高二数学寒假专题——数列：等差数列与等比数列的性质及其应用苏教版知识精讲

高二数学寒假专题——数列：等差数列与等比数列的性质及其应用苏
教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——数列：等差数列与等比数列的性质及其应用
二. 本周教学目标：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题。

三. 本周知识要点：
1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨
⎧
≥-=-)
2()
1(11n S S n S n n
2. 等差数列的通项公式：a n =a 1+（n －1）d ，a n =a k +（n －k ）d （其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项）当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。

3. 等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)
1(1-+ S n =2
)(1n a a n + S n =d n n na n 2
)
1(--
当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式。

4. 等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =
1
21
2--n S n 5. 等差中项公式：A=
2
b
a + （有唯一的值） 6. 等比数列的通项公式： a n = a 1 q n －1
a n = a k q n －k
（其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0）
7. 等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 （是关于n 的正比例式）；
当q≠1时，S n =q
q a n --1)1(1 S n =q q a a n --11
8. 等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值）
9. 等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m －S 3m 、……仍
为等差数列。

10. 等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 11. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ⋅=⋅
12. 等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m －S 3m 、……仍为等比数列（m 为偶数且公比为－1的情况除外）。

13. 两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n +b n }、{a n －b n }仍为等差数列。

14. 两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n }、⎭⎬⎫⎩⎨
⎧n n b a 、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列。

15. 等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

16. 等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

17. 三个数成等差的设法：a －d ，a ，a+d ；四个数成等差的设法：a －3d ，a －d ，a+d ，a+3d
18. 三个数成等比的设法：a/q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3，a/q ，aq ，aq 3
（因为其公比为2q >0，对于公比为负的情况不能包括） 19. {a n }为等差数列，则{}n
a c
（c>0）是等比数列。

20. {b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } （c>0且c ≠1） 是等差数列。

【典型例题】
例1. 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，求公比q 解：设等差数列的通项a n = a 1+（n －1）d （d ≠0）
根据题意得 a 32 = a 2a 6 即（a 1+2d ）2
= （a 1+d ）（a 1+5d ） 解得d a 2
1
1-
= 所以.32
1221
21123=+-+-=++==d d d
d d
a d
a a a q
例2. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足:a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n ，b n 。

解：依题意得：
2b n+1 = a n+1 + a n+2 ①
a 2
n+1 = b n b n+1 ② ∵a n 、b n 为正数，由②得21211,+++++==
n n n n n n b b a b b a
代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b
∴}{n b 为等差数列
∵b 1 = 2 ， a 2 = 3 ， 2
9,2212
2=
=b b b a 则 ∴2
)1(),1(22)229)(1(22
+=
∴+=--+=n b n n b n n ∴当n ≥2时，2
)
1(1+=
=
-n n b b a n n n 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2
)
1(+=n n a n
例3. 在等比数列{a n }的前n 项中，a 1最小，且a 1+a n =66，a 2 a n －1=128，前n 项和S n =126， 求n 和公比q
解：∵{a n }为等比数列 ∴a 1·a n =a 2·a n －1 由a 1·a n =128 ， a 1+a n =66 且 a 1最小 得a 1=2 ，a n =64
1264126,126,12611n n a a q q
S q q
--=∴==--即
解得2q =
∵2·q n －1=64，∴2n
=64 解得n=6， ∴n =6，q =2
例4. 已知：正项等比数列{a n }满足条件：
①12154321=++++a a a a a ； ②
25111115
4321=++++a a a a a ； 求{}n a 的通项公式n a
解：易知 0>q ，1≠q ，
由已知得 1211)
1(51=--q
q a ①
251)1(1
55
=--q
q a ② ①÷②得 2512151=
a a ，即 251212
3=a ，∴5
113=a ①×②得 2
2
42555)
1()1(=--q q q
即 5512
4
32=++++q
q q q q ， 即056)1
()1(2=-+++
q
q q q ∴71=+
q q ，即 2
5
37±=
q ∴3
3
3)2
537(511--±=
=n n n q a a
例5. 在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m ， a m+2， a m+1成等差数列。

（１）写出这个命题的逆命题；
（２）判断逆命题是否为真，并给出证明
解：（１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m+2，a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列。

