山东大学卧龙学校2013届高三上学期复习班竞赛数学(理)试题

高三复习班竞赛试题数学（理）
第I 卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它的答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“若a ＞b ，则2a ＞2b ”的否命题是
A.若a ＞b ，则2a ≤2b
B.若2a ＞2b ，则a ＞b
C.若a ≤b ，则2a ≤2b
D.若2a ≤2b ，则a ≤b 2.设全集U=R ，集合x 1A x y ln x -⎧
⎫
==⎨⎬⎩⎭
，则
A.()(),01,-∞⋃+∞
B.[]0,1
C.()0,1
D.(][),01,-∞⋃+∞
3.已知m R ∈，复数m
1i
-在复平面内对应的点在直线x y 0-=上，则实数m 的值是 A.1-
B.0
C.1
D.2
4.函数y x cosx =⋅的图象大致是
5.
2
1
1x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎰
的值是
A.3+ln2
B.
3ln 22+ C.4+ln2 D.7
ln 22
+ 6..设βα、为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，且,m n ⊂⊂αβ,有
两个命题：p ：若//m n ，则//αβ；q ：若m ⊥β，则⊥αβ；那么( ) A ．“p 或q ”是假命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“非p 或q ” 是假命题 D ．“非p 且q ”是真命题
7. 已知实数x ,y 满足|2x +y +1|≤|x +2y +2|，且11≤≤-y ，则z =2x +y 的最大值( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. －3
8. 偶函数f (x )满足f (x －1)=f (x +1)，且在x ∈[0，1]时,f (x )=x ，则关于x 的方程f (x )=
110x
⎛⎫
⎪⎝⎭
，在x ∈[0，4]上解的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1321
3a ,a ,2a 2成等差数列，则1113810
a a a a +=+ A.1-或3
B.3
C.27
D.1或27
10.在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD=3，点P 在AD 上且满足3=AD AP ，则
()
⋅+=DA PB PC
A.6
B.6-
C.12
D.13-
11、在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点.P 为EF 上任一点,实数x ，y 满足
PA +x PB +y PC =0.设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，
3S ，记
11S S λ=,22S
S λ=,33S S
λ=,则23⋅λλ取最大值时，2x +y 的值为( ) A. －1 B. 1 C. －32 D. 3
2
12.已知曲线()2
2
C:x y 4x 0,y 0+=≥≥，与抛物线2x y =及2y x =的图象分别交于点
()()1122A x ,y ,B x ,y ，则2
212y y +的值等于
A.1
B.2
C.4
D.8
第II 卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.已知2cos 23π⎛⎫
+α=-
⎪⎝⎭
，则cos 2α=________.
14.已知22334424,39,41633881515
+
=⨯+=⨯+=⨯，…，观察以上等式，若99
9k m n
+=⨯（m ，n ，k 均为实数），则m+n －k=_______.
15.已知双曲线()22
22x y 1a 0,b 0a b
-=>>的焦距为25，一条渐近线平分圆
22x y 4x 2y 0+-+=，则双曲线的标准方程为_______.
16.定义在R 上的函数()f x ，对x R ∀∈，满足()()()()f 1x f 1x ,f x f x -=+-=-，且()f x 在[]0,1上是增函数.下列结论正确的是___________.（把所有正确结论的序号都填上） ①()f 00=；
②()()f x 2f x +=-；
③()f x 在[]6,4--上是增函数； ④()f x 在x 1=-处取得最小值.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且b
c
B A 2tan tan 1=+. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）已知6,2
7
==
bc a 求c b +的值.
18.(本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足n n a S -=4. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设),(log 21
2*∈-=N n a b n
n 数列}{2+n n b b 的前n 项和为n T ，求证：43<n T .
19. （本小题满分12分）
如图,在直角梯形ABCP 中，AP //BC ，AP ⊥AB ，AB =BC =
1
2
AP =2，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD .
