数学高二-选修2-1第3章-2.1课时作业

选修2-1第3章-2.1课时作业
一、选择题
1．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－1，则实数a的值是()
A.1
4 B.
1
2
C．－1
4D．－
1
2
【解析】x2＝1
a y，∴准线方程为y＝－
1
4a，
∴－1
4a＝－1，∴a＝1 4.
【答案】 A
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()
A．4 B．6
C．8 D．12
【解析】由抛物线的方程得p
2＝
4
2＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距
离为4＋2＝6.
【答案】 B
3．抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离是10，则点P的坐标是()
A．(±6,9) B．(9，±6)
C．(9,6) D．(6,9)
【解析】设P(x0，y0)，则|PF|＝x0－(－1)＝x0＋1＝10，
∴x0＝9，
∴y20＝36，
∴y0＝±6.
【答案】 B
4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心
的轨迹方程是()
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
【解析】设动圆的半径为r，圆心为O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
【答案】 A
5．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()
A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
【解析】点P在第四象限，故该抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．
则(－2)2＝8p，∴p＝1 2，
∴抛物线方程为y2＝x.
当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．则42＝4p，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝－8y.
【答案】 A
二、填空题
6．抛物线x2＝－12y的焦点坐标是________．
【解析】由抛物线方程得p＝12
2＝6，故焦点坐标为(0，－3)．
【答案】(0，－3)
7．已知抛物线的准线方程是x＝1，则该抛物线的标准方程是________．
【解析】由题意知，p
2＝1，∴p＝2，∴抛物线标准方程为y
2＝－4x.
【答案】y2＝－4x
8．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．
【解析】 设抛物线方程为y 2＝2px ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
y 21＝2px 1y 22＝2px 2⇒(y 21－y 22)＝2p (x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2
·(y 1＋y 2)＝2p ⇒2p ＝1×4⇒p ＝2. 故y 2＝4x .
【答案】 y 2＝4x
三、解答题
9．分别求符合下列条件的抛物线方程：
(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；
(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.
【解】 (1)由题意，方程可设为
y 2＝mx 或x 2＝ny .将点A (2,3)的坐标代入，
得32＝m ·2或22＝n ·3，
∴m ＝92或n ＝43.
∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .
(2)由焦点到准线的距离为52可知p ＝52.
∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .
10．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．
【解】 由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得其焦点坐标为F (－p 2，0)，准线
方程为x＝p
2，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即
p
2－(－9)＝10，
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，
∴点M(－9,6)或(－9，－6)．
11．设P是曲线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|＋|PF|的最小值．
【解】(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离，于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为22＋1＝ 5.
(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，
此时，|P1Q|＝|P1F|，
那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.。