七年级初一数学数学第六章 实数的专项培优易错试卷练习题及解析

七年级初一数学数学第六章 实数的专项培优易错试卷练习题及解析
一、选择题
1．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义其变换法则如下：
()()1,,P x y x y x y =+-，且规定()()()11,,n n P
x y P P x y -=（n 为大于1的整数）， 如，
()()11
,23,1P =-，()()()()()21111,21,23,12,4P P P P ==-=，()()()()()31211,21,22,46,2P P P P ===-，
则()20171
,1P -=（ ）． A ．()10080,2 B ．()10080,2- C ．()10090,2- D ．()10090,2
2．设n 为正整数，且1n n <
<+，则n 的值为（ ） A ．42 B ．43
C ．44
D ．45 3．下列结论正确的是（ ）
A ．无限小数都是无理数
B ．无理数都是无限小数
C ．带根号的数都是无理数
D ．实数包括正实数、负实数
4．若一个正方形边长为a ，面积为3，即23a =，可知a 是无理数，它的大小在下列哪两个数之间( )
A ．1.5 1.6a <<
B ．1.6 1.7a <<
C ．1.7 1.8a <<
D ．1.8 1.9a << 5．下列各式的值一定为正数的是 （ ） A ．a B ．2a
C ．2(100)a -
D ．20.01a + 6．若23(2)0m n -++=，则m+n 的值为（ )
A ．-1
B ．1
C ．4
D ．7
7．有下列说法：①在1和2一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④
2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④
B ．①②④
C ．②④
D ．②
8．在实数
227，0中，是无理数的是（ ）
A ．227
B ．0
C D
9．在实数227-π中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10．下列运算中，正确的是（ ）
A ．93=±
B ．382=
C ．|4|2-=-
D ．2(8)8-=-
二、填空题
11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=
． 例如：(-3)☆2= 3232
2-++-- = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____．
12．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____． 13．若已知x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．
14．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___
15．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．
162(2)-的平方根是 _______ ；38a 的立方根是 __________．
17．有若干个数，第1个数记作1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ,……，第n 个数记为n a ，若1a =13
，从第2个数起，每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数，则2019a =_____．
18．31.35 1.105≈3135 5.130≈30.000135-≈________．
19．将2π，933-272
这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________． 20．11133+=112344+=113455
+=，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．
三、解答题
21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①31000100==，又1000593191000000<<，
10100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，
<<34<<，可得3040<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写．．．．
结果：
=________．
=________． 22．规律探究，观察下列等式：
第1个等式：111111434a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第2个等式：2111147347a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式：311117103710a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式：41111101331013a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭
请回答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：= ___________ = ___________
（2）用含n 的式子表示第n 个等式：= ___________ = ___________(n 为正整数） （3）求1234100a a a a a ++++
+ 23．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯ ， 将以上三个等式两边分别相加得：
11111111112233422334++=-+-+-⨯⨯⨯=13144-= （1）猜想并写出：1n(n 1)
+ = ． （2）直接写出下列各式的计算结果：
①1111 (12233420152016)
++++⨯⨯⨯⨯= ；
②1111...122334(1)
n n ++++⨯⨯⨯⨯+= ； （3）探究并计算：
1111...24466820142016++++⨯⨯⨯⨯． 24．定义☆运算：
观察下列运算：
两数进行☆运算时，同号 ，异号 ． 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ．
（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝ ．
（3）若2×（﹣2☆a ）﹣1＝8，求a 的值．
25．让我们规定一种运算a b ad cb c d =-， 如23
2534245=⨯-⨯=-． 再如
1
4224x x =-． 按照这种运算规定，请解答下列问题，
（1）计算60.5
142
= ；-3-245= ；2-335x x =- （2）当x=-1时，求223212232
x x x x -++-+---的值（要求写出计算过程）． 26．计算：
（1）()23
20181122⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
（23
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一、选择题
1．D
解析：D
因为
()()11
,10,2P -=，()()()()()21111,11,10,2=2,2P P P P -=-=-,()()()()()31211,11,22,20,4P P P P -=-=-=,()()41,14,4P -=-,()()51
,10,8P -= ()()6
1,18,8P -=-,所以()()211,10,2n n P --=,()()21,12,2n n n P -=-,所以 ()()
100920171,10,2P -=,故选D. 2．C
解析：C
【分析】
先确定2019介于1936、2025这两个平方数之间，从而可以得到4445<
<，再根据已知条件即可求得答案．
【详解】
解：∵193620192025<<
∴2244201945<<．
<
∴4445<<
∵n 为正整数，且1n n <
<+ ∴44n =．
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与2019临界的两个完全平方数是解决问题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
利用无理数，实数的性质判断即可．
【详解】
A 、无限小数不一定是无理数，错误；
B 、无理数都是无限小数，正确；
C 、带根号的数不一定是无理数，错误；
D 、实数包括正实数，0，负实数，错误，
故选：B ．
【点睛】
考核知识点：实数.理解实数的分类是关键.