(Ⅰ1) 求证：平面PCD ⊥平面P AD ；
(Ⅱ) 求二面角G －EF －D 的大小；
20．（本题满分12分）
已知数列{}n a 中，15a =且1221n
n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）.
（Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .
21. （本小题满分12分）
已知椭圆的焦点坐标为1F （－1,0），2F （1,0），过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ |=3， （Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△1F MN 的内切圆的
面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
22.（本题满分14分）
已知函数21
1()ln()22
f x ax x ax =++-（a 为常数，0a >）. （Ⅰ）若12
x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （Ⅱ）求证：当02a <≤时，()f x 在1[,)2
+∞上是增函数；
（Ⅲ）若对任意．．的a ∈（1，2），总存在．．01
[,1]2x ∈，使不等式2
0()(1)f x m a >-成
立，求实数m 的取范围.
高三复习班竞赛试题数学（理）
一、选择题
CBCAB DBDCD DC
二、填空题 13 19 14、79 15、
2
2x y 14
-= 16、①②④ 17．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由1+
tan 2sin cos 2sin tan cos sin sin A c A B C B b A B B
==及正弦定理,得1+，……3分 cos sin sin cos 2sin cos sin sin A B A B C
A B B
+=即
, sin()2sin ,cos sin sin A B C A B B
+∴= ………………………………………………5分 1
sin()sin 0,cos .2
ABC A B C A ∆+=≠∴=在中,…………………………6分
0,.3
A A π
π<<∴=
…………………………………………7分
（Ⅱ）由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-，………………………………8分 又71
,6,cos 22
a bc A ===， 则
2249
4
b c bc =+-=22()3()18b c bc b c +-=+-，……………………10分 解得11
.2
b c += ……………………………………………………12分
18解：（Ⅰ）由题设知2,4111=-=a a S ， …………………………………………2分
由⎩⎨⎧-=-=++11
44n n n
n a S a S 两式相减，得11++-=-n n n n a a S S .
所以21
2,1111==-=++++n n n n n n n a a a a a a a 即
. ……………………………………4分 可见，数列{}n a 是首项为2，公比为
2
1
的等比数列。

所以2
1
21212--⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=n n n a …………………………………………6分
（Ⅱ）n
n a b n n 1
)2(21log 212=--=-=
， ……………………………………… 8分
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-=+=
+21121)2(12n n n n b b n n . ……………………………………… 10分
2534231++⋯+++=n n n b b b b b b b b T
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
2115131412131121n n =4
3211121
121<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+n n . 19.解 (1) ∵PD ⊥平面ABCD ∴PD ⊥CD ∵CD ⊥AD ∴CD ⊥平面P AD ∵CD ⊂平面PCD ∴平面PCD ⊥平面P AD ……………………………4分 （2） 如图以D 为原点,以,,DA DC DP 为方向向量建立空间直角坐标系D －xyz .
