第17讲 柯西中值定理在高中数学的应用

第17讲 柯西中值定理在高中数学的应用
微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.
本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明.
柯西中值定理及其证明柯西中值定理:
若()f x 与()g x 在(,)a b 上可导,且()0g x ≠,,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,,使()()()()()()
f b f a f
g b g a g ξξ-'=-'. 大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当()g x x =的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔定理来证明柯西中值定理.
罗尔定理:设函数在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 上可导,而且在两端点处函数()f x 的值相等(()())f a f b =,那么在开区间(,)a b 上至少有一点c ,使得()f x 在这点的导数等于零[]()0f c '=.
证明:设M 和m 分别是()f x 在区间[a ,]b 上的最大值和最小值.由于()f x 在[,]a b 上是连续的,∴()f x 的最大值和最小值是存在的.如果等式()M m f a ==成立,那么对于一切[,]x a b ∈都有()0f x '=,.如果()M f a =和()m f a =不能同时成立,那么M 和m 这两个数中间至少有一个不等于数()f a ,.为了确切起见,设M 是这样的数.于是,在开区间(,)a b 的某点c ,函数()f x 达到闭区间[,]a b 上的最大值,因而在这个点()f x 同时有局部极大值.因为在点c 处的导数()f c '存在且等于零.()m f a ≠的情况可以进行类似的讨论. 下面证明柯西中值定理.
证明:引人函数()[()()]F x g b g a =-•()[()()]()f x f b f a g x --.
这个函数在[,]a b 上显然是连续的,而且在开区间(,)a b 上有导数.此外,()F a =()F b ,.因此根据罗尔定理可以找到这样的点(,)c a b ∈,使得,()0F c '=,即
[()()]()[()()]g b g a f c f b f a -'=-⋅()g c '.
(1)显然()0f c '≠,否则的话,由于()f b -()0f a ≠,就应该有()0g c '=,但是根据已知条件()f c '和()g c '不同时等于零,因此,[()()]()0f b f a f c -'≠,用它除等式(1)的右边,即得所证. 柯西中值定理证明无参不等式
【例1】若1202x x π
<<<,求证:2e x -()1112e cos cos x x
x x e >-⋅
【解析】证明：要证()21112e e cos cos e x x x
x x ->-, 实际上只需证21112
e e e cos cos x x x x x ->-,.设()e ,()cos t
f t
g t t ==,则(),()f t g t 在[]12,x x 上,满足柯西中值定理条件,
()()
()()()211221(),,,()
f x f x f c c x x
g x g x g c -'=∈-'211221e e e ,0,cos cos sin 2x x c x c x x x c π-=<<<<-- ()21121e e cos cos e sin x x c x x c -=-⨯
>()()11212cos cos e cos cos e x c x x x x ->-. 注意:其中用到11sin c
>及e x 是单调增加函数来放缩. 柯西中值定理求解一元参数范围
柯西中值定理可以解决:已知在(,)x m ∈+∞上,不等式()()f x ag x <恒成立,求参数a 的取值范围问题(其中()g m =()0)f m =,其一般步骤如下:
第一步:参变分离.()()()()
f x f x a
g x g x <⇒<a (暂定()0g x >,具体要讨论). 第二步:柯西中值定理转换.()()f x g x =()0()()()()0()()()
f x f x f m f a
g x g x g m g ξξ--'==<--',其中(,)m x ξ∈. 第三步:构造函数求解.令()()()f F g ξξξ'=
',问题转化为()F a ξ<在(,)m x ξ∈恒成立问题,按一元函数求解.
【例1】已知函数()2()1ln f x a x x =--,若()0f x 在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围。

【解析】解法一:分类讨论法 ∵1()2f x ax x
'=-, ① 当0a 时,()0f x '<,
∴()f x 在[1,)+∞上单调递减.∴当1x >时,()(1)0f x f <=,不合题意.
