2023届山东省威海乳山市数学八年级第一学期期末监测试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分） 1．若分式3
1
a +有意义，则a 的取值范围是( ) A ．0a =
B ．1a =
C ．1a ≠-
D ．0a ≠
2．如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB ：AC=9：4，则BD ：CD 等于（ ）
A ．3：2
B ．9：4
C ．4：9
D ．2：3
3．在下列各数中，无理数是( ) A ．4
B ．3π
C ．
227
D ．38
4．用科学记数法表示0.00000085正确的是（ ） A ．8.5×107
B ．8.5×10-8
C ．8.5×10-7
D ．0.85×10-8
5．如图，△ABC 中，点D 为BC 上一点，且AB ＝AC ＝CD ，则图中∠1和∠2的数量关系是（ ）
A ．2∠1+3∠2＝180°
B ．2∠1+∠2＝90°
C ．2∠1＝3∠2
D ．∠1+3∠2＝90°
6．实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A ．a ﹣c ＞b ﹣c
B ．a+c ＜b+c
C ．ac ＞bc
D ．
a c
b b
<
7．在1x 、13、212
x +、5y
π+、1a m +中分式的个数有（ ）.
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
8．在平面直角坐标系中，点(3,2)M -与点N 关于x 轴对称，则点N 的坐标是（ ） A ．()3,2--
B ．()3,2-
C ．()3,2
D ．()2-3，
9．下列坐标点在第四象限内的是( ) A ．(1，2)
B ．(﹣1，﹣2)
C ．(﹣1，2)
D ．(1，﹣2)
10．下列图形中，轴对称图形的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知 35x <<，则化简 2
21(5
)x
x 的结果是（ ）． A ．4 B ．6-2x
C ．-4
D ．2x-6
12．若分式23
x x
-的值为负数，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞3
B ．x ＜3
C ．x ＜3且x ≠0
D ．x ＞－3且x ≠0
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是 米.
14．如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x 与y=kx+b 的图象交于点P （m ，2），则不等式kx+b ＞﹣2x 的解集为_____．
15．如图1，将边长为a 的大正方形剪去一个边长为b 的小正方形（a >b ）,将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a ，b 的等式表示为_________________．
16．因式分解：22
69x xy y -+=________．
17．在平面直角坐标系中，点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，2），当△ABC 与△ABD 全等时，则点D 的坐标可以是_____．
18．如图，点P 、M 、N 分别在等边△ABC 的各边上，且MP ⊥AB 于点P ，MN ⊥BC 于点M ，PV ⊥AC 于点N ，若AB ＝12cm ，求CM 的长为______cm.
三、解答题（共78分）
19．（8分）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
•22y x xy -﹣22
22
2y x x xy y --+＝-x x y
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果 （2）当x ＝2时，y 等于何值时，原分式的值为5
20．（8分）因式分解：（1）24x - （2） 2
2
44ax axy ay -+
21．（8分）计算（1）2
11
a a a -++
（2）先化简再求值：2323x y x y
x y x x x y x ⎡⎤⎛⎫--÷ ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣
⎦+--+，其中12,2x y ==- 22．（10分）已知直线23y x =+与直线21y x =--.
（1）求两直线交点C 的坐标； （2）求ABC ∆的面积.
（3）在直线BC 上能否找到点P ，使得6APC S ∆=，若能，请求出点P 的坐标，若不能请说明理由.
