反证法(学生版)

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宜春中学数学学科2-2册笫一章第五课时反证法导学案编号：05
编写：郑金龙审核：高二数学理科备课组
学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点；
3. 会用反证法证明问题.
学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程
学习难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
学习过程：
一、预习导航，要点指津（约3分钟）
问题1：已知A为平面BCD外的一点，直线AB、CD是异面直线吗?
答：AB、CD一定是异面在线,证明如下：假设AB、CD不是异面直线，则AB、CD共面，从而
A、B、C、D四点共面, 这与A为平面BCD外的一点矛盾, 即假设不成立, 故直线AB、CD是异面
直线。

问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。

则C必定是在撒谎，为什
么？
证明如下：假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设
C没有撒谎不成立，则C必定是在撒谎.
上面的证明方法叫作用反证法
反证法的概念与步骤
1.概念:（1）在证明数学命题时，先假定命题结论的_____成立，在这个前题下，若推出的结果与
__________________相矛盾，或与命题中的_____________相矛盾，或与_________相矛盾，从而说明
命题结论的反面_________成立，由此断定命题的结论_______. 这种证明方法叫作___________.
（2）反证法是一种________证明的方法。

2．反证法的证明步骤：（1）作出否定_______的假设；（2）进行推理，导出________；
（3）否定假设（即假设不成立），肯定原命题的________成立.
二、自主探索，独立思考（约10分钟）
1.用反证法证题时，否定结论准确写出结论的反设词至关重要，也是一个难点，请同学在下表中写出
一些常见结论词的反设词：
原结论词是都是至少有一个至少有n个至多有一个至多有n个
反设词
原结论词只有一个
对所有x
成立
对任意x
不成立
> < p或q p且q
反设词
2.已知0,0
x y
>>，且2
x y
+>，试证：
11
,
x y
y x
++
中至少有一个小于2.
3. 2.
4.求证：2,3不可能是一个等差数列中的三项。

5. 如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平
行于直线b。

三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟）
各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。

四、展示你的收获（约8分钟）
由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方
法、知识技巧。

（即学习成果）
五、重、难、疑点评析（约5分钟）
由教师归纳总结点评
六、达标检测（约8分钟）
1.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）.
A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒
C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒
2. 设,,
a b c都是正数，则三个数
111
,,
a b c
b c a
+++（）.
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2
3.设,a b是两个实数,给出下列条件: ①1
a b
+>；②2
a b
+=；③2
a b
+>；④222
a b
+>.
其中能推出“,a b中至少有一个大于1”的条件是__________(填序号)
5. 桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，请证明: 无论怎么翻转，都不能使
硬币全部反面朝上。

七、课后练习
1.实数,,
a b c不全为0等价于为（）.
A．,,
a b c均不为0 B．,,
a b c中至多有一个为0
C．,,
a b c中至少有一个为0 D．,,
a b c中至少有一个不为0
\2. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠有有理根，那么a b c
，，中至少有
一个是偶数时，下列假设中正确的是（）
Ａ．假设a b c
，，都是偶数Ｂ．假设a b c
，，都不是偶数
Ｃ．假设a b c
，，至多有一个是偶数Ｄ．假设a b c
，，至多有两个是偶数
3. 用反证法证明命题“自然数,,
a b c中恰有一个偶数”的反设为___________________________..
4. 已知100
4
3
2
1
>
+
+
+a
a
a
a，求证：
4
3
2
1
a
a
a
a，
，
，中，至少有一个数大于25.
5. 已知直线,a b和平面α，如果,
a b
αα
⊄⊂，且||
a b，求证||
aα。

6. 设二次函数q
px
x
x
f+
+
=2
)
(，
求证：)3(
,)2(
,)1(f
f
f中至少有一个不小于
2
1
.
7. 设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．
8. 设23
3
=+b a ，求证.2≤+b a
9．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负
数．。