人教版高中数学必修五学业分层测评11等差数列前n项和的综合应用含解析

学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等差数列前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 3＝9，则S 5－a 5＝( )
A ．14
B ．19
C ．28
D ．60
【解析】 在等差数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝3a 2＝9，∴a 2＝3，S 5－a 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝2×7＝14.
【答案】 A
2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A ．S 7
B ．S 8
C ．S 13
D ．S 15
【解析】 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×a 1＋a 132＝313×13(a 1＋a 13)2
＝313S 13. 于是可知S 13是常数．
【答案】 C
3．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
【解析】 由⎩⎨⎧ S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋112d >0，a 1＋6d <0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 7
<0，a 6
>－d 2，故|a 6|>|a 7|.
【答案】 C 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于
( )
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
【解析】 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.
【答案】 B
5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A.2n ＋1n
B.n ＋1n
C.n －1n
D ．n ＋12n 【解析】 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2
，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶
＝n ＋1n .故选B. 【答案】 B
二、填空题
6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝ .
【解析】 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.
【答案】 5
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝ .
【解析】 ∵a n ＝⎩⎨⎧
S 1，(n ＝1)，S n －S n －1，(n ≥2)，
∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，
得7.5<k <9，∴k ＝8.
【答案】 8
8．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝ 时，S n 取到最大值．
【解析】 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0，
∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0.
故当n ＝5或6时，S n 最大．
【答案】 5或6
三、解答题
9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？
【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，
得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .
(2)法一 a 1＝9，d ＝－2，
S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n
＝－(n －5)2＋25，
∴当n ＝5时，S n 取得最大值．
法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．
令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.
∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.
∴当n ＝5时，S n 取得最大值．
10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .
【解】 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .
当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)
＝15n －2n 2；
当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )
＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n
＝2×(13＋1)×42
－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.
∴T n ＝⎩⎨⎧
15n －2n 2，(n ≤4)，2n 2－15n ＋56，(n ≥5).
[能力提升]
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18 【解析】 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，
S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，
所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，
由S n ＝n (a 1＋a n )2
＝210，得n ＝14. 【答案】 B
2．(2015·海淀高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【解析】 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，
所以⎩⎨⎧
22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，
所以193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.
故满足条件的n 的值为7.
【答案】 B
3．(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ．
【解析】 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1
＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2
＝(n ＋1)a n ＋1， S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2
＝na n ＋1，
所以S 奇S 偶
＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．
【答案】 11 7
4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. 【导学号：05920069】
(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；
(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；
(3){S n }有多少项大于零？
【解】 (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．
(2)S n ＝－n 2
＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．
{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42.
(3)由图象得{S n }中有12项大于零．
附赠材料
答题六注意：规范答题不丢分
提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:
第一,考前做好准备工作。

做题前要做好准备工作,包括认真检查答题卡页数和条形码上的姓名、考号与本人的姓名、准考证上的号是否相符等。

此外还要准确填写答题卡的相关信息,正确粘贴条形码,注意不能超出框外。

第二,使用规定的笔作答。

答选择题时,考生必须用2B 型铅笔在答题卡上的“选择题答题区”内将对应题目的选项字母点涂黑
第三,答题不要超出规定范围。

考生必须在答题卡各题目规定的答题区域内作答(包括画表及作辅助线)。

在各题目指定答题区域外的地方,或超越试卷上标出的边界作答,或者自己编题号,其答案都是无效的。

第四,若题中有图,答题前应规划好“布局”,合理安排空间。

例如几何题,图形多在左边。

这种情况下建议大家从图下方开始写起,书写规范字迹清晰,避免“箭头”“地图”等出现。

第五,答题卡千万别折叠。

考生答题时,要注意保持答题卡的清洁,不能折叠、弄皱和损坏答题卡,以免影响计算机扫描。

第六,书写要整洁。

有的学生的答案“布局”很乱,还用箭头标注下一句话的位置,加上字迹潦草、卷面不整洁等情况,阅卷老师很难辨认,甚至对考生的学习态度、学习习惯和知识基础产生怀疑,由此分数也将大受影响来确定一个足够
小的范围,要是四个选项中有一个答案是满足该范围的,那么正确答案也就有了。

第五,草图法。

在解答选择题的过程中,可先根椐题意画出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质和图形的特征等,得出结论。

在答选择题时,你可以采取先易后难的答题顺序。

先从前往后把你认为有把握的题先做完,然后再做那些不确定的题;对自己把握不大的题可采用排他法,尽可能排除你认为不正确的答案。

这样在剩余的答案中进行选择,正确率就会。