，[]()0,2πθ∈，由数量积的坐标运算把数量积表示为θ的三角函数形式，利用三角函数的性质、二次函数性质可得最小值；
（3）设()3,N t ，()00,M x y ，则22003x y +=，由圆切线性质得出00330x y t +-=，按0=t 和0t ≠分
类讨论得出直线MN 的方程，根据刚才和关系式可得直线所过定点坐标．
【详解】（1
）由题意得2,3a c a
⎧=⎪⎨=⎪⎩
解得a =1c =，所以222
2b a c =-=，则椭圆C 的方程为22
132x y +=.（2）由P 是椭圆22
132
x y +=上的动点，
可设)P θθ，[]()0,2πθ∈，
则()3,PA θθ=
，()
1,PF θθ=- ，
所以(
)(
)(
)()
31PA PF θθθθ⋅=--+-⋅-
2233cos 2sin θθθ
=-+
+2cos 5θθ=-+,
因为[]cos 1,1∈-θ，
所以当cos 1θ=时，PA PF ⋅
取得最小值，最小值为6-，
（3）由题意知，圆O 的方程为223x y +=，
设()3,N t ，()00,M x y ，则22003x y +=，
由223ON MN =+，得()()22
2200333t x y t +=+-+-，即2222000093692t x x y ty t +=+-++-+，
即2200003620x x y ty +-+-=，
因为22003x y +=，所以00330x y t +-=，
当0=t 时，01x =，直线l 的方程为1x =，直线l 过椭圆的右焦点()1,0F ，
当0t ≠时，直线MN 的方程为()003y y x x t
-=-
-，即0033ty ty x x -=-+，即()31ty x =--，
直线l 过椭圆的右焦点()1,0F ，
综上所述，直线l 过椭圆C 的右焦点()1,0F .
方法点睛：直线过定点问题，一般设出动点坐标（或其他参数），由动点坐标（参数）表示出动直线方程，再结合动点坐标（参数）满足的性质观察直线方程得出定点坐标．。