初高中数学衔接教材(已整理)-之欧阳地创编

2017初高中数学衔接教材
现有初高中数学教材存在以下“脱节”：
1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；
2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；
3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；
4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；
5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。

而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；
6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；
7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；
8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；
9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定
理）初中早就已经删除，大都没有去学习；
10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。

高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。

本书当然也没有详尽列举出来。

我们会不断的研究新课程及其体系。

将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。

目录
第一章数与式
1.1数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2乘法公式
1.1.3二次根式
1.1.4分式
1.2分解因式
第二章二次方程与二次不等式
2.1一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2根与系数的关系
2.2二次函数
2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2二次函数的三种表达方式
2.2.3二次函数的应用
2.3方程与不等式
2.3.1二元二次方程组的解法
第三章相似形、三角形、圆
3.1相似形
3.1.1平行线分线段成比例定理
3.1.2相似三角形形的性质与判定
3.2三角形
3.2.1三角形的五心
3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦
定理及其应用
3.3圆
3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
3.3.2点的轨迹
3.3.3四点共圆的性质与判定
3.3.4直线和圆的方程（选学）
1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负
数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表
示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴
上，数a 和数b 之间的距离．
例1解不等式：13x x -+-＞4．
解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；
①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，
即24x -+＞4，解得x ＜0，
又x ＜1，
∴x＜0；
②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x ；
③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，
即24x -＞4， 解得x ＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x ＜0，或x ＞4．
解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的
点P 到坐标为1的点A 之间
的距离|PA|，即|PA|＝|x －
1|；|x －3|表示x 轴上点P
A C P |x －3|
到坐标为2的点B 之间的距离|PB|，即|PB|＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P 在点D(坐标为
4)的右侧．
x ＜0，或x ＞4．
练 习
1．填空：
（1）若5=x ，则x=_________；若4-=x ，则
x=_________.
（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若
21=-c ，则c ＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则
a b >
（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则
a b =±
3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．
1.1.
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；
（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；
（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；
（3）三数和平方公式
2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；
（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；
（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去
证明．
例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．
解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦
=242(1)(1)x x x -++
=61x -．
解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++
=33(1)(1)x x +-
=61x -．
例 2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的
值．
解：222
2()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习
1．填空：
（1）221111()9423
a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)；
(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．
2．选择题：
（1）若
212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）
（A ）2m （B ）214
m （C ）213m （D ）2116
m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）
（A ）总是正数 （B ）
总是负数
（C ）可以是零 （D ）
可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一般地，形如
0)a ≥的代数式叫做二次根式．根
号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.
例如 32a b ，等是无理式，而
212x ++，22x y +
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理
化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式
的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的
积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化
因式，例如
与，与，与，
与，等等． 一般地，与，
，b 与b 互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理
化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是
分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根
号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法
可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式
0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写
成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根
式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上
去括号与合并同类二次根式．
2
例1
将下列式子化为最简二次根式：
（1）
； （2）0)a ≥； （3）
0)x <．
解： （1
=
（2
0)a ==≥；
（3
220)x x x ==-<． 例2
(3．
(3-
．
解法二：
(3-＝
＝ ＝
例3试比较下列各组数的大小：
（1）
和； （2）
和
. 解
：（1）
1===
，
1===，
+>
（
2）
∵
===
又 4＞22， ∴6＋4＞6＋22，
例4 化简：
20042005+⋅-． 解：
20042005⋅ ＝
20042004+⋅⋅-＝2004
⎡⎤+⋅⋅⎣⎦
＝
20041⋅-
例 5 化简：（1）； （2）
1)x <<．
解
：（1）原式
===2=2
=．
（2）原式1x x =-，
∵01x <<，∴1
1x x >>，所以，原式＝1x x -．
例 6 已知x y ==，求22353x xy y -+的值 ．
解：∵
2210
x y +==+=，
1
xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．
练 习
1．填空：
（1）__ ___；
（2）若
(x =-x 的取值范围是_
_ ___；
（3）
=__
___；
（4）若
x =，则=______ __．
2．选择题：
等式=成立的条件是
（ ）
（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x >
（D ）02x <<
3．若b =，求a b +的值．
4．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B
为分式．当M≠0时，分式A B 具有下列性质：
A A M
B B M ⨯=⨯； A
A M
B B M ÷=÷．
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式 像a
b
c d +，2m n p
m
n p +++这样，分子或分母中又含有分式的
分式叫做繁分式．
例1若
54(2)2
x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)
A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩
解得 2,3A B ==． 例 2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；
（2）计算：
1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++
<⨯⨯+． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)
n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知 1111223910+++⨯⨯⨯11111(1)()()223910=-+-++-1110=- ＝
910
． （3）证明：∵
1112334(1)n n +++⨯⨯+＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+， 又n≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1
一定为正数， ∴1112334(1)
n n +++⨯⨯+＜12 ． 例3设c e a =，且e ＞1，2c2－5ac ＋2a2＝0，求e 的
值．
解：在2c2－5ac ＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e ＋2＝0，
∴(2e－1)(e －2)＝0，
∴e＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e＝2．
练 习
1．填空题：对任意的正整数n ，
1(2)n n =+(112n n -+)； 2．选择题：
若
223x y x y -=+，则x y ＝ （ ）
（A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）65
3．正数,x y 满足222x y xy -=，求
x y x y -+的值． 4．计算1111 (12233499100)
++++⨯⨯⨯⨯． 习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1) 13x ->； (2)
327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．
２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．
3．填空：
（1）
1819(2(2+-＝________；
（2）若2=，则a 的取值范围是
________；
（3）
=________． B 组
1．填空：
（1）12a =，13
b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22
22
3x xy y x y ++=+____；
2．已知：11,23x y ==的值．
C 组
1．选择题：
（1）若
=，则 （ ）
（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b <<
（D ）0b a <<
（2）
计算等于 （ ） （A
（B ） （C ） （D ）
2．解方程22112()3()10x x x x
+-+-=． 3．计算：1111132435911
++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有
111123234(1)(2)
n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14
． 1.2因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；
（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有
x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直
接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得
x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．
（3）由图1．1－4，得
22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）=-+652x x __________________________________________________。