23．（10分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三角形)的顶点A 、C 的坐标分别是(-5，5)，(-2，3)．
（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系xOy ；
（2）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出顶点A 1，B 1，C 1的坐标 （3）请在x 轴上求作一点P ，使△PB 1C 的周长最小.请标出点P 的位置（保留作图痕迹，不需说明作图方法） 24．（10分） (1)解方程：
2217
111
x x x +=-+-． (2)先化简：21122x x x x -⎛
⎫+÷
⎪--⎝⎭
，再任选一个你喜欢的数代入求值． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(2，4)
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1； （2）写出点A 1的坐标；
（3）画出△A 1B 1C 1向下平移3个单位长度所得的△A 2B 2C 2；
（4）在x 轴上找一点P ，使PB+PC 的和最小（标出点P 即可，不用求点P 的坐标）
26．（1）问题：如图1.在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并满足AE AD =，连接
CE ．则线段BD 和线段CE 的数量关系是_______，位置关系是_______．
（2）探索：如图2，当D 点为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），Rt ABC ∆与Rt ADE ∆均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．试探索线段
2BD ，2CD ，2DE 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形ABCD 中，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，
若3BD =，1CD =，请直接写出线段AD 的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分） 1、C
【分析】根据分式有意义时，即分式的分母不等于零解答即可. 【详解】由题意得10a +≠， ∴1a ≠-， 故选：C . 【点睛】
此题考查了分式有意义的条件：分式的分母不等于0，正确掌握分式有意义的条件是解题的关键.
2、B
【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线的性质，∠DBE=∠C，∠E=∠CAD可得，△BDE∽△CDA，再利用相似三角形的性质可
有BD BE
CD AC
=，再利用AD是∠BAC角平分线，又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，
等量代换即可证．
【详解】过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD
∴△BDE∽△CDA
∴BD BE CD AC
=
又∵AD是∠BAC角平分线∴∠E=∠DAC=∠BAD
∴BE=AB
∴AB BD AC CD
=
∵AB：AC=9：4
∴BD：CD=9：4
故选：B
【点睛】
本题考查了平行线的性质定理、相似三角形的判定和性质，角平分线性质．3、B
【分析】根据无理数的定义进行判断即可.
=2=2，
227
都是有理数， 3π是无理数， 故选B. 【点睛】
本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 4、C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】将0.00000085用科学记数法表示为8.5×10-1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5、A
【分析】先根据AB ＝AC ＝CD 可求出∠2＝∠C ，∠ADC ＝∠CAD ，再根据三角形内角和定理可得2∠ADC ＝180°﹣∠C ＝180°﹣∠2，由三角形内角与外角的性质可得∠ADC ＝∠1+∠2，联立即可求解． 【详解】解：∵AB ＝AC ＝CD ， ∴∠2＝∠C ，∠ADC ＝∠CAD ，
又∵2∠ADC ＝180°﹣∠C ＝180°﹣∠2，∠ADC ＝∠1+∠2， ∴2（∠1+∠2）＝180°﹣∠2， 即2∠1+3∠2＝180°． 故选A ． 【点睛】
本题考查三角形内角和定理、三角形内角与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理、三角形内角与外角的性质. 6、B
【分析】先由数轴观察a、b、c的正负和大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判断.
【详解】由数轴可以看出a＜b＜0＜c，因此，
A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故选项错误；
B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故选项正确；
C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故选项错误；
D、∵a＜c，b＜0，∴a c
b b
>，故选项错误.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，比较简单．7、A
【分析】根据分式的定义：分母中含有字母的式子叫分式可判别.
【详解】分母中含有字母的式子叫分式，由此可知，1
x
和
1
a
m
+是分式，分式有2个；
故选A.
【点睛】
本题考查了分式的定义，较简单，熟记分式的定义是解题的关键.
