【优质文档】1.2命题及其关系、充分条件与必要条件-学生版

B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．“若 a≤ b，则 ac2≤ bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个 数是 ________．
10．设 p：实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，q：实数 x，y 满足 x＋ y>2，则 p 是 q 的________条件．(选
填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”
)
11．已知命题 p： a≤ x≤ a＋ 1，命题 q： x2－ 4x＜0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 值范围是 ________．
a 的取
12．有下列几个命题：
①“若 a＞ b，则 a2＞b2”的否命题； ②“若 x＋ y＝ 0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； ③“若 x2＜ 4，则－ 2＜ x＜ 2”的逆否命题． 其中真命题的序号是 ________．
D．若 m≤ 1，则函数 f(x)＝ ex－ mx 在 [0 ，＋∞ )上不是减函数
2．命题“若 a＞－ 3，则 a＞－ 6”以及它的逆命题、 否命题、逆否命题中假命题的个数为 ( ) A ． 1 B． 2 C． 3 D ． 4
3．“ (2x－1)x＝ 0”是“ x＝ 0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)已知条件 p： x>1 或 x<－ 3，条件 q： 5x－6>x2，则非 p 是非 q 的 (
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据 p? q， q? p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据 p， q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字 母范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否 定性词语的命题．
14 答案
1 0，2
解析 方法一
命题
p为
x
1≤x≤1 2
，
命题 q 为 { x|a≤ x≤ a＋ 1} ．
1 非 p 对应的集合 A＝ x x>1 或 x<2 ，
非 q 对应的集合 B＝ { x|x>a＋ 1 或 x<a} ．
∵非 p 是 非 q 的必要不充分条件，
a＋ 1>1，
∴
1
a≤ 2
a＋ 1≥ 1，
C ．拥有的人们不幸福
D ．不拥有的人们不幸福
3． (2018 ·青岛调研 )下列命题： ①“若 a2<b2，则 a<b”的否命题； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题； ③“若 a>1 ，则 ax2－ 2ax＋ a＋3>0 的解集为 R”的逆否命题； ④“若 3x(x≠ 0)为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题． 其中正确的命题是 ( ) A ．③④ B ．①③ C．①② D ．②④
题型一 命题及其关系 1．下列命题是真命题的是 ( ) A ．若 1x＝ 1y，则 x＝ y B ．若 x2＝ 1，则 x＝ 1
C．若 x＝ y，则 x＝ y D．若 x＜ y，则 x2＜ y2
2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是
A ．不拥有的人们会幸福
B．幸福的人们不都拥有
命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
1.理解命题的概念 .2.了解“若 p，则 q”形式的命 题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种 命题的相互关系 . 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义 .
考情考向分析 命题的真假判断和充分必要条件的判定 是考查的主要形式，多与集合、函数、不 等式、立体几何中的线面关系相交汇，考 查学生的推理能力， 题型为选择、 填空题， 低档难度 .
1．命题“若函数 f( x)＝ ex－ mx 在 [0 ，＋∞ )上是减函数，则 m>1”的否命题是 (
)
A ．若函数 f(x)＝ ex－mx 在[0 ，＋∞ )上不是减函数，则 m≤ 1
B ．若函数 f(x)＝ ex－mx 在 [0 ，＋∞ )上是减函数，则 m≤ 1
C．若 m>1，则函数 f(x)＝ ex－ mx 在 [0 ，＋∞ )上是减函数
1 2.
15．若“数列 an＝n2－2λｎ(n∈ N*)是递增数列”为假命题，则 λ的取值范围是 ______．
答案 32，＋∞
解析
若数列
an＝n2－2λｎ(n∈ N*)为递增数列， 则有
an＋1－ an>0，即 2n＋1>2 λ对任意的
*
n∈N
都成立，于是可得
3>2λ，即
λ<
3 2.
故所求 λ的取值范围是 32，＋ ∞ .
(2)设 n∈ N* ，一元二次方程 x2－ 4x＋ n＝ 0 有整数根的充要条件是 n＝ ________.
等价转化思想在充要条件中的应用
典例
已知 p：
x－ 1 1－ 3
≤ 2， q： x2－ 2x＋ 1－ m2≤ 0(m＞0) ，非
p 是非
q 的必要不充分条件，
则实数 m 的取值范围为 ________．
或
a<
1， 2
∴ 0≤ a≤ 12.
