数列的概念专题(有答案)

一、数列的概念选择题
1．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列
{}n a 为周期数列，周期为T ．
已知数列{}n a 满足()111,1
0,{1
,01n n n n n
a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B
．若m =
，则数列{}n a 是周期为3的数列；
C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；
D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列． 2．已知数列{}n a 满足12a =，11
1n n
a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2
B ．
12 C ．1-
D ．12
-
3．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[
)3,+∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
4．数列{}n a 的通项公式是2
76n a n n =-+，4a =（ ）
A ．2
B ．6-
C ．2-
D ．1
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）
A ．2n a n =
B ．3,12,2
n n a n n =⎧=⎨≥⎩ C ．21n a n =+
D ．3n a n =
6．在数列{}n a 中，()11
11,1(2)n
n n a a n a --==+
≥，则5a 等于
A ．
3
2
B ．
53 C ．85
D ．
23
7．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=>
B ．20210a =
C ．1024是三角形数
D ．
123111121
n n a a a a n +++⋯+=+ 8．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）
A ．21n a n =-
B ．()1(21)n
n a n =--
C ．()
1
1(21)n n a n +=--
D ．()
1
1(21)n n a n +=-+
9．已知数列{}n a 满足: 12a =，11
1n n
a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007
B ．1008
C ．1009.5
D ．1010
10．在数列{}n a 中，12a =，1
1
1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-
B ．
12
C ．1
D ．2
11．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174
B ．184
C ．188
D ．160
13．已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足11
1
n n n a a a +-=+，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008S 等于（ ） A ．504
B ．294
C ．294-
D ．504-
14．若数列{a n }满足1112,1n
n n
a a a a ++==-，则2020a 的值为（ ） A ．2
B ．－3
C ．12
-
D ．
13
15．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（ ） A ．8523
3n
⨯- B ．1
852
3
3n -⨯- C ．8543
3
n
⨯-
D ．1
854
3
3
n -⨯- 16．在数列{}n a 中，11
(1)1,2(2)n
n n a a n a --==+≥，则3a =（ ）
A ．0
B ．
53
C ．
73
D ．3
17．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20
1
k
k a
=∑的值不可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．10
D ．14
18．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么
24620201a a a a ++++
+=（ ）
A ．2021a
B ．2022a
C ．2023a
D ．2024a
19．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
20．已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞
B ．(),2-∞
C ．(),1-∞
D ．(),0-∞
二、多选题
21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54
C ．S 2020＝a 2022－1
D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋
a 2021＝a 2022
22．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）
A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021
B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1
C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021
D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0
23．若不等式1
(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
24．若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为
（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
45
D ．
65
25．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．681a a >
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
26．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114
a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =
+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为递增数列
27．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <.
28．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有
m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）
A ．11285a a a a +=+
B ．56110a a a a <
C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103
a =
D ．数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为递减的等差数列
29．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的
是（ ） A ．110S =
B ．10n n S S -=（110n ≤≤）
C ．当110S >时，5n S S ≥
D ．当110S <时，5n S S ≥
30．（多选题）在数列{}n a 中，若22
1n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称
{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}
2
n a 是等方差数列
B ．
(){}1n
-是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 31．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项
32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
33．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2
5,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）
A ．{}n a 为等差数列
B ．0n a >
C ．n S 最小值为214
-
D ．{}n a 为单调递增数列
34．数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和2
n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列
35．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是
（ ）. A ．10a =0
B ．10S 最小
C ．712S S =
D ．190S =
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【解析】
试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =
<≤时，由34a =得54
m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .
B:234111,11,1,m a a a =>∴==
==> 所以3T =，正
确．
C ：命题较难证明，先考察命题
D ．
D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．
【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．
2．B
解析：B 【分析】
利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中，
11
1n n
a a +=-，且12a =， 211112
a a ∴=-
=，
32
1
1121a a =-
=-=- ， ()413
1
1112a a a =-
=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，
201867232=⨯+，
201821
2
a a ∴==.
故选：B 【点睛】
本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.
3．D
解析：D 【分析】
利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】
11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，
由累加法可得
()()()()12132111232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
，
()122211
n a n n n n ∴
==-++，2222
2222222311n S n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+
+-=-< ⎪ ⎪ ⎪
++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
4．B
解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】
令4n =，2
447466a =-⨯+=-
故选：B. 【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.
