函数的极值与导数 课件

[典例] 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得 极值，且 f(1)＝－1.
(1)试求常数 a，b，c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值点还是极小值点， 并说明理由．
[解] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， ∵x＝±1 是函数的极值点． ∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
函数的极值与导数
1．函数极值的概念
(1)函数的极大值 一般地，设函数 y＝f(x)在点 x0 及附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)＜f(x0) ，就说 f(x0)是函数 y＝f(x)的 一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)，x0 是极大值点． (2)函数的极小值
一般地，设函数 y＝f(x)在点 x0 及附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)＞f(x0)，就说 f(x0)是函数 y＝f(x)的一 个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)，x0 是极小值点．极大值与极小值 统称为 极值 ．
已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于 0 不是此点为极值 点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的 合理性．
[典例] 已知函数 f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数 f(x) 在 x＝－1 处取得极值，直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象有三个 不同的交点，求 m 的取值范围．
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x)
－
0＋ 此当 x＝0 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(0)＝0； 当 x＝2 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(2)＝4e－2＝e42.
求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)用方程 f′(x)＝0 的根顺次将函数的定义域分成若干个 小开区间，并列成表格； (4)由 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右的符号，来判断 f(x) 在这个根处取极值的情况．
[点睛] 如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它 附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函 数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以 不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能 成为极值点． (5)单调函数一定没有极值．
由根与系数的关系，得－3ca23＝ba＝－01，. ①② 又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ③ 由①②③解得 a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得 f(x)＝12x3－32x， ∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)． 令 f′(x)>0，得 x<－1 或 x>1； 令 f′(x)<0，得－1<x<1. ∴函数 f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在区间(－1,1)上是减函数． 因此，x＝－1 是函数的极大值点；x＝1 是函数的极小值点．
因为直线 y＝m 与函数 y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 结合图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．
[点睛] 一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数 y＝f(x)在点 x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，那么 f′(x0)＝0；反之，若
f′(x0)＝0，则点 x0 不一定是函数 y＝f(x)的极值点．
[典例] 求函数 f(x)＝x2e－x 的极值． [解] 函数的定义域为 R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′ ＝2xe－x－x2·e－x ＝x(2－x)e－x. 令 f′(x)＝0，得 x(2－x)·e－x＝0， 解得 x＝0 或 x＝2.
2．求函数 y＝f(x)极值的方法 一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法是： 解方程 f′(x)＝0. 当 f′(x0)＝0 时： (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0， 那么 f(x0)是极大值 ； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0， 那么 f(x0)是 极小值 ．
[解] 因为 f(x)在 x＝－1 处取得极值且 f′(x)＝3x2－3a， 所以 f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以 a＝1. 所以 f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝1.
当 x<－1 时，f′(x)>0； 当－1<x<1 时，f′(x)<0； 当 x>1 时，f′(x)>0. 所以由 f(x)的单调性可知，f(x)在 x＝－1 处取得极大值 f(－1)＝1，在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3. 作出 f(x)的大致图象及直线 y＝m 如图所示：