（2）=+-652x x _________________________________________－1 －2 x x 图1．1－1
－1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by
x
x 图1．1－4 －1
1
x y 图
1．1－5
_________。

（3）=++652x x __________________________________________________。

（4）=--652x x __________________________________________________。

（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。

（6）=+-18112x x __________________________________________________。

（7）=++2762x x __________________________________________________。

（8）=+-91242m m __________________________________________________。

（9）=-+2675x x __________________________________________________。

（10）=-+22612y xy x __________________________________________________。

2、()() 3 42++=+-x x x x
3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）8
62++x x （4）1072++x x
（5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ）
A 、只有（1）（2）
B 、只有（3）（4）
C 、只有（3）（5）
D 、（1）和（2）；（3）和
（4）；（3）和（5）
2、分解因式22338b ab a -+得（ ）
A 、()(
)3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()(
)b a b a 3 11+- 3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ）
A 、()(
)2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()(
)10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）
A 、10=a ，2=b
B 、10=a ，2-=b
C 、10-=a ，2-=b
D 、10-=a ，2=b
5、若()(
)b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ）
A 、3或9
B 、3±
C 、9±
D 、3±或9±
三、把下列各式分解因式
1、()()3211262+---p q q p
2、22365ab b a a +-
3、
6422--y y 4、8224--b b
2．提取公因式法
例2 分解因式：
（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++ 解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a
（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++．
或
32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++
＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++
课堂练习：
一、填空题：
1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。

