解排列组合应用题的十三种策略及常现背景

解排列组合应用题的十二种策略导与练
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一、运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。

例 1 （2003年全国高考题）如右图，一个地区分为5
个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，
现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有 种。

（以
数字作答）。

分析：本题只要用两个基本原理即可解决。

解：根据题意，可分类求解：第一类，用三种颜色着色，
由乘法原理C 14C 41 C 12=24种方法；第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C 14C 41 C 12 C 11=48种方法。

从而再由加法原理，得24+48=72种方法。

故应填72。

二、特殊元素（位置）优先
例2 从a,b,c,d,e 这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b 不能放在第二个格子中，问共有多少种不同的放法？
解法一（元素分析法，b 为特殊元素）先排b ，但考虑到取出的4个元素可以有b,也可以没b,所以分两类：第一类，取出的4个元素中有b,则排b 有A 13种方法；再从a,c,d,e 中取出3个排另外三个格子有A 34种所以此类共有A 3413A ⋅种。

第二类，取出的4个元素中没有b ，则!有A 44种方法，所以共有A 3413A ⋅+ A 44=96种放法.
解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A 14种（从a,c,d,e 中取一个）再排另三格有A 34种，所以共有A 14.A 3
4种放法。

解法三：（间接法）3445A A -
三、捆绑法
例3．计划在一画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
A 5544A A ⋅
B 554433A A A ⋅⋅
C 554413A A C ⋅⋅
D 554422A A A ⋅⋅
解：油画整体、国画整体、水彩画个“元素” 先排，考虑到水彩画不能排两端，所以有22A 种方法，又幅油画的不同陈列方式有44A 种，幅国画陈列方式 有5
5A 种，因而，画展
的不同陈列方式 有554422A A A ⋅⋅种，故选D.
四、插空法 例4、道路边上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
解：由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于：在7盏开着的路灯的6
个间隔中，选出3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有2036=C 种。

练：
（1）三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6人排成一排合影，同校任两名学生不能相邻，那么不同的排法有多少种。

（120种）
五、排除法
例5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）
A．8种B．12种C．16种D．20种
解：由六个面任取三个共有C36=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件的共有C36-8=12种。

故选B。

六、对称比例法
有些排列组合应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解。

例6由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于5000的偶数共有（）
A．60个B．48个C．36个D．24个
解：全排列为A55，由题意知满足条件的五位数的个位上出现2，或4的可能性为
，在余下的四个数中，万位上出现满足条件的数字的可能性为，故满足条件的五位数
共有：××A55=36。

故选C。

例7用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．24个B．30个C．40个D．60个
解：五个数字选三个组成的三位数共有A35个，其中2，4为个位数的占，所以满足
条件的偶数共有A35=24。

故选A。

七、多元分类法
对于元素多、选取情况多的可按要求进行分类讨论，最后总计。

例8有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）
A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种
解：先从10人中选出2人承担甲项任务，有C210种选法，再从余下的8人中选1人承担乙项任务，有8种，最后从7人中选1人承担丙项任务，有7种，所以根据乘法原理知共有C210×8×7=2520种。

故选C。

例9一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植
一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种。

解：先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法。

而作物B种植的情况与作物A相同，所以满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2=12种。

练习
①2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项
工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有(B)
Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种
②用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(B)
A．324 B．328 C．360 D．648
③从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有
入选的不同选法的种数(C)
A 85
B 56 C. 49 D. 28
④某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至
少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24
C.28
D.48 (A)
⑤某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人开会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自不同企业的可能情况的种数为（）(B)
A、14
B、16
C、20
D、48
⑥从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ B ）
A.280种
B.240种
C.180种
D.96种
⑦有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（C ）
A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种
⑧一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植
一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有12 种。

八、先取后排法
例10．有5个男生和3个女生，从中选5 个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。

⑴有女生但人数少于男生⑵某女生一定要担任语文科代表。

⑶某男生必须在内，但不担任数学科代表。

⑷某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科代表。

分析：比较复杂的排列组合混合问题，一般要遵循先取后排的原则。

解：⑴可分为1女4男和2女3男，共计不同的选法种数为4535234513=⋅+⋅C C C C ，
任科代表种数为5545A ，即（5535234513)A C C C C ⋅+⋅=5400
⑵某女生一定要担任语文科代表，余4门科代表从余下的7人中任选有84047=A 种。

⑶某男生从除数学外四科中任选一科代表有1
4C ，余4科从余下的7人中任选共有不同
种数为33604714=⋅A C ⑷某女生任语文科代表，某男生从余下313C 种（数学除外）中任一科有1
3C 种，余3科
代表由余下6人中选项任，共计不同安排总数为3603613=⋅A C 种。

九、转化法
例11．将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每校至少1个保额，问名额分配的方
法共有多少种？
解：问题等价于将排成一行的12个相同元素分成7份的方法数，相当于用6 块隔板插
在11个间隔中，共有4626
11=C 种不同的方法。

例12．10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同跨法？
解：由题意知要有4步单级、3步双级，因此，这是两类不同元素的排列，问题等价于
只要在7步中任意选3步双级即可。

故3537=C 种。

十、隔板法
例13 20个相同的球分放在三个盒中，不允许有盒不放球，有多少种分法？
解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中，规定由隔板分成
的左、中、右三部分球分别放在三个盒中，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应
了一种隔法，于是分法的总数为C 219种方法。

