高中数学必修四课时作业1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、基础过关
1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )
A ．－12
B ．－6
C ．6
D ．12
[答案] D
[解析] 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b
＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.
2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为(
) A ．－17 B.17
C ．－16 D.16
[答案] A
[解析] 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，
知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．
又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.
3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3
B ．2 3
C ．4
D ．12
[答案] B
[解析] a ＝(2,0)，|b |＝1，
∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c
满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.⎝⎛⎭⎫79，73
B.⎝⎛⎭⎫－73，－79
C.⎝⎛⎭⎫73，79
D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 [答案] D
[解析] 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，
又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①
又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②
由①②解得x ＝－79，y ＝－73
. 5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )
A ．－π4
B.π6
C.π4
D.3π4
[答案] C
[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，
a －
b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，
(2a ＋b )·(a －b )＝9，
|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.
设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22
，∵0≤α≤π，∴α＝π4. 6．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.
[答案] 1
[解析] a －2b ＝(1，3)，
(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.
7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．
(1)求a 与b 的夹角的余弦；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．
解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525
. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，
又(a －λb )⊥(2a ＋b )，
∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝529
. 二、能力提升
已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋
n )⊥(m －n )，则λ等于( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
[答案] B
[解析] 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．
所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．
因为(m ＋n )⊥(m －n )，
所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，
解得λ＝－3. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，
则向量AB →在CD →方向上的投影为( )
A.322
B.3152
C. －322
D ．－3152
[答案] A
[解析] AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，
∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 10．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.
[答案] (－4,8)
[解析] 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b ＝－4a ＝(－4,8)．
11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．
解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，
∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．
若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23
； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，
∴k ＝113
； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132
. 故所求k 的值为－23或113或3±132
.
12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋m b，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．
解∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，
∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，
d＝a＋m b＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，
∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.
又∵|c|＝1，|d|＝(1－2m)2＋(2－3m)2，
∴cos 45°＝c·d
|c||d|＝
2－3m
(1－2m)2＋(2－3m)2
＝2
2.
化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝3
5.
三、探究与拓展
已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．
(1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．
(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，
∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，
又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .
(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，
∴AB →＝DC →.
设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝5.
∴C 点坐标为(0,5)．
由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，
所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，
|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.
设AC →与BD →的夹角为θ，则
cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|
＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45
.。