2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________。

3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________。

4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。

5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________。

6、523623913x b a x ab --分解因式得
_____________________。

7．计算99992+=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）
2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）
3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）
4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）
3：公式法
例3分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+
解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-
(2)()()2223y x y x --+=
)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++
课堂练习
一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是______________________________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x ………………………… （ ）
2、
()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-…………………………
……… （ ）
3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）
4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）
5、
()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）
五、把下列各式分解
1、()()229n m n m ++--
2、
3
132-x 3
、()22244+--x x 4、1224+-x x
4．分组分解法
例 4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．
（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．
或
222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----
=(2)()(45)6x y x y x y -+---
=(22)(3)x y x y -++-．
课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-
（2）91264422++-+-b a b ab a
5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.
例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．
解： （1）令
221x x +-=0，则解得11x =-，
21x =-，
∴
221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦ =
(11x x +-++．
（2）令
2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，
1(2x y =--，
∴
2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++．
练 习
1．选择题：
多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）
（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y +
（D ）5x y -
2．分解因式：
（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．
习题1．2
1．分解因式：
（1） 31a +； （2）424139x x -+；
（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．
2．在实数范围内因式分解：
（1）253x x -+ ； （2）
23x --；
（3）2234x xy y +-； （4）
222(2)7(2)12x x x x ---+．
3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．
4．分解因式：x2＋x －(a2－a)．
5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a ²+b ²+c ²=，求
1-c ab 1++1-a bc 1++1
-b ca 1+的值. 2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）0322=-+x x (2) 0122=++x x
(3)0322=++x x }
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
222
4()24b b ac x a a -+=． ① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2
（2）当b2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－2b a
； （3）当b2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a +
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac 来判定，我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2
＝2b a -±；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2b a
； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x ＋3＝0； （2）x2－ax －1＝0；
（3） x2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x2－2x ＋a ＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
12a x +=， 22
a x = （3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a ＋4＝(a －
2)2，
所以，
①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a －1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a＝4－4a ＝4(1－a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根
11x = 21x =
②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）有两个实
数根
1x =，2x =，
则有
1222b b x x a a
-+=+==-；
221222(4)444b b ac ac c x x a a a
--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b a -，x1·x2＝c a
．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px ＋q ＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p ，x1·x2＝q ，
即 p ＝－(x1＋x2)，q ＝x1·x2，
所以，方程x2＋px ＋q ＝0可化为 x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0．因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为
1）是
x2－(x1＋x2)x ＋x 1·x2＝0．
例2已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另
一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3
5
．
所以，方程的另一个根为－3
5
，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－6
5
，
∴x1＝－3
5
．
由（－3
5）＋2＝－
5
k，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－3
5
，k的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足
题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例 4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4，①
xy＝－12．②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴1
1
2, 6,
x y =-
⎧
⎨
=⎩或2
2
6,
2.
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x －12＝0的两个根．
解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的
两根．
（1）求| x1－x2|的值； （2）求
22
1211x x +的值；
（3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x －3＝0的两根，
∴1252
x x +=-，1232
x x =-．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋
x2)2－4 x1x2＝253()4()22-
-⨯-＝254＋6＝
49
4
， ∴| x1－x2|＝72
．
（
2）
222
2
1212122222
2
2121
2125325
()2()3
()211
3722439()9()24
x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1
＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－
52
)×[(－
52
)2－3×(32
-)]＝－
215
8
． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则
1x =
，2x =
，
∴| x1－x2|
=
||||
a a ==
．
于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0
（a≠0），则| x1－x2|
＝||
a （其中Δ＝b2－4ac ）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x 的一元二次方程x2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a －4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，
由②得 a ＜17
4
．∴a 的取值范围是a ＜4．
练 习
1．选择题：
（1）方
程2230x k -+=的根的情况是 （ ）
（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）有两个相等的实数根 （D ）没
有实数根
（2）若关于x 的方程mx2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个
不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）
（A ）m ＜14
（B ）m ＞－
14
（C ）m ＜14
，且m≠0 （D ）m ＞－14
，且m≠0
2．填空:
（1）若方程x2－3x －1＝0的两根分别是x1和x2，则
12
11x x +＝．
（2）方程mx2＋x －2m ＝0（m≠0）的根的情况是．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是．
3|1|0
b-=，当k取何值时，方程kx2＋
ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－
3)( x2－3)的值．
习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，
则它的另一个根是（）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积
为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之
积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为
7
-；
3
④方程 3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之
积为0．
其中正确说法的个数是
（）
（A）1个（B）2个（C）3
个（D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的
一
个
根
是
，
则
a
的
值
是
（
）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2
＋β2＝．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是
－2，则它的另一个根是．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|
x1－x2|＝．
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－
(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相
等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x
－1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相
反数，则k的值为 ( )
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1
（D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，
则m2n＋mn2－mn的值等于．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那
么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．
3．已知关于x 的方程x2－kx －2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k 的取值范围．
4．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：
（1）| x1－x2|和
12
2
x x +；（2）x13＋x23．
5．关于x 的方程x2＋4x ＋m ＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m 的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程
2x2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）
（A
） （B ）3 （C ）6 （D ）9
（2）若x1，x2是方程2x2－4x ＋1＝0的两个根，则
12
21
x x x x +的值为 （ ）
（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）
32
（3）如果关于x 的方程x2－2(1－m)x ＋m2＝0有两实
（A）α＋β≥1
2（B）α＋β≤1
2
（C）
α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2
（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根
2．填空：若方程x2－8x ＋m ＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m ＝．
3． 已知x1，x2是关于x 的一元二次方程4kx2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k ，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－
32
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说
明理由；
（2）求使
12
21
x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；
（3）若k ＝－2，12
x x λ=，试求λ的值．
4．已知关于x
的方程2
2
(2)04
m x m x ---=．
（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m 的值及相应的x1，x2．
5．若关于x 的方程x2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象和性质
情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图
（1）2x y = (2) 2x y -= (3)322-+=x x y
问题1 函数y ＝ax2与y ＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x2，y ＝
1
2
x2，y ＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x2
的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax2与y ＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y ＝x2，y ＝2x2的图象．
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x2，y ＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x2的图象可以由函数y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12
x2，y ＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝ax2(a≠0)的图象可以由y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax2(a≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y ＝a(x ＋h)2＋k 与y ＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y ＝－3x2，y ＝－
3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函
数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右
平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数
图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax2＋
bx ＋c(a≠0)的图象的方法：
由于y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋
b x a )＋
c ＝a(x2＋b x a
＋2
24b a )＋c －24b a
224()24b b ac a x a a -=++， 所以，y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数
y ＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二
次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：
（1）当a ＞0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象开口向
上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a
；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a
-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a
-时，函数取最小值y ＝244ac b a
-． （2）当a ＜0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象开口向
下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a
；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a
-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a
-时，函数取最大值y ＝244ac b a
-． 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图
2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问
2
来解决问题．
例1 求二次函数y ＝－3x2－6x ＋1
并指出当x 取何值时，y 随x 小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝－3x2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x ＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；
当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x
＞－1时，y 随着x 的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x
轴交于点B 和C (，与y 轴的交
点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所
示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质
画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲
目性，使画图更简便、图象更精确．
函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a 决定
（2）
确定对称轴：对称轴方程为a b x 2-= （3） 确定图象与x 轴的交点情况，①若△>0则与
x 轴有两个交点，可由方程x2＋bx ＋c=0求出
②①若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程
x2＋bx ＋c=0求出③①若△<0则与x 轴有无
交点。