8、C
【解析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得结论．
【详解】解：∵点M（3，-2）与点N关于x轴对称，
∴点N的坐标是（3，2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
9、D
【分析】根据第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：由第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得在第四象限内的是（1，-2），
故选：D．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键．
10、B
【解析】分析：根据轴对称图形的概念对各图形分别分析求解即可． 详解：第一个图形不是轴对称图形； 第二个图形是轴对称图形； 第三个图形是轴对称图形； 第四个图形不是轴对称图形， 综上所述，轴对称图形有2个． 故选B ．
点睛：本题考查了轴对称图形，需要掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 11、A
【分析】根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：因为35x <<， 所以10x -<，50x ->， 2
21(5)x x
15
x
x
15x x
4=，
故选：A ． 【点睛】
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用绝对值的性质以及二次根式的性质． 12、C
【解析】由于分式的分母不为0，那么此分式的分母恒为正数，若分式值为负数，则分子必为负数，可根据上述两点列出不等式组，进而可求出x 的取值范围．
【详解】根据题意得2
30
0x x -<⎧⎨>⎩
， 解得x <3且x ≠0. 故选：C. 【点睛】
考查分式的值，根据两式相除，同号得正，异号得负即可列出不等式，求解即可.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
1b a
+ 【解析】试题分析：根据题意得：剩余电线的质量为b 克的长度是 b a
米． 所以这卷电线的总长度是（1b
a
+）米． 考点：列代数式（分式）． 14、x ＞﹣1
【分析】先利用正比例函数解析式确定P 点坐标，然后观察函数图象得到，当x ＞﹣1时，直线y =﹣2x 都在直线y =kx +b 的下方，于是可得到不等式kx +b ＞﹣2x 的解集． 【详解】当y =2时，﹣2x =2， x =﹣1，
由图象得：不等式kx +b ＞﹣2x 的解集为：x ＞﹣1， 故答案为x ＞﹣1． 【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b 的值大于（或小于）﹣2x 的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在﹣2x 上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15、2
2
=()()a b a b a b +--
【解析】图(1)中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2−b2；
图(2)中阴影部分为梯形，其上底为2b ，下底为2a ，高为（a-b ）则其面积为(a+b)(a −b)， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴()()2
2a b =a b a b -+-.
故答案为()()2
2
a b =a b a b -+-.
16、()2
3x y -
【分析】用完全平方公式2
2
2
2()a ab b a b -+=-进行因式分解即可． 【详解】解：2
2
2
2
6923(3)x xy y x x y y -+=-+=()2
3x y -
故答案为：()2
3x y - 【点睛】
本题考查完全平方公式进行因式分解，掌握公式结构2
2
2
2()a ab b a b -+=-是解题关键．
17、（0，﹣2）或（2，﹣2）或（2，2）
【分析】根据题意画出符合条件的图形，根据图形结合A、B、C的坐标即可得出答案．【详解】解：∵△ABC与△ABD全等，
如图所示：
点D坐标分别为：（0，﹣2）或（2，﹣2）或（2，2）．
故答案为：（0，﹣2）或（2，﹣2）或（2，2）．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和坐标与图形性质，注意要进行分类讨论，能求出符合条件的所有情况是解题的关键．
18、4
【分析】根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝
∠PNA＝90°，根据平角的义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证△PMN是等边三角形:根据全等三角形的性质得到PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得MC+NC＝AC＝12cm，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出
2MC＝NC，即司得MC的长.
【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形∴PN=PM=MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP(AAS)，
∴PA＝BM＝CN，PB=MC=AN，MC+NC＝AC＝12cm，
∵∠C＝60°，∴∠MNC=30°，
∴NC=2CM，∴MC+NC=3CM=12cm,∴CM=4cm.
故答案为:4cm
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM ＝∠PMN ＝∠MNP 是本题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）﹣x y ；（2）y ＝85
【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系列式，然后化简分式求出盖住的部分即可；
（2）根据x ＝2时分式的值是1，得出关于y 的方程，求解即可．
【详解】解：（1）∵222
2222x y x y x y x xy y x xy ⎛⎫-+÷ ⎪--+-⎝⎭ ()()()()22y x y x x y x x x y y x y ⎛⎫+- ⎪=+⋅ ⎪---⎝
⎭ ()2
x y y x x y y =⋅--- x y
=-， ∴盖住部分化简后的结果为x y
-； （2）∵x ＝2时，原分式的值为1，即
252y =-， ∴10﹣1y ＝2，
解得：y ＝
85
， 经检验，y ＝85
是原方程的解， 所以当x ＝2，y ＝85时，原分式的值为1． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算及解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20、（1）
x 2)(2)x -+（ （2）2(2)a x y -
【解析】试题分析：（1）直接利用平方差公式因式分解即可；（2）提公因式a 后再利用完全平方公式因式分解即可.
