安徽省淮南二中2017届高三上学期第二次月考数学试卷(

2016-2017学年安徽省淮南二中高三（上）第二次月考数学试卷
（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）
A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（﹣∞，1]
2．已知f（x）=，则f（）的值是（）
A．0 B．1 C．D．﹣
3．设θ为第二象限的角，cos（﹣θ）=，则sin2θ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
4．设a=sin1，b=cos1，c=tan1，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
5．函数y=2sin（2x+）的图象（）
A．关于原点对称B．关于y轴对称
C．关于直线x=对称D．关于点（﹣，0）对称
6．为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
7．已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f（1）＜1，f（5）=，则实数a的取值范围为（）
A．﹣1＜a＜4 B．﹣2＜a＜1 C．﹣1＜a＜0 D．﹣1＜a＜2
8．若函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1） C．（﹣1，1）D．（1，2）
9．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
10．函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）
A．（0，]B．[，] C．[，] D．（，）
11．函数y=cosxsin2x的最小值为（）
A．﹣1 B．﹣C．﹣2 D．﹣
12．已知直线l是曲线C1：y=x2与曲线C2：y=lnx，x∈（0，1）的一条公切线，若直线l与曲线C1的切点为P，则点P的横坐标t满足（）
A
．0＜t＜B．＜t＜1 C．＜t＜D．＜t＜
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．计算（+x2）dx的结果是．
14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=．
15．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=．
16．已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）＜1，若f（1﹣m）﹣f（m）＞1﹣2m，则实数m的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣]上的取值范围．
18．已知实数x满足9x﹣4×3x+1+27≤0且f（x）=（log2）（log）．（Ⅰ）求实数x的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．
19．某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如表：
（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元．在（Ⅰ）的前提下：
（1）记X为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率．
20．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．
21．己知函数f（x）=xlnx﹣（a∈R），
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）≤0，求实数a取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点分别为x1，x2求证：x1x2＞1．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为
ρ2cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．
（Ⅰ）证明：|a+b|＜；
（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小．
2016-2017学年安徽省淮南二中高三（上）第二次月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）
A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（﹣∞，1]
【考点】并集及其运算．
【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故选：A．
2．已知f（x）=，则f（）的值是（）
A．0 B．1 C．D．﹣
【考点】对数的运算性质．
【分析】由0＜＜1，利用分段函数的性质及对数运算法则能求出f（）=f
（）==．
【解答】解：∵f（x）=，0＜＜1，
∴f（）=f（）==．
故选：C．
3．设θ为第二象限的角，cos（﹣θ）=，则sin2θ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由已知求出sinθ，再由同角三角函数基本关系式求得cosθ，再由倍角公式得答案．
【解答】解：∵cos（﹣θ）=，
∴sin，又θ为第二象限的角，
∴cosθ=﹣，
则sin2．
故选：D．
4．设a=sin1，b=cos1，c=tan1，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【考点】三角函数线．
【分析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，可得sin1、cos1、tan1的大小关系．
【解答】解：如图：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，
发现正切线最长，余弦线最短，
故有tan1＞sin1＞cos1＞0，即b＜a＜c，
故选C．
5．函数y=2sin（2x+）的图象（）
A．关于原点对称B．关于y轴对称
C．关于直线x=对称D．关于点（﹣，0）对称
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据正弦函数的图象及性质，求解对称轴和对称中心，考查个选项即可．