（２）设{a n }的首项为a 1，公比为q 由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1
=a 11-m q +a 1q m
∵a 1≠0 q ≠0 ，∴2q 2
－q －1=0 ∴q=1或q=－2
1
当q=1时
∵S m =ma 1， S m+2= （m+2）a 1，S m+1= （m+1）a 1 ∴S m +S m+1≠2 S m+2
∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列 当q=－
2
1时 2212
11
2[1()]4122113212
m m m a S a +++--⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+
12111111
[1()][1()]4122111321122
m m m m m a a S S a +++----⎡⎤⎛⎫+=+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++
∴S m +S m+1=2 S m+2 ∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列
综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q ≠1时，逆命题为真。

点评：对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题。

小结：
1. 等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式联系着五个基本量：a 1，d （或q ），n ，a n ，S n “知三求二”是最基本的运算，充分利用公式建立方程是最基本的思想方法。

2. 列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段。

3. 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用。

【模拟试题】
1. 数列1，1/3，1/7，1/16，1/31，…的一个通项公式为a n = 。

2. 数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式a n = 。

3. 数列{a n }的前n 项之和为S n =3+2n
，则其通项公式为a n = 。

4. 数列{a n }满足a 1=1，a n =a n─1/2+1 （n ≥2），求其通项公式。

5. 数列{a n }中，已知a 1=c ，a n+1=pa n +q ，（p ≠1），求a n 的通项公式。

6. 数列{a n }满足a 1=1/2，a 1+a 2+…+a n =n 2
a n ，求a n 。

7. 数列{a n }的前n 项之和S n 和第n 项a n 之间满足2lg
2
1
+-n n a S =lgS n +lg （1─a n ），求a n
和S n 。

8. 数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n =2n
，b n =3n+2，它们的公共项从小到大排成的数列是{c n }，（1）写出{c n }的前5项；（2）证明{c n }是等比数列。

试题答案
1. 1/（2n
─1）；
2. 2
1[（a+b ）+（─1）n─1
（a─b）]； 3. ⎩⎨⎧>=-)1(2
)1(5
1n n n ；
4. 2─1/2
n─1
5. 略
6. a 1+a 2+…+a n =n 2
a n ，a 1+a 2+…+a n─1=2)1(-n a n─1 ⇒a n /a n─1=（n─1）/（n+1）
取n=2，3，4，…，n 代入上式，各式相乘得： a n /a 1=
31
42532n 4n 1n 3n n 2n 1n 1n ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅+- =
)1(21+n n a =)
1(1+n n a a n n n n n =
+=+111
21()()
（注意上述变形方法，一个式子可以变化成无穷多个式子，这就是函数思想）
7. 原式可以变为（S n ─a n +1）2
=4S n （1─a n ）⇒a 1=1/2
可以变为（S n─1+1）2=4S n （1+S n─1─S n ）⇒（S n─1+1）2─4S n （S n─1+1）+4S n 2
=（S n─1+1─2S n ）2
=0⇒S n─1+1=2S n ⇒S n =S n─1/2+1/2
如果有常数x ，使得S n +x=（S n─1+x ）/2 比较原式可得：─x/2=1/2⇒x=─1
∴ S n ─1=（S n─1─1）/2⇒S n =（S 1─1）⨯ 1
)2
1(-n =─n
)2
1(
从而a n =S n ─S n─1=n
)2
1(
另解：直接由原式移项配方可得：
[S n ─（1─a n ）]2
=0⇒S n =1─a n ， S n─1=1─a n─1两式相减得：
a n =S n ─S n─1=a n─1─a n （适合n=1）⇒a n =a n─1/2，{a n }为等比数列，a n =n
)2
1(
点评：以上两种解题的思路有所不同，第一种方法是从a n 转向S n ，第二种方法是从S n 转向a n 。

8. （1）{c n }的前5项为8，32，128，512，2048；
（2）设a m =b p =c n ，则c n =2m =3p+2⇒a m+1=2m+1
=2（3p+2）=3（2p+1）+1 ∴ a m+1不在{c n }中
而a m+2=2m+2
=4（3p+2）=3（4p+2）+2是{b n }中的项 即c n+1=4c n
{c n }是公比为4的等比数列。