4．C
解析：C
分别计算出1.5、1.6、1.7、1.8、1.9的平方，然后与3进行比较，即可得出a 的范围.
【详解】
解：∵22222
1.5
2.25,1.6 2.56,1.7 2.89,1.8
3.24,1.9 3.61=====
又2.89＜3＜3.24
∴1.7 1.8a <<
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，利用平方法是解题关键． 5．D
解析：D
【分析】
任何数的绝对值都是一个非负数.非负数(正数和0)的绝对值是它本身，非正数(负数和0)的绝对值是它的相反数.任何数的平方都是大于等于0的.
【详解】
选项A 中，当a=0，则a =0；
选项B 中，当a=0，则a²=0；
选项C 中，当a=100，则(a-100)²=0；
选项D 中，无论a 取何值，a²+0.01始终大于0.
故选：D.
【点睛】
此题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题关键在于掌握其性质.
6．B
解析：B
【分析】
根据非负数的性质列式求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】 ∵2
3(2)0m n -++=
∴m-3=0,n+2=0,
解得：m=3,n=-2,
∴m+n=1
故选B.
【点睛】
此题考查非负数的性质：偶次方，非负数的性质：绝对值，解题关键在于掌握其性质. 7．D
解析：D
【分析】
根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误； ④
2
π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】 解：227
是分数，属于有理数，故选项A 不合题意； 0是整数，属于有理数，故选项B 不合题意；
2=-，是整数，属于有理数，故选项C 不合题意；
是无理数，故选项D 符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是关键．
9．B
解析：B
【解析】
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
详解：无理数有π共2个．
故选B ．
点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数．
10．B
解析：B
根据平方根及立方根的定义逐一判断即可得答案．
【详解】
，故该选项运算错误，
2=，故该选项运算正确，
2=，故该选项运算错误，
8=，故该选项运算错误，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根及立方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个数的立方根只有一个．
二、填空题
11．8
【解析】
解：当a ＞b 时，a☆b= =a，a 最大为8；
当a ＜b 时，a☆b==b，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b =
2a b a b ++- =a ，a 最大为8； 当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b ++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．±27
【分析】
根据a 的平方等于9，先求出a ，再计算a3即可．
【详解】
∵（±3）2=9，
∴平方等于9的数为±3，
又∵33=27，（-3）3=-27．
故答案为±27．
【点睛】
本题考查了
解析：±27
【分析】
根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．
【详解】
∵（±3）2=9，
∴平方等于9的数为±3，
又∵33=27，（-3）3=-27．
故答案为±27．
【点睛】
本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则. 13．-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.
【详解】
解：∵+（y+2）2=0
∴
∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟
解析：-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.
【详解】
（y+2）2=0
∴
10
20 x
y
-=
+=⎧
⎨
⎩
1
2 x
y
=
⎧
∴⎨
=-
⎩
∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键.
14．【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-
1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，
÷=……，即1中第三个数
∵1994493
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
15．5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解析：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．2a
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义解答.
【详解】
的平方根是，的立方根是2a，
故答案为：，2a.
【点睛】
此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立
解析：
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义解答.
【详解】
3
8a的立方根是2a，
故答案为：，2a.
【点睛】
此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立方根.
17．-2
【分析】
根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定．
【详解】
解：=
……
所以数列以，，三个数循环，
所以==
故答案为：．
【
解析：-2
【分析】
根据1与它前面的那个数的差的倒数，即111n n a a +=
-，即可求得2a 、3a 、4a ……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定2019a ．
【详解】
解：1a =13 21
31
213a ==-
31
2312a ==--
411123
a ==+ …… 所以数列以
13，32，2-三个数循环， 20193673÷=
所以2019a =3a =2-
故答案为：2-．
【点睛】
通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
18．-0.0513
【分析】
根据立方根的意义，中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位．
【详解】
因为
所以-0.0513
故答案为：-0.0513
【点睛】
考核知识点：立方根．理解立方
解析：-0.0513
【分析】
n =中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位．
【详解】
5.130≈
≈-0.0513
故答案为：-0.0513
【点睛】
考核知识点：立方根．理解立方根的定义是关键．
19．＜＜
【分析】
先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．
【详解】
==，==，
∵＞3＞2，
∴＜＜，即＜＜，
故答案为：＜＜
【点睛】
本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解
＜2
π
【分析】
先根据数的开方法则计算出3的值，再比较各数大小即可． 【详解】
33=22=32-=32， ∵π＞3＞2，
∴22＜32＜2π＜2
π，
＜2
π 【点睛】
的值是解题关键． 20．【分析】 观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次根式，找
(1)n n =+≥ 【分析】
=(2=+
(3=+n(n ≥1)的等式表示出来是
(1)n n =+≥ 【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来是
(1)n n =+≥
(1)n n =+≥ 【点睛】 本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n 表示的等式即可．
三、解答题
21．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【分析】
（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】
（1）①31000100==，10001951121000000<< ，
∴10100<<，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
<<
∴56<<，
可得5060<<，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】
此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
22．（1）11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
；（2）[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦；（3）100301
. 【分析】
（1）观察前4个等式的分母先得出第5个式子的分母，再依照前4个等式即可得出答案；
（2）根据前4个等式归纳类推出一般规律即可；
（3）利用题（2）的结论，先写出1234100a a a a a +++++中各数的值，然后通过提取公因式、有理数加减法、乘法运算计算即可.