方法二 命题 p： A＝ x 12≤ x≤ 1 ，
命题 q： B＝ { x|a≤ x≤ a＋ 1} ． ∵非 p 是 非 q 的必要不充分条件， ∴ p 是 q 的充分不必要条件，即 A B，
a＋ 1≥ 1， ∴1
a< 2
a＋ 1>1 ， 或 a≤ 12，
∴
0≤
a≤
13．已知 p：函数 f(x)＝ |x＋a|在 (－∞，－ 1)上是单调函数， q：函数 g(x)＝ log a(x＋ 1)(a＞0， 且 a≠1)在 ( －1，＋∞ )上是增函数，则非 p 是 q 的 ( )
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
14．已知条件 p： 2x2－ 3x＋ 1≤ 0，条件 q： x2－ (2a＋1)x＋ a(a＋ 1)≤ 0.若非 p 是非 q 的必要不 充分条件，则实数 a 的取值范围是 ________．
但 a－b>1 不成立．所以
“
a
－
b
>1
”
是
“
a
2－
b
2
>1
”
的充分不必要条件．
跟踪训练 (1)(2017 ·赣中南五校联考 )已知 α， β均为第一象限角，那么“
sin β”的 ( )
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
α＞ β”是“ sin α＞
(2)设向量 a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝ (cos θ，1)，则“ a∥ b”是“ tan θ＝ 12成立”的 _____条件． (选
填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”
)
题型三 充分必要条件的应用 典例 已知 P＝{ x|x2－ 8x－ 20≤ 0} ，非空集合 S＝ { x|1－ m≤ x≤ 1＋m} ．若 x∈ P 是 x∈S 的必要 条件，求 m 的取值范围．
引申探究 若本例条件不变，问是否存在实数
m，使 x∈ P 是 x∈ S 的充要条件．
2
A ．充要条件
B．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
6．(2017 ·北京海淀区一模 )若实数 a，b 满足 a>0，b>0，则“ a>b”是“ a＋ ln a>b＋ln b”的 ( )
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 和平面 β相交”的 ( )
2
4．已知命题 p：若 a<1 ，则 a <1，则下列说法正确的是 ( ) A ．命题 p 是真命题 B ．命题 p 的逆命题是真命题 C．命题 p 的否命题是“若 a<1，则 a2≥ 1” D．命题 p 的逆否命题是“若 a2≥ 1，则 a<1”
5．“ x＞ 1”是“ log 1 ( x 2) 0 ”的 ( )
1． 命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真 命题，判断为假的语句叫做假命题． 2． 四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式 (或不等式组 )求解． (2)要注意区间端点值的检验．
x－ 1 跟踪训练 (1) 设 p：|2x＋1|<m(m>0) ；q：2x－ 1>0. 若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取 值范围为 __________．
α， β内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8． (2017 江·西红色七校二模 )在△ ABC 中，角 A，B 均为锐角，则“ cos A>sin B”是“△ ABC 为钝角三角形”的 ( )
A ．充分不必要条件
16．设
a，b 为正数，则“ a－ b>1”是“
2
a
－b2>1”的
________
条件．(选填“充分不必要”“必
要不充分”“充要”“既不充分也不必要” )
答案 充分不必要
解析 ∵ a－ b>1，即 a>b＋ 1.
又 ∵ a， b 为正数， ∴ a2>(b＋ 1)2＝ b2＋ 1＋ 2b>b2＋ 1，即 a2－ b2>1 成立；反之，当 a＝ 3，b＝ 1 时，满足 a2－b2>1，
()
4．设 m∈R ，命题“若 m＞ 0，则方程 x2＋ x－ m＝0 有实根”的逆否命题是 ____________．
思维升华 (1) 写一个命题的其他三种命题时，需注意：
① 对于不是 “若 p，则 q” 形式的命题，需先改写；
② 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(3)根据 “ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假 接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
” 这一性质，当一个命题直
题型二 充分必要条件的判定
典例 (1)已知等差数列 { an} 的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“ d＞ 0”是“ S4＋ S6＞ 2S5”的 (
)
A ．充分不必要条件
3． 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p? q，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分பைடு நூலகம்必要条件
p? q 且 q? p
p 是 q 的必要不充分条件
p? q 且 q? p
p 是 q 的充要条件
p? q
p 是 q 的既不充分也不必要条件
p? q 且 q? p
知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即 A＝ { x|p(x)} ，B＝ { x|q( x)} ，则关于充 分条件、必要条件又可以叙述为： (1)若 A? B，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 A? B，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6)若 A B 且 A?B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．