则有关点及向量的坐标为: ………………………………5分
G （1，2，0）,E （0，1，1），F （0，0，1） EF =（0，－1，0）
，EG =（1，1，－1）……6分 设平面EFG 的法向量为n =（x ，y ，z ）
∴00
.00
0n EF y x z x y z y n EG ⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪⎩ 取n =(1,0,1) 平面PCD 的一个法向量, DA =(1,0,0)………………8分 ∴cos 22
,2||||22
DA n DA n DA n ⋅=
==⋅………………………………10分 结合图知二面角G －EF －D 的大小为45°……………………………12分 20.解：（Ⅰ）设1151
,222
n n n a b b --=
==……………………1分 []11111111(2)1222n n n n n n n n n a a b b a a +++++---=
-=-+=111(21)112
n n ++⎡⎤-+=⎣⎦……4分 所以数列12n n a -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为首项是2公差是1的等差数列.……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，
111(1)1,22
n n a a n --=+-⨯(1)21n
n
a n ∴=+⋅+…………7分 121(221)(321)(21)[(1)21]n n n S n n -=⋅++⋅+++⋅+++⋅+
12122322(1)2n n n S n n n -∴=⋅+⋅+
+⋅++⋅+…………8分 设12122322(1)2n n n T n n -=⋅+⋅+
+⋅++⋅ ①
231222322(1)2.n n n T n n +=⋅+⋅+
+⋅++⋅ ② ②－①，得
1231122(222)(1)22n n n n T n n ++=-⋅-++
+++⋅=⋅……………11分
所以112(21)n n n S n n n ++=⋅+=⋅+……………………12分
21. 解：（1） 设椭圆方程为22
22x y a b +=1（a>b >0）,由焦点坐标可得c =1
由|PQ |=3，可得22b a =3， 解得a =2，b =3，故椭圆方程为22
43x y +=1 (4)
（2） 设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ,不妨1y >0, 2y <0,设△1F MN 的内切圆的径R ，
则△1F MN 的周长=4a =8，11
2F MN
S
=
（MN +1F M +1F N ）R =4R 因此1F MN S ∆最大，R 就最大， 1212121
()2
AMN S F F y y y y ∆=-=-，
由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x =my +1，由22114
3x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得
2
2
(34)m y ++6my －9=0， 得21236134m m y m -++=
+，222361
34
m m y m --+=+， 则12
AMN
S ∆=AB （12y y -）=12y y -=22
12134m m ++， 令t=2
1m +,则t≥1, 则2221211212134313AMN
m t S m t t t
∆+===+++, 令f （t ）=3t +1t ，则f ′(t ) =3－2
1
t ， 当t ≥1时，f ′(t )≥0,f (t)在［1,+∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)=4, AMN S ∆≤123
=3, 即当t =1,m =0时，AMN S ∆≤
123=3, AMN S ∆=4R ，∴max R =3
4
，这时所求内切圆面积的最大值为916π.故直线l :x =1，△AMN 内切圆面积的最大值为9
16
π………12分
22．解：221
2()122()2,()11122
a ax x a
a f x x a x ax a ax --'=+-=>-++……1分
（Ⅰ）由已知，得1()02f '=即221
22a a -=，220,0, 2.a a a a ∴--=>∴=经检验，
2a =满足条件.…………4分
（Ⅱ）当02a <≤时，
22212(2)(1)
0,2222a a a a a a a a
----+-==≤ 221,22a a -∴≤…………5分∴当12x ≥时，22
02a x a --≥.又
201ax ax >+， ()0,f x '∴≥故()f x 在1
,)2
⎡+∞⎢⎣上是增函数………………………6分
（Ⅲ）当(1,2)a ∈时
，由（Ⅱ）知，()f x 在1
[,1]2
上的最大值为11
(1)ln()1,22f a a =++-于是问题等价于：对任意的(1,2)a ∈，不等式
211
ln()1(1)022
a a m a ++-+->恒成立.…8分 记211()ln()1(1),(12)22
g a a a m a a =++-+-<<则
1()12[2(12)],11a g a ma ma m a a
'=
-+=--++………………9分 当0m ≤时，有2(12)2(1)10ma m m a --=+-<，且
0,()1a
g a a
>∴+在区间（1，2）上递减，且(1)0g =，则0m ≤不可能使()0g a >恒成立，故必有0.m >……11分
当0m >，且21
()[(1)].12ma g a a a m
'=--+ 若
1112m ->，可知()g a 在区间1
(1,min{2,1})2D m
=-上递减，在此区间D 上有()(1)0g a g <=，与()0g a >恒成立矛盾，故
1
112m
-≤，这时()0g a '>，即()g a 在（1，2）上递增，恒有()(1)0g a g >=满足题设要求.
1
112m m
>⎧⎪
∴⎨-≤⎪⎩，即14m ≥，……………………………………13分 所以实数m 的取值范围为1
[,)4
+∞.…………………………14分。