5．B
解析：B 【分析】
根据11,1,2n n
S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；
【详解】
解：因为2
1n S n n =++①，
当1n =时，2
11113S =++=，即13a =
当2n ≥时，()()2
1111n S n n -=-+-+②，
①减②得，()()2
2
11112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦
=⎣
所以3,1
2,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩
故选：B 【点睛】
本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.
6．D
解析：D 【解析】
分析：已知1a 逐一求解234512
2323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解234512
2323
a a a a ==
==，，，．故选D 点睛：对于含有()1n
-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．
7．C
解析：C 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)
22
n n n n n a a -++=
+=，∴20210a =，故B 正确；
令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 12
1111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．C
解析：C 【分析】
分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】
数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112n
n a n =--． 故选C ． 【点睛】
本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．
9．D
解析：D 【分析】
根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且313
2122
S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】
由题意，数列{}n a 满足: 12a =，11
1n n
a a +=-， 可得23411
1,121,1(1)2,22
a a a =-
==-=-=--=，
可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122
S =+-= 所以20173
672210102
S =⨯+=. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10．B
解析：B 【分析】
通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】 解：211111=1=22a a =-
-，3211121a a =-=-=-，43
1
1112a a =-=+=， 则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥
8521
2
a a a ∴===
， 故选：B. 【点睛】
本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.
11．B
解析：B 【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-，① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+，②
由()1n ⨯-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-⋅-++，
取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,
6,
所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=
+=+.
所以191918
31742
a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查累加法，属于中档题.
13．C
解析：C 【分析】
根据递推公式，算出数列前4项，确定数列周期，即可求出结果． 【详解】
∵12a =，111n n n a a a +-=+，∴213a =，311131213a -==-+，41123112
a --==--+， 又12
11
1
111
1111
n n n n n n n n a a a a a a a a +++---+===--+++，所以42
1n n n a a a ++=-
=， ∴数列{}n a 的周期为4，且123476
a a a a +++=-， ∵10084252÷=，∴100872522946S ⎛⎫
=⨯-=- ⎪⎝⎭
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查数列周期性的应用，属于常考题型.
14．D
解析：D 【分析】
分别求出23456,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】
由题意知，212312a +==--，3131132a -==-+，41
1121312a -
==+，5
1132113
a +
==-，612312
a +==--，…，
因此数列{}n a 是周期为4的周期数列， ∴20205054413
a a a ⨯===. 故选D. 【点睛】
本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.
15．D
解析：D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】
当1n =时，11a =，显然AC 不正确，
当2n =时，21459a a =+=，显然B 不符合，D 符合 故选：D
16．B
解析：B 【分析】
由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】
11a =，21123a a ∴=+
=，321523
a a -=+= 故选：B
17．B
解析：B 【分析】
先由题中条件，得到2
12
21i i i a a a +-=+，由累加法得到20
2211
221
k k a a ==-∑
，根据00a =，
()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.
【详解】
由11i i a a +=+得()2
221121i i i i a a a a +=+=++，
则21221i i i a a a +-=+，
所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，
……，
2202022121a a a -=+，
以上各式相加可得：()21120
2
21
0221
2 (20202)
k
k a a a a a a
=-
=+++++=∑，
所以20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，
又00a =，所以2
12
0211a a a =++=，则20
2211
221
k k a a ==-∑
，
因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或
2，
所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或
4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，
以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或
21±，
因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，
所以22112
2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，
170，210；
则
20
1
k
k a
=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，
即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，将问题
转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.
18．A
解析：A 【分析】
根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】
由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++
+++++=+
3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++
=+++=+=.
故选：A
19．A
解析：A 【分析】
根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯
⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】
21
n n S a =+
当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-
⋯⋯
当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-
∴71a =，20191S =
故720192a S += 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
20．A
解析：A 【分析】
由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于
λ的不等式，解之可得λ的取值范围.
【详解】
由已知得22
1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，
因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，
属于基础题.
二、多选题 21．BCD 【分析】
由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可
解析：BCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++
++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----
即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，
()()()135202124264202220202022+++
+++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.