【解答】解：函数y=2sin（2x+），
对称轴方程为：2x+=，k∈Z，
得：x=，k∈Z，
考查B，C选项不对．
由2x+=kπ，k∈Z，
得：x=，k∈Z，
可得对称中心横坐标为（﹣，0）
当k=0时，可得对称中心为（，0）
故选D
6．为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，得出结论．
【解答】解：∵函数=sin（2x+）=sin2（x+），
∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，即可得到函数=sin （2x+）的图象，
故选：D．
7．已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f（1）＜1，f（5）=，则实数a的取值范围为（）
A．﹣1＜a＜4 B．﹣2＜a＜1 C．﹣1＜a＜0 D．﹣1＜a＜2
【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．
【分析】根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，
∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），
∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，
即﹣1=，
解得：﹣1＜a＜4，
故选：A．
8．若函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1） C．（﹣1，1）D．（1，2）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由题意可得f（x）=0即a=有两个不等的实数解．令g（x）=，求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R有两个零点，
等价为f（x）=0即a=有两个不等的实数解．
令g（x）=，g′（x）=，
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值1．
当x→+∞，y→0．
画出函数y=g（x）的图象，
由图象可得0＜a＜1时，y=g（x）和y=a有两个交点，
即方程有两个不等实数解，f（x）有两个零点．
故选：B．
9．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．
【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．
【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），
且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，
∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；
当x=﹣2时，f′（x）=0；
当x＜﹣2时，f′（x）＜0．
∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；
当x=﹣2时，xf′（x）=0；
当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．
故选A．
10．函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）
A．（0，]B．[，] C．[，] D．（，）
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据正弦函数f（x）的单调性，求出f（x）在R上的单调递增区间，再结合题意列出不等式组即可求出ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），
令﹣+2kπ≤ωx+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+≤x≤+，k∈Z；
所以f（x）在R上的单调递增区间是
[﹣+， +]（k∈Z）；
又f（x）在（，π）上单调递增，
∴，
解得（k∈Z）；
又ω＞0，
所以k=0时得ω的取值范围是0＜ω≤．
故选：A．
11．函数y=cosxsin2x的最小值为（）
A．﹣1 B．﹣C．﹣2 D．﹣
【考点】三角函数的最值．
【分析】由三角函数公式化简可得y=﹣2sin3x+2sinx，令sinx=t，则t∈[﹣1，1]，导数法y=﹣2t3+2t在[﹣1，1]的最小值可得．
【解答】解：由三角函数公式化简可得y=cosxsin2x
=cosx•2sinxcosx=2sinxcos2x
=2sinx（1﹣sin2x）
=﹣2sin3x+2sinx，
令sinx=t，则t∈[﹣1，1]，
对y=﹣2t3+2t求导数可得y′=﹣6t2+2，
令y′=﹣6t2+2≥0可得﹣≤t≤，
∴y=﹣2t3+2t在[﹣1，﹣]单调递减，
在[﹣，]单调递增，在[，1]单调递减，
∴当t=﹣时，y=﹣
当t=1时，y=0＞﹣，
∴原函数的最小值为﹣
故选：B．
12．已知直线l是曲线C1：y=x2与曲线C2：y=lnx，x∈（0，1）的一条公切线，若直线l与曲线C1的切点为P，则点P的横坐标t满足（）
A．0＜t＜B．＜t＜1 C．＜t＜D．＜t＜
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设P（t，t2），切线与曲线C2的交点为（s，lns）（0＜s＜1），分别求得函数的导数和切线的斜率及方程，运用两直线重合的条件，消去s，可得t2﹣ln
（2t）﹣1=0，令f（t）=t2﹣ln（2t）﹣1，t＞，再由零点存在定理，即可判断t的范围．
【解答】解：设P（t，t2），切线与曲线C2的交点为（s，lns）（0＜s＜1），
y=x2的导数为y′=2x，即有切线的斜率为2t，
可得直线l的方程为y﹣t2=2t（x﹣t），即为y=2tx﹣t2；
y=lnx的导数为y′=，即有切线的斜率为，
可得切线的方程为y﹣lns=（x﹣s），即为y=x+lns﹣1．
则有2t=，﹣t2=lns﹣1，0＜s＜1，t＞，
可得t2﹣ln（2t）﹣1=0，令f（t）=t2﹣ln（2t）﹣1，
f′（t）=2t﹣=，
即有f（t）在（，）递减，在（，+∞）递增，
由f（）=2﹣ln（2）﹣1＜0，f（）=3﹣ln（2）﹣1＞0，