试题解析：
（1）()24=x 2)2x x --+（;
（2）()()2
222244442ax axy ay a x xy y a x y -+=-+=-. 21、（1）11
a +；（2）2x x y -，85 【分析】（1）根据分式的减法法则计算即可；
（2）先根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】解:()2
111
a a a -++ 22111
a a a a -=-++ 11
a =+ ()22233x y x y x y x x x x y ⎡⎤⎛⎫-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦+⎣
---+ 23123x y x y x y x y x
x x ⎡⎤⎛⎫=-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦-⎣++-+ 222331x y x x x y x x y y x y x ++-+⎛⎫=-⋅+⋅÷ ⎪+⎝⎭ 2x x y
=- 当12,2
x y ==-时， 原式22122⨯=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 85
= 【点睛】
此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则是解决此题的关键．
22、（1）(1,1)C -；（2）2；（3）点P 有两个，坐标为(4,7)-或(2,5)-.
【分析】（1）将直线y=2x+3与直线y=-2x-1组成方程组，求出方程组的解即为C 点坐
标；
（2）求出A 、B 的坐标，得到AB 的长，再利用C 点横坐标即可求出△ABC 的面积； （3）设P 点坐标为(,21)m m --，则由点P 在线段BC 的延长线上和点P 在线段CB 的延长线上两种情况分别求解.
【详解】（1）联立方程组，得：2321y x y x =+⎧⎨=--⎩
得：11x y =-⎧⎨=⎩
； 则点(1,1)C -；
（2）∵直线23y x =+与y 轴交于点A ，
∴(0,3)A
∵直线21y x =--与y 轴交于点B ，
∴(0,1)B -，
∴4AB =， ∴14122
ABC S ∆=⨯⨯=； （3）在直线BC 上能找到点P ，使得6APC S ∆=.
设点P 的坐标为(,21)m m --，则
①当点P 在线段BC 的延长线上时，6APC ABP ABC S S S ∆∆∆=-=， 即14()262
m ⨯⨯--=， 解得：4m =-，
此时(4,7)P -；
②当点P 在线段CB 的延长线上时，6APC ABP ABC S S S ∆∆∆=+=， 即14262
m ⨯⨯+= 解得：2m =，此时(2,5)P -；
综上，点P 有两个，坐标为(4,7)-或(2,5)-.
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行的问题，熟悉函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）A1(5,5) B1(3,3) C1(2,3)，见解析;（3）见解析。

P点坐标（7
4
，
0）
【解析】（1）根据平面直角坐标系中点的平移规律，解决即可.（2）根据关于y轴对称的图形的对应点的坐标特征，找出对应点A1，B1，C1连线即可.（3）最短路径问题，找到C1关于x轴对称的对应点C2，连接C1C2，与x轴的交点即为P点.
【详解】解：（1）如图所示
（2）如图所示
A1(5,5)B1(3,3)C1(2,3)
（3）如图所示
∵C（-2，3），B2（3，-1），
∴直线CB2的解析式为y=-4
5
x+
7
5
令y=0，解得x=7 4
∴P点坐标（7
4
，，0）．
【点睛】
本题考查平面坐标系中点的坐标平移规律，关于y轴对称的对应点的坐标特征，即最短路径问题，解决本题的关键是熟练掌握坐标平移规律.