【详解】
（1）观察前4个等式的分母可知，第5个式子的分母为1316⨯
则第5个式子为：51111131631316a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 故应填：11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝
⎭； （2）第1个等式的分母为：14(130)(131)⨯=+⨯⨯+⨯
第2个等式的分母为：47(131)(132)⨯=+⨯⨯+⨯
第3个等式的分母为：710(132)(133)⨯=+⨯⨯+⨯
第4个等式的分母为：1013(133)(134)⨯=+⨯⨯+⨯
归纳类推得，第n 个等式的分母为：[]13(1)(13)n n +-⋅+
则第n 个等式为：[]1111313(1)(13)13(1)13n a n n n n +-⋅++⎡⎤==-⎢⎥⎣-⎦
+（n 为正整数） 故应填：[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦
； （3）由（2）的结论得：
[]10013(1001)(13100)298301311111329801a ⎛⎫==+⨯-⨯+⨯⨯=⨯- ⎪⎝⎭
则1234100a a a a a +++++ 1111144771010132983011+++++⨯⨯⨯⨯⨯= 111111111111343473711132981031013301⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-+⨯-++ ⎪ ⎪ ⎛⎫=⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭
111111111++++3447710111290133018=-⎛⎫⨯-+--- ⎪⎝⎭ 1330111⎛=⨯-⎫ ⎪⎝⎭ 301301
03⨯= 110030=. 【点睛】
本题考查了有理数运算的规律类问题，依据已知等式归纳总结出等式的一般规律是解题关键.
23．（1）
111n n -+；（2）①20152016；②1n n +；（3）10074032. 【分析】
（1）观察所给的算式可得：分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，由此即可解答；（2）根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算即可解答；（3）先提取
14，类比（2）的运算方法解答即可． 【详解】 （1）()11n n + =111
n n -+； （2）①1111...12233420152016++++⨯⨯⨯⨯=11111122334-+-+-+…+1120152016
-=112016-=20152016
； ②()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯⨯+=11111122334-+-+-+…+111n n -+=111n -+=1
n n +； （3）1111 (24466820142016)
++++⨯⨯⨯⨯ =14（1111 (12233410071008)
++++⨯⨯⨯⨯）， =14（11111122334-+-+-+…+1110071008
-）， =14（111008
-）， =14×10071008
=10074032
. 【点睛】
本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键.
24．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-
52 【分析】
（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则； （2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算； （3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案．
【详解】
(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值； （2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：
原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；
（3）①当a=0时，左边=()22012213⨯--=⨯-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得132
a =-（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52-
， 综上所述：a=-
52
． 【点睛】
本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键．
25．（1）1；-7；-x ；（2）-7
【分析】
（1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可；
（2）根据新运算的定义式将原式化简为-x-8，代入x=-1即可得出结论．
【详解】 解：（1）60.5
160.543211242
=⨯-⨯=-=； -3-2
352415874
5=-⨯--⨯=---=-（）（）； 2-3253310935x x x x x x x
=⨯---⨯=---=--（）（）（）． 故答案为：1；-7；-x ．
（2）原式=（-3x 2+2x+1）×（-2）-（-2x 2+x-2）×（-3），
=（6x 2-4x-2）-（6x 2-3x+6），
=-x-8，
当x=-1时，原式=-x-8=-（-1）-8=-7．
∴当x=-1时，223212232
x x x x -++-+---的值为-7． 【点睛】
本题考查了整式的化简求值以及有理数的混合运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键．
26．（1）-34；（2）3
【分析】
（1）利用乘方、立方、二次根式、开立方等概念分别化简每项，再整理计算即可； （2）利用绝对值的意义化简每一项，再整理计算即可．
【详解】
解：（1）()23
20181122⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ ()()118444=-+-⨯+-⨯
()1321=--+-
=-34；
（23
3=-
+-+-
3=
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。