可得f（t）在（，）内存在一个零点．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．计算（+x2）dx的结果是π+．
【考点】定积分．
【分析】法一：令x=2sint，dx=2costdt，x=2时，t=，x=0时，t=0，则（
+x2）dx=+（x3），由此能求出结果．
法二：由是圆x2+y2=4的面积的，得（+x2）
dx==，由此能求出结果．
【解答】解法一：令x=2sint，dx=2costdt，x=2时，t=，x=0时，t=0，
则（+x2）dx
=
=+（x3）
=2+
=（2t﹣sin2t）+
=π+．
解法二：∵是圆x2+y2=4的面积的，
∴（+x2）dx=
=
=．
故答案为：．
14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=﹣．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据周期求出ω，再根据五点法作图求得φ，可得函数的解析式，从而求得f（2）的值．
【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3﹣1，ω=．
再根据五点法作图可得×1+φ=，
∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），
∴f（2）=sin（﹣）=sin=﹣sin=﹣，
故答案为：﹣．
15．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=±1．
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】根据函数奇偶性的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．
【解答】解：若f（x）=在定义域上为奇函数，
则f（﹣x）=﹣f（x），
即=﹣，
即=﹣，
则（k•2x﹣1）（1+k•2x）=﹣（k﹣2x）（k+2x），
即k2•22x﹣1=﹣（k2﹣22x，
则k2•22x﹣1+k2﹣22x=0，
即k2﹣1=0，解得k=±1，
故答案为：±1
16．已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）＜1，若f（1﹣m）﹣f（m）
＞1﹣2m，则实数m的取值范围是（，+∞）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．
【分析】根据导数的定义，将不等式进行转化，构造函数g（x）=f（x）﹣x，利用导数的研究函数的单调性，进行求解即可．
【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1，
∵f（x）满足f′（x）＜1，
∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，
即函数g（x）在定义域上为减函数，
若f（1﹣m）﹣f（m）＞1﹣2m，
则f（1﹣m）﹣f（m）＞（1﹣m）﹣m，
即f（1﹣m）﹣（1﹣m）＞f（m）﹣m，
即g（1﹣m）＞g（m），
则1﹣m＜m，得m＞，
故实数m的取值范围是（，+∞），
故答案为：（，+∞）
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣]上的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）先利用辅助角公式或二倍角和两角和余差的基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（Ⅱ）x在[﹣]上，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1
化简可得：f（x）=4cosxsinxcos+4cosx•cosxsin﹣1=sinxcosx+2cos2x﹣1=
sin2x+cos2x=2sin（2x+）
（Ⅰ）f（x）的周期T=．
令2kπ≤2x≤2kπ+，解得：kπ≤x≤kπ+，（k∈Z）；
∴f （x ）的单调递增区间为[kπ，kπ+]（k ∈Z ）；
（Ⅱ）：x 在[﹣]上，
∴2x
∈[﹣
，]，
可得：sin （2x +
）∈[
，1]．
故f （x ）∈[﹣1，2]，
∴f （x ）在区间[﹣]上的取值范围是[﹣1，2]．
18．已知实数x 满足9x ﹣4×3x +1+27≤0且f （x ）=（log 2）（log ）．
（Ⅰ）求实数x 的取值范围；
（Ⅱ）求f （x ）的最大值和最小值，并求此时x 的值． 【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）转化为二次不等式求解即可．
（2）根据对数的运算法则，化简f （x ），转化为二次函数求解值域． 【解答】解：（1）实数x 满足9x ﹣4×3x +1+27≤0， 化解可得：（3x ）2﹣12•3x +27≤0， 即（3x ﹣3）（3x ﹣9）≤0， 得3≤3x ≤9， ∴1≤x ≤2，
故得x 的取值范围为[1，2]；
（2）f （x ）=（log 2）（log
）．
化解可得：f （x ）=（log 2x ﹣log 22）（）
=（log 2x ﹣log 22）（log 2x ﹣log 24） =（log 2x ﹣1）（log 2x ﹣2）
=（
）2﹣
∵x ∈[1，2]， ∴log 2x ∈[0，1]，
∴0≤=（）2﹣≤2．
∴当x=2时，f（x）有最小值0，当x=1时，f（x）有最大值2．
19．某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如表：
（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元．在（Ⅰ）的前提下：
（1）记X为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）求解运用古典概率得出甲，乙下生产线时为合格品的概率，
（Ⅱ）（1）确定随机变量X的所有可能取值为190，85，70，﹣35．
求解P（X=190），P（X=85），P（X=70），P（X=﹣35），求解分布列，
（2）设生产5件乙所获得的利润不少于300，运用二项分布问题求解，
【解答】解：（Ⅰ）甲为合格品的概率约为：=，
乙为合格品的概率约为：=；…
（Ⅱ）（1）随机变量x的所有取值为190，85，70，﹣35，而且
P（X=190）=×=，P（X=85）=×=，
P（X=70）=×=，P（X=﹣35）=×=；
所以随机变量X的分布列为：
…
