吉林省长春实验高中2019届高三第三次月考文科数学试题(精编含解析)

吉林省长春实验高中2019届高三第三次月考+文科数学
一、选择题
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
,故,故选A.
2.设复数，则（）
A. B. ． C. D.
【答案】C
【解析】
∵
∴
故选：C
3.若双曲线的一个焦点为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为双曲线的一个焦点为，所以，故选B.
4.设向量a、b满足|a|＝1，，且a·b＝1，则|a－2b|＝
A. 2
B. 5
C. 4
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，代入条件即可得解.
【详解】由|a|＝1，，且a·b＝1，
则.
故选D.
【点睛】本题主要考查了向量的模的计算，属于基础题.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 5
B. 6
C. 6.5
D. 7
【答案】B
【解析】
由几何体的三视图可知该几何体可由边长为2的正方体切去而得，
∴该几何体的体积为
故选：B
6.函数的部分图象如图，且，则图中的值为（）
A. 1
B.
C. 2
D. 或2
【答案】B
【解析】
因为，则，由于，所以，则，由可得
，即，由于函数的最小正周期是，所以，应选答案B。

7.设满足约束条件则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由约束条件作出可行域如图，
易得A（﹣1，1），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为﹣3．
故选：A．
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
8.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根题意得到，n=1,S=1,
N=2,S=3;
N=3,S=6;
N=4,S=10;
N=5,S=15;此时S>11,输出S=15.
故答案为：C。