②当0a >时,221()ax f x x
-'=, 令()0f x '>
得x >.()0f x '<
得0x <<. (1)
1>,即102a <<时
,x ⎛∈ ⎝
时,()0f x '<,即()f x 递减, ∴()(1)0f x f <=,不合题意.
(2)1
,即12a 时,[1,)x ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 单调递增, ∴()(1)0f x f =满足题意.综上,12
a
. 法二:柯西中值定理法
第一步:分类讨论,并参变分离. 当1x =时不等式成立,当(1,)x ∈+∞时,可参变分离,
即()2()1ln 0f x a x x =--参变分离2ln 1x a x -.
第二步:分子和分母分别构造函数.
2()ln ,()1h x x g x x ==-.又(1)(1)0h g ==,得
2ln ()(1)1()(1)x h x h a x g x g -=--. 第三步:利用柯西中值定理简化函数.2()(1)()1,()(1)()2h x h h a g x g g ξξξ
-'==-'其中(1,)x ξ∈. 第四步:利用极限可得函数确界.由21
122
ξ<,可得12a . 【例2】已知函数(22()ln f x x x a x =--1),a ∈R ,若当1x 时,()0f x 恒成立,求a 的取 值范围.
【解析】解法一:由函数()22()ln 1f x x x a x =--,
则()2ln (12)(2ln f x x x a x x x '=+-=+12a -）,其中1x .当12
a
时,∵1,()0x f x ∴'. ∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增,故()(1)0f x f =.
当12a >时,令()0f x '=得12a x e -=.若121,a x e -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()0f x '<, ∴函数()f x 在1t 1,e a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭
时,()(1)0f x f =,不符合题意.综上,a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 法二:柯西中值定理法
第一步:分类讨论,并参变分离.当1x =时不等式成立,当(1,)x ∈+∞时,可参变分离, 即()22()ln 10f x x x a x =--参变分离22ln 1
x x a x -. 第二步:分子和分母分别构造函数.
22
()ln ,()1h x x x g x x ==-,又(1)(1)0h g ==,得22ln ()(1)1()(1)x x h x h a x g x g -=--.
第三步:利用柯西中值定理简化函数.()(1)()1ln ,()(1)()2
h x h h a g x g g ξξξ-'==+-'()1,x ξ∈ 第四步:利用极限可得函数确界.由1122n ξ+
>,可得12a . 【例3】已知函数2()e 1x f x x ax =---,当0x 时,()0f x ,求实数a 的取值范围.
【解析】解第一步:分类讨论,并参变分离.
当0x =时不等式成立,当(0,)x ∈+∞时,可参变分离, 即22e 1e 10x x x x ax a x
-----参变分离. 第二步:分子和分母分别构造函数.
2
()e 1,()x h x x g x x =--=.又(0)(0)0h g ==,得2e 1()(0)()(0)x x h x h a x g x g ---=-. 第三步:利用柯西中值定理简化函数.
()(0)()1()(0)()2h x h h e a g x g g ξξξξ-'-==-',其中(0,)x ξ∈. 第四步:再次利用柯西中值定理简化函数.()(0)()e ,()(0)()2
h h h a g g g η
ξηξη'-'''=='-'''其中(0,)ηξ∈.
第五步:利用极限可得函数确界. 由0e e 1222η
=,可得12
a ,即12a .1x +),若1x 时,()0f x 恒成立,求λ的最大值. 解()e e (ln 1)x f x x x x x λ=---+,要使1x 时,()0f x 恒成立. ① 当1x =时,不等式成立.
②当(1,)x ∈+∞时,参变分离可得()e e ()ln 1
x g x x h x x x x λ-=-+[其中()h x = ln 10,()e e x x x x g x x ⎤-+>=-⎦.
由柯西中值定理可得()()(1)()e e ,()()(1)()ln g x g x g g h x h x h h ξξλξξ
-'-===-'其中(1,)x ξ∈. 再次利用柯西中值定理可得
()()(1)()e ,()()(1)()g g g g h h h h ηξξηηλξξη''-'''===''-''' 其中(1,)ηξ∈.由e
e ηη,可得e λ.。