2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第七章 第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 Word版含

课时作业
A组——基础对点练
1．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的主视图、左视图、俯视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()
A．①②⑥B．①②③
C．④⑤⑥D．③④⑤
解析：主视图应为边长为3和4的长方形，且主视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；左视图应为边长为4和5的长方形，且左视图中左上到右下的对角线应为实线，故左视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B.
答案：B
2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则左视图的面积为()
A．8B．4 3
C．4 2 D．4
解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，左视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S＝3×4＝4 3.
答案：B
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为()
A．3 3 B．2 6
C.21 D．2 5
解析：由三视图得，该几何体是四棱锥P-ABCD，如图所示，
ABCD为矩形，AB＝2，BC＝3，平面P AD⊥平面ABCD，过
点P作PE⊥AD，则PE＝4，DE＝2，所以CE＝22，所以
最长的棱PC＝PE2＋CE2＝26，故选B.
答案：B
4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．12＋4 2 B．18＋8 2
C．28 D．20＋8 2
解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该
几何体的表面积为S＝2×1
2×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.
答案：D
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A ．(25＋35)π
B ．(25＋317)π
C ．(29＋35)π
D ．(29＋317)π
解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以该几何体的表面积为π＋π×(1＋2)×17＋2×π×2×4＋4π×22
2＝π＋317π＋16π＋8π＝(25＋317)π，故选B. 答案：B
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ． 16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
解析：由三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图．其中长方体的长、宽、高分别是4,2,2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.
∴长方体的体积V 1＝4×2×2＝16， 半个圆柱的体积V 2＝1
2×22×π×4＝8π. ∴这个几何体的体积是16＋8π. 答案：A
7．一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．16π
B ．12π
C ．14π
D ．17π
解析：根据三视图可知几何体是一个球体切去四分之一，则该几何体的表面是四分之三球面和两个截面(半圆)． 由题意知球的半径是2，
∴该几何体的表面积S ＝3
4×4π×22＋π×22＝16π. 答案：A
8．球面上有A ，B ，C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的1
3，且AB ＝22，AC ⊥BC ，则球O 的表面积是( ) A ．81π B ．9π C.81π4
D.9π4
解析：由题意可知，AB 为△ABC 的外接圆的直径，设球O 的半径为R ，则R 2＝(R 3)2＋(2)2，可得R ＝3
2，则球的表面积S ＝4πR 2＝9π.故选B.
答案：B
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
解析：将三视图还原成直观图，得到如图所示几何体，设BC 的中点为G ，连接AG ，DG ，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，其高AG ＝ 3.该几何体可以看成一个三棱锥与一个四棱锥组合而成．∴该几何体的体积V ＝V
三棱锥D -ABG ＋V 四棱锥A -DECG ＝
1
3×S △ABG ×DG
＋13×S 四边形DECG ×AG ＝13×12×1×3×2＋1
3×2×1×3＝ 3. 答案： 3
10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
解析：由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖去了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12
×2＝8－π
3.
答案：8－π3
B 组——能力提升练
1．若三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝SA ＝SB ＝SC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.16π3 B.8π3 C.43π3
D.4π3
解析：在等腰直角三角形ABC 中，AB 是斜边且AB ＝2，取AB 的中点D ，连接CD ，SD .∴CD ＝AD ＝BD ＝1.又SA ＝SB ＝SC ＝2，∴SD ⊥AB ，且SD ＝3，在△SCD 中，SD 2＋CD 2＝SC 2，∴SD ⊥CD ，∴SD ⊥平面ABC .∴三棱锥S -ABC 的外接球球心在SD 上，记为O ，设球半径为R ，
连接OA ，则SO ＝OA ＝R ，∴在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝3－R ，AO ＝R ，∴12＋(3－R )2＝R 2⇒R ＝23
3，∴三棱锥S -ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×(233)2＝16π
3.故选A. 答案：A
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.163
B.203
C.152
D.132
解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所
以其体积为23－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝13
2.故选D. 答案：D
3．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )
A.34
B.14
C.12
D.38
解析：由左视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为1
2×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝1
2，故选C. 答案：C
4．如图，某三棱锥的主视图、左视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
( )
A ．27π
B ．48π
C ．64π
D ．81π
解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，该棱锥的高VA ＝4，棱锥底面ABC 是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示．因为△ABC 是边长为6的等边三角形，所以外接球的球心D 在底面
ABC 上的投影为△ABC 的中心O ，过D 作DE ⊥VA 于E ，则E 为VA 的中点，连接OD ，OA ，DA ，则DE ＝OA ＝23×33＝23，AE ＝1
2VA ＝2，DA 为外接球的半径，所以DA ＝DE 2＋AE 2＝4，所以外接球的表面积S ＝4πr 2＝64π.故选C.
答案：C
5．(2018·天津测试)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a ＝
( )
A.14＋223
B.8＋223
C.12＋223
D ．8＋2 2
解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12·(2a
＋a )·a ·2＋a 2＋a 2＋2a ·a ＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2＝32a 3，解得a ＝14＋22
3，故选A. 答案：A
6．(2018·郑州质检)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表
面积为()
A．8π B．16π
C．32π D．64π
解析：还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高
分别为22，22，4的长方体，则该长方体外接球的半径r＝(22)2＋(22)2＋42
2
＝22，则所求外接球的表面积为4πr2＝32π.
答案：C
7．(2018·南昌模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该
四棱锥最长的一条侧棱的长度是．
解析：由题意可知该几何体是一个底面为直角梯形的四
棱锥，梯形的两底边长分别为4,2，高为3，棱锥的高为
2，所以最长侧棱的长度为22＋32＋42＝29.
答案：29
8．在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB
的面积分别为
2
2，
3
2，
6
2，则该三棱锥外接球的表面积为．
解析：设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c，则1
2ab＝
2
2
，1
2bc
＝3
2，1
2ac＝
6
2
，解得a＝2，b＝1，c＝ 3.所以三棱锥A BCD的外接球的直
径2R＝a2＋b2＋c2＝6，则其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
答案：6π
9．一个直三棱柱被削去一部分后的几何体ABCDE及其左视图、俯视图如图所
示，其中左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．设M 是BD 的中点，点N 在棱DC 上，且MN ⊥平面BDE ，则CN ＝ .
解析：由题意可得，DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥CB .若MN ⊥平面BDE ，则MN ⊥BD .又因为∠MDN ＝∠CDB ，所以△DMN ∽△DCB ，所以DN DB ＝DM DC ，故DN 26＝64，
解得DN ＝3，所以CN ＝CD －DN ＝1. 答案：1。