9.若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
令，解得：，设，作出的图象，当时，满足题意.
故选：C
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
10.设的内角，，的对边分别是，，，已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意b+acosC=0，即b=﹣acosC，
∵sinA=2sin（A+C），
∴sinA=2sinB，即a=2b．那么：=﹣acosC．
即cosC=．
由余弦定理可得：，又a=2b
∴，
∴
故选:A
11.已知圆过抛物线的交点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆的圆心不在轴上，且与直线
相切，则圆的半径为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，
设圆C的圆心为C（﹣1，h），则圆C的半径r=，
∵直线x+y﹣3=0与圆C相切，
∴圆心C到直线的距离d=r，即=，
解得h=0（舍）或h=﹣8．
∴r==14．
故选：D
12.若函数在（2,3）上有极大值，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵
∴．
由题意得，方程必有一根在区间内，
从而．
设，
则当时，；当时，．
∴当，即时，函数在上有极大值．选B．
点睛：
函数在区间（2,3）上有极大值，可转化为函数在区间（2,3）上有变号零点（且导函数的符号在该零点前后分别为正、负），然后通过分离参数和讨论的符号可得所求范围．
第Ⅱ卷
二、填空题
13.某地区有1000家超市，其中大型超市有150家，中型超市有250家，小型超市有600家.为了了解各超市的营业情况，从中抽取一个容量为60的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有__________ 家．
【答案】36
【解析】
根据分层抽样，按照比例得到小型超市有
故答案为：36.
14.若函数，则__________．
【答案】7
【解析】
.
故答案为：7
15.若，且为钝角，则__________．
【答案】-5
【解析】
，则
故答案为：-5.
16.在四面体中，平面，，，点为的重心，若四面体的外接球的表面积为，则_______.
【答案】2
【解析】
分析：结合题意先确定的外心O的位置，进而求得外接圆的半径．然后根据四面体外接球的表面积求得外接球的半径，由此可求得，最后根据
求解即可得到结论．
详解：设BC的中点为E．
∵点是的重心，
∴．
设的外心为O，由题意得点O在AE上，
令，则有，即，解得．
又平面，
∴四面体的外接球的半径，
由题意得，
解得，
∴．
点睛：本题求四面体外接球半径的方法具有一般性，其条件是在三棱锥中，平面，设
外接圆的半径为，外接球半径为，则．
三、解答题
17.已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝4，a n＝2n＋1（n≥2）．
（1）证明：当n≥2时，S n＝a n＋n2；
（2）若等比数列{b n}的前两项分别为S2，S5，求{b n}的前n项和T n．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列求和公式写出S n，从而可得解；
（2）先求等比数列的公比，再利用等比数列求和公式求解即可.
【详解】（1）证明：当n≥2时，∵S n＝4＋（5＋7＋…＋2n＋1），
∴S n＝2n＋1＋n2＝a n＋n2．
（2）解：由（1）知S2＝9，S5＝36，
∴{b n}的公比，且b1＝9，∴．
【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题.
18.（12分）为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出如下的折线图：
（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值
（2）轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎
（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？
（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？
【答案】（1）..（2）（i）.（ii）见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用折线图能求出甲厂这批轮胎宽度的平均值和乙厂这批轮胎宽度的平均值．
（2））①从甲厂提供的10个轮胎中有6个轮胎是标准轮胎，从中随机选取1个，能求出所选的轮胎是标准轮胎的概率．
②甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，求出两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，从而乙厂的轮胎相对更好．
试题解析：
（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为
.
乙厂这批轮胎宽度的平均值为
.
（2）甲厂这批轮胎宽度都在内的数据为，，，，，，
（i）.
（ii）甲厂标准轮胎的平均数为，方差为.
乙厂这批轮胎宽度都在内的数据为，，，，，，
平均数为，方差为.
由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好.
19.如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BD＝1，，AA1＝BC＝2，AD∥BC．
（1）证明：BD⊥平面ABB1A1．
（2）比较四棱锥D—ABB1A1与四棱锥D—A1B1C1D1的体积的大小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）通过证明AB⊥BD和AA1⊥BD即可得证；
（2）根据条件分别求和，然后比较大小即可.
【详解】（1）证明：∵AB2＋BD2＝AD2＝2，
∴AB⊥BD．
又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD．
∵AB∩AA1＝A，∴BD⊥平面ABB1A1．
（2）∵AB＝BD且AB⊥BD，∴∠ADB＝45°．
又AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝45°，∴．
∴四边形ABCD的面积为．
∴．
又．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及椎体体积的计算，着重考查了学生的空间想象力及运算能力，属于中档题.
20.如图，椭圆W：的焦距与椭圆Ω：+y2＝1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．
（1）求W的标准方程：
（2）求．
【答案】（1）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，求出a2，b2，即可得到W的标准方程，
（2）先求出直线l的方程为y＝﹣3x+1，分别与椭圆W和椭圆Ω，联立方程组，求出BC和MN，比较即可【详解】（1）由题意可得，
∴
故W的标准方程为．
（2）联立得
∴，
∴，
易知B（0，1），
∴l的方程为y＝﹣3x+1．
联立，得37x2﹣24x＝0，
∴x＝0或，
∴，
联立，得31x2﹣18x﹣9＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴，
故．
【点睛】本题考查了椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，以及弦长公式，考查了运算能力和转化能力，
属于中档题．
21.已知函数.
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）证明：且.
【答案】（1）见解析;（2）见解析.
【解析】
试题分析：
（1）求导数后令可得，根据与的大小关系可得在区间上的符号，从而可确定函数的单调性．（2）分两部分证明．（ⅰ）时，则，可证得，两边同乘以后可得
；（ⅱ）令，利用导数可得，从而，故结论得证．
试题解析：
（1）解：∵，
∴．
令，得，
①当，即时，
则，
在上单调递增；
②当，即时，
令，得；令，得.
在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明:
先证．
当时，，
由（1）可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
∴，
，
.
再证．
设，
则，当且仅当时取等号．
设，
则，
∴当时，，单调递增；
令，得时，，单调递减．
.
，
又此不等式中两个等号的成立条件不同，故，
从而得证.
综上可得且．
点睛：利用导数证明不等式的方法
（1）根据函数的单调性进行证明．
（2）通过构造函数、求函数的最值进行证明．
①证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．
②证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)．
22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．
【答案】（1）极坐标方程为，（2） .
【解析】
试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标的互化公式得极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直线C2的方程为y=，极坐标方程为；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，
（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直线C2的方程为y=，极坐标方程为；
（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，
设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，．
点睛：深刻理解极坐标中ρ的几何意义，代表了曲线上的点到极点的距离，从而得到
．
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若且直线与函数的图象可以围成一个三角形，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）分三种情况讨论，分别列出关于的不等式组，求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）化简函数为分段函数，画出分段函数的图象及线的图象，利用数形结合思想解答即可.
试题解析：（1）由，即，
得：或或，
解得：，∴不等式的解集为.
（2）作出函数的图象，如图所示，
∵直线经过定点，
∴当直线经过点时，，
∴当直线经过点时，，
∴当时，直线与函数的图象可以围成一个三角形.。