24、（1）x＝2；（2）原式＝
1
x
-，当x＝5时，原式＝
1
5
-
【分析】（1）先把分式方程去分母化简成整式方程，再解方程得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）先根据分式混合运算法则把原式进行化简，即先去括号，在计算乘除法进行约分，再任选一个合适的数代入求值即可．
【详解】解：（1）方程两边同乘以（x＋1）（x－1），
则：2（x＋1）＋（x－1）＝7
解得：x＝2
检验：把x＝2代入（x＋1）（x－1）＝3≠0 ∴原方程的解为：x＝2
（2）原式＝
21
2
x
x
-+
-
÷
()
2
x x
x
-
-
1
＝
1
2
x
x
-
-
×
2
()
x
x x
-
-
1
＝
1 x -
∴当x＝5时，原式＝
1 5 -
【点睛】
本题是计算题，主要考查解分式方程的知识和分式的化简求值，关键是掌握把分式方程化简成最简分式或整式方程、把分式化简成最简分式或整式的方法．
25、（1）见解析；（2）点A1的坐标为(-2,4)；（3）见解析；（4）见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点得出各对应点坐标，顺次连接即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得答案；
（3）利用平移规律及平移距离即可得对应点坐标，顺次连接即可；
（4）根据关于x轴对称的点的坐标特点得出点B关于x轴对称的点B′，连接CB′，交x轴于点P，即可得答案.
【详解】（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示：
（2）∵点A的坐标为(2，4)，点A与A1关于y轴对称，
∴点A1的坐标为（-2，4），
（3）△A1B1C1向下平移3个单位长度所得的△A2B2C2如图所示：
（4）作点B关于x轴对称的点B′，交x轴于点P，
∴PB=PB′，
∴PB+PC=PB′+PC，
∴PB+PC的最小值为CB′，如图所示：
【点睛】
此题主要考查了图形的轴对称变换及平移变换等知识，得出变换后对应点坐标位置及是解题关键．
26、（1）BD =CE ；BD ⊥CE ；（2）2BD +2CD =2DE ；（3）2
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠BAD =∠CAE ，可证△ADB ≌△AEC ，由全等三角形的性质即可得出结果；
（2）连结CE ，同（1）的方法证得△ADB ≌△AEC ，根据全等三角形的性质转换角度，可得△DCE 为直角三角形，即可得2BD ，2CD ，2DE 之间满足的等量关系；
（3）在AD 上方作EA ⊥AD ，连结DE ，同（2）的方法证得△DCE 为直角三角形，由已知和勾股定理求得DE 的长，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求得AD 的长．
【详解】解：BD =CE ，BD ⊥CE ，理由如下：
∵90BAC ∠=︒，AB AC =，
∴∠ABC =∠ACB =45°，
∵AE AD ⊥，
∴90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，
在△ADB 和△AEC 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADB ≌△AEC （SAS ），
∴BD=CE ，∠ABD =∠ACE =45°，
∴∠ACB+∠ACE =90°，即BD ⊥CE ，
故答案为：BD =CE ；BD ⊥CE ．
（2）2BD +2CD =2DE ，证明如下：
如图，连结CE ，
∵Rt ABC ∆与Rt ADE ∆均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒
∴∠ABC =∠ACB =45°，BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠， 在△ADB 和△AEC 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADB ≌△AEC （SAS ），
∴BD=CE ，∠ABD =∠ACE =45°，
∴∠ACB+∠ACE =90°，即BD ⊥CE ，则△DCE 为直角三角形，
∴2CE +2CD =2DE ，
∴2BD +2CD =2DE ；
（3）如图，作EA ⊥AD ，使得AE=AD ，连结DE 、CE ，
∵45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，
∴90BAC ∠=︒，AB=AC ，
∵AE AD ⊥，AE=AD ，
∴90BAC DAE ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒，
∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，
在△ADB 和△AEC 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADB ≌△AEC （SAS ），
∴BD=CE ，
∵90∠+∠=︒ADE ADC ，则△DCE 为直角三角形，
∵3BD =，1CD =，
∴3EC =，则22222318=-=-=DE EC CD ，
在Rt △ADE 中，AD=AE ，
∴22222=+=DE AD AE AD ，
则2=
==AD ． 【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题的关键是合理得添加辅助线找出两个三角形全等．。