（4） 确定图象与y 轴的交点情况,令x=0得出
y=c ，所以交点坐标为（0，c ）
（5） 由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图
（1）62--=x x y (2)122++=x x y (3)12+-=x y
图2.2－5
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产
品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每
天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少
元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x －
120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲
求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润
与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函
数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ）
将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有
解得 k ＝－1，b ＝200．∴y＝－x ＋200．
设每天的利润为z （元），则
z ＝(－x+200)(x －120)＝－x2＋320x －24000＝
－(x －160)2＋1600，
∴当x ＝160时，z 取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为
1600元．
例3 把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像向上平移2个
单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，
求b ，c 的值．
解法一：y ＝x2＋bx ＋c ＝(x+2b
)224b c +-，把它的图像
向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
2
2(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，
所以，
240,220,4b b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14．
解法二：把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像向上平移2个
单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，
等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像．由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
例4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a 时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y ＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所
有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数
的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来
研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象
来直观地解决问题．
练习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A ）y ＝2x2 （B ）y ＝2x2－4x ＋2（C ）y ＝
2x2－1 （D ）y ＝2x2－4x
（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x2 （ ）
（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得
到的
（B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得
到的
（C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得
到的
（D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得
到的
2．填空题
（1）二次函数y ＝2x2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，
－2)，则m ＝，n ＝．
（2）已知二次函数y ＝x2+(m －2)x －2m ，当m ＝时，函
①
图2.2－6
②。