22．ABD 【分析】
对于A ，由题意得bn
＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3
解析：ABD 【分析】
对于A ，由题意得b n ＝
4
πa n 2
，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解
即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】
由题意得b n ＝
4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4π
a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·
a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；
数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n
－1
2
＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋
(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；
由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·
a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题
23．ABC 【分析】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减
解析：ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+
a n
-<恒成立，当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1
2+a n
-<恒成立，
由12+
n 递减，且1
223n
<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1
2a n
<-恒成立， 由12n -
第增，且31
222n ≤-<， 所以3
2
a <
， 综上可得：322
a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.
24．ABC 【分析】
利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】
数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环
解析：ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，
211215a a =-=
，32225a a ==，43425a a ==，5413
215
a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234
,,,5555
. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.
【分析】
分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】
解析：AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .
∴B ，C ，错误.
故选：AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1
*
1n n a a q
n N -=∈.
26．ABC 【分析】
数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出． 【详解】
数列的前项和为，且满足，， ∴，化为：，
∴数列是等差数列，公差为4， ∴，可得
【分析】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11
4
a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1
n
S ，n S ，2n ≥时，()()
111144141n n n a S S n n n n -=-=
-=---，进而求出n a ． 【详解】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11
4
a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：
1
11
4n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，公差为4， ∴
()1
4414n n n S =+-=，可得14n S n
=， ∴2n ≥时，()()
1111
44141n n n a S S n n n n -=-=
-=---， ∴()1
(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪
=⎨⎪-≥-⎪⎩
，
对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为
1
11
4n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题
27．ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，
根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正
【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()
02
a a S +=
=，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，
所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯=
==>，116891616()16()
022
a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158
15815()15215022
a a a S a +⨯=
==>，则80a >， 116891616()16()022
a a a a S ++=
==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；
对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.
28．AC 【分析】
令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】
令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；
解析：AC 【分析】
令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由2
56110200a a a a d -=>，可
判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；
122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，根据02>d ，可判定D 错误.
【详解】 令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；
由()()222
25611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B
错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333
a =+⨯=，故C 正确； 由()111222n
n n na d S d d n a n n -+⎛⎫=
=+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误.
故选：AC .
【点睛】
解决数列的单调性问题的三种方法；
1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；
2、作商比较法：根据1(0n n n
a a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.
29．BC
【分析】
设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断.
【详解】
设公差d 不为零,
因为，
所以，
即，
解得，
，故A 错误；
，故B 正确；
若，解得，，故C 正确；D 错误；
故选：BC
解析：BC
【分析】
设公差d 不为零,由
38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】
设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+，
即1127a d a d +=--， 解得19
2
a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭
，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222
n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+
=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭
，解得0d >，()()22510525222
n d d d n n S n S =
-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 30．BCD
【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【详解】
对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正
解析：BCD
【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【详解】
对于A 选项，取n a n =，则
()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦
()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；
对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}
1n -是等方差数列，B 选项中的结论正确；
对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列
{}2
n a 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；
对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得
n a dn m =+，
则()()()()222
1112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++， 由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，
则()2
22d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==， 此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD.
【点睛】
本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.
31．ABD
【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.
【详解】
A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；
B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数
解析：ABD
【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.
【详解】
A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；
B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么
()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确； C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
不是等差数列，故C 不正确；
D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.
32．AD
【分析】
由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误.
【详解】
由已知得：,
结合等差数列的性质可知，,该等差
解析：AD
【分析】
由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.
【详解】
由已知得：780,0a a ><,
结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，
∴A 正确，B 错误，D 正确，
310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=, 这在已知条件中是没有的，故C 错误.
故选:AD.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
33．AD
【分析】
利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断
【详解】
解：当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以，
由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，
因
解析：AD
【分析】
利用11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断
【详解】
解：当1n =时，11154a S ==-=-，
当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，
当1n =时，14a =-满足上式，
所以26n a n =-，
由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225
255()24
n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，
故选：AD
【点睛】
此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题
34．ABD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确.
对选项B ，由A 知：
解析：ABD
【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为121
n n n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n
a a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.
对选项B ，由A 知：1
12121n n n a 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为
121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121
n a n =
-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.
35．ACD
【分析】
由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.
【详解】
因为，所以，所以，即
解析：ACD
【分析】
由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.
【详解】
因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；
当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+
=-+2(19)2d n n =-无最小值，故B 错误；
因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.。