练一练
（1）7个相同的小球, 任意放入四个不同的盒子里, 则问每个盒子都不空的放法共有（ ）
种
（2）15个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个盒中，要求盒中的球数不少于编号数，
问有多少种不同的放法。

（3）要从7所学校选出10人参加素质教育研讨会，每所学校至少参加1人，则这10个
名额共有多少种不同的分配方法？
（4）将组成蓝球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1人，问名额的分配方式共有
多少种 4626
11=C 种不同的方法。

（5）马路上有编号为1，2，3，4，5，。

10盏路灯，现要关掉其中3盏，但不能同时关
掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足条件的关灯方法有（ 20 ）种。

用
隔板法处理该题．
(6) 6个人带10汽水去春游, 每人至少带一瓶, 一共有多少种携带方法( 27)
十一、定序问题倍缩法
1、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。

不同的安排方法共有（C ）
A. 20种
B. 30种
C. 40种
D. 60种
2 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( C )
A ．2283C A
B ．2686
C A C ．2286C A
D ．2285C A 3 在100,101,102,,,,,999之中,由三个不同数码按递增或递减的次序排列成三位数的个数是 204个
4 某仪表显示屏上一排有7个小孔, 每个小孔可以显示出0或1, 若每次显示出其中的3个孔,但相邻的两个孔不能同时显示, 则这个显示屏可以显示的不同信号种数是( 80)
十二 均分与不均分的分组问题,定向与不定向的分配问题
1. 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )
（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A
（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 2. 从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一
人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方
案共有
（ B ）
A ．300种
B ．240种
C ．144种
D ．96种
3.将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ A ）
A ．70
B ．140
C ．280
D ．840
4.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ D ）
A ．10100610480C C C ⋅
B ．10100410680
C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅
D ．10100
420680C C C ⋅ 5．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( D)
A.16种
B.36种
C.42种
D.60种
6．将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有选B.
（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种7．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）A．40种B．60种C．100种D．120种
（8）某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）种
A、36种
B、38种 C.、108种D、24种
（9）将5名志愿者分配给3个不同的奥运场馆参加接持工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为：（D）
A、540种
B、300种 C.、180种D、150种
10 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特
征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（C ）
A．8
91
B．
25
91
C．
48
91
D．
60
91
1112个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为(B)
A．1
55
B．
3
55
C．
1
4
D．
1
3
12 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人
不区分站的位置，则不同的站法种数量（用数字作答）.(336)
14 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有36
种（用数字作答）．
15 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片则获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（）
A、31
81B、3
81
C、48
81
D、50
81
(D)
十二 数字背景问题:
1、用1,2,3,4,5,6,7,8, 9六个数字组成没有重复数字的四位数中,是9的倍数的有
(24)个
2、在1,2,3,4……..100这100个数字中任取两个不等的数, 回答下列各题:
(1) 使它们的和是3的倍数,这样的取法共有多少种
(2) 使它们的积为3的倍数,这样的取法共有多少种.
1123433331.1650C C C +=（） (2) 112673333.2739C C C +=
3 720的公约数共有多少个, (30个) 19．2310的正约数有 个，(32)
4 用1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字中任取两个不同的数分别作为一个对数的真数和 底数,一共可以得到多少个不同的对数值, 其中比1大的数有几个?(53)
5 由0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,且百位上的数字奇数,则这样的四位数 有多少?
6 用0,1,2,3,4,5这六个数字
(1) 能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2) 能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数
(3) 能组成多少个比1325大的四位数?
(4) 能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数上的六位数字
分三类: (1)形如2○○○ 3○○○,4○○○,5○○○共有1345A .A 类
(2)形如14○○ 15○○ 共有1224A .A
（3）形如134○, 135○ 共有1123A .A 个
故共有270个
(4) 先将1,3,5在奇数位上排列, 有33A 再将其余3个偶数排在剩余3个位置上排列,共有3232A A ∙,由分步原理, 所以符合条件的共有3332
3332A .A -A .A . 十三 交叉问题：注意用集合的思想处理：
[]()()()()()
U U u Card C A C B Card C A B Card Card A B Card Card Card Card A B I
I A B ⋂=⋃=⋃=+⋂---
① 50名学生参加甲，乙两项体育活动，每人至少参加了一项。

参加甲项的学生有30名，
参加乙项的学生有25，则仅参加了一项活动的学生人数为
A 50
B 45
C 40
D 35 B
A
②安排A，B，C三人在星期一至星期六值班，每人值班两天，A不值星期一，B不值星
期六，则不同的排法有多少种。

（42）
③有A，B，C，D，E，F共6个不同的油气罐，准备用甲，乙，丙3台卡车运走，每台
运两个，但卡车甲不能运A罐，卡车乙不能运B罐，此外无其它限制，要把这6个油气罐分给这3台卡台，则不同的分配方案有多少种？（42）
错排问题的题型
（1）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺卡，则这四种贺年卡的不同分配方式有（）种。

(9)种
（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球，和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒
子编号相同，则这样的投入方法的总数有（2
2
5
C
）种。

（3）从4只标号分别为1，2，3，4的小球中，选出3只分别放入编号为甲，乙、丙的盒中，若规定1号球不能放入甲盒，2号球不能放入乙盒，3号球不能放入丙盒，可能的放法有（11 ）
(4)．如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。

则不同的涂色方法共
有《选自2010年天津真题）（B）
A．288种B．264种C．240种D．168种
（5) ）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。

若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______264_种（用数字作答）.。