所以：EX==125，…
（2）设生产的5件乙中正品有n件，则次品有5﹣n件，
依题意，90n﹣15（5﹣n）≥300，解得：n≥，取n=4或n=5，
设“生产5件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件A，则：
P（A）=C54（）4+（）5=…
20．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）对于含参数的函数f（x）的单调区间的求法，需要进行分类讨论，然后利用导数求出函数的单调性；
（Ⅱ）求出f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，设g（a）=4a3
﹣12a+8，求出g（a）在[]内是减函数，问题得以解决．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a），令f'（x）=0，则x1=0，x2=2a，（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（2a，+∞）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．
（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
∴函数f （x ）在区间（﹣∞，2a ）和（0，+∞）内是增函数，在区间（2a ，0）内是减函数． （Ⅱ）由及（Ⅰ），f （x ）在[1，2a ]内是减函数，在[2a ，2]内是增函
数，
又f （2）﹣f （1）=（8﹣12a +b ）﹣（1﹣3a +b ）=7﹣9a ＞0， ∴M=f （2），m=f （2a ）=8a 3﹣12a 3+b=b ﹣4a 3， ∴M ﹣m=（8﹣12a +b ）﹣（b ﹣4a 3）=4a 3﹣12a +8， 设 g （a ）=4a 3﹣12a +8，
∴g'（a ）=12a 2﹣12=12（a +1）（a ﹣1）＜0（a ∈[]），
∴g （a ）在[
]内是减函数，
故 g （a ）max =g （）=2+=，g （a ）min =g
（
）
=﹣
1+
4×=
．
∴
≤M ﹣m ≤．
21．己知函数f （x ）=xlnx ﹣
（a ∈R ），
（Ⅰ） 若函数y=f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为x +y +b=0，求实数a ，b 的值；
（Ⅱ） 若函数f （x ）≤0，求实数a 取值范围；
（Ⅲ） 若函数f （x ）有两个不同的极值点分别为x 1，x 2求证：x 1x 2＞1． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用函数在点（1，f （1））处的切线方程为x +y +b=0列式求得a ，b 的值； （Ⅱ）把f （x ）≤0恒成立转化为
恒成立，构造函数
，利用
导数求其最大值得答案；
（Ⅲ）利用函数f（x）在极值点处的导数等于0，得到ln（x1x2）=a（x1+x2）﹣
2=．
再把证x1x2＞1转化为证．令换元后再由导数证明．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx﹣，
得f′（x）=lnx﹣ax+1，
∵切线方程为x+y+b=0，
∴f′（1）=1﹣a=﹣1，即a=2．
又，可得切点为（1，﹣1），代入切线方程得b=0；
（Ⅱ）解：f（x）≤0恒成立等价于恒成立，即，
设，则，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0；
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．
∴当x=e时，，即；
（Ⅲ）证明：若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，
即f′（x1）=lnx1﹣ax1+1=0，f′（x2）=lnx2﹣ax2+1=0，
即lnx1+lnx2﹣a（x1+x2）+2=0且lnx1﹣lnx2﹣a（x1﹣x2）=0．
也就是ln（x1x2）=a（x1+x2）﹣2=．
要证x1x2＞1，只要证＞0．
即证，
不妨设x1＞x2，只要证成立，
即证．
令，即证，
令h（t）=lnt﹣，则．
∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，
∴h（t）＞h（1）=0，原式得证．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为
ρ2cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用倍角公式、极坐标与直角坐标互化公式即可得出．
（2）把直线参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得：t2﹣4t﹣6=0，
利用弦长公式即可得出．
【解答】解：（1）由曲线C：ρ2cos2θ=ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，
得ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=1，化成普通方程x2﹣y2①
（2）把直线参数方程（t为参数）②
把②代入①得：整理，得t2﹣4t﹣6=0
设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1•t2=﹣6
从而弦长为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．
（Ⅰ）证明：|a+b|＜；
（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，
由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…
∵a、b∈M，∴|a|＜，|b|＜，
∴|a+b|≤|a|+|b|＜．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜，b2＜．
因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）
=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…
所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…
2017年4月19日。