陕西省龙凤培训学校九年级数学 暑假衔接班《第七讲 一

《第七讲 一元二次方程的判别式》
【知识梳理】
一、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的情况：令ac b 42-=∆。

1、若0>∆，则方程有两个不相等的实数根：a ac
b b x a ac
b b x 24242221---=-+-=，；
2、若0=∆，则方程有两个相等的实数根：a b
x x 221-==；
3、若0<∆，则方程无实根（不代表没有解）。

二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
2、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；
4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。

【例题精讲】
【例1】已知方程0142=-+x ax ；则①当a 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
②当a 取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a 取什么值时，方程没有实数根？
【巩固】1、已知关于x 的方程()063222=-+-+m x m x 。

求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；
2、已知关于x 的一元二次方程()0112212=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

【例2】已知关于x 的方程()0222
=++-k x k x 。

（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC 的一边长1=a ，另两边长c b 、恰好是这个方程的两个根，求∆ABC 的周长。

【拓展】已知对于正数c b a 、、，方程()02
22222=+--+b x c b a x c 没有实数根，求证：以长c b a 、、的线
段为边能组成一个三角形。

【例3】设方程42=+ax x 有三个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根。

【巩固】已知关于x 的方程()021223=+--+a ax x a x 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是___________________。

【例4】设0>d c b a ，，，，证明在方程
，
；；；02210221022102212222=+++=+++=+++=+++bc x a d x ab x d c x ad x c b x cd x b a x 中，至少有两